【新结构19题模式】浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期返校联考数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司绝密考试结束前 2023 学年第二学期浙南名校联盟返校联考高二数学学科试题考生须知：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名考场号座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知抛物线22xpy=的焦点在直线21yx=+上，则 p=（）A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量()()1,1,1,1,1,2ab=，则a 在b上的投

2、影为（）A.2 33 B.2 33 C.63 D.63 3.已知点()0,3A及直线:10l xy+=上一点 B，则 AB 的值不可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知数列 na是各项为正的等比数列，前n 项和为()*nSnN，且2337,24SS=，则1a=（）A.14 B.12 C.1 D.94 5.若圆2220 xaxy+=与圆224240 xyxy+=只有一个交点，则实数a 的值可以是（）A.-1 B.-2 C.1 D.2 6.已知 ABC的三个内角分别为,A B C，则lnlnlnABC+的值可能是（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 7.圆锥曲线具有丰富的

3、光学性质，在人教版 A 版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1）.如图（2），已知1F 为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点，O 为坐标原点，直线l 为椭圆C 的任一条切学科网（北京）股份有限公司线，H 为1F 在l 上的射影，则点 H 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲性 D.抛物线 8.已知1202412024,ln,120242023abce=，则（）A.cba B.bca C.acb D.abc二多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题所给的四

4、个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）9.已知m nR，则方程2221m xny+=表示的曲线可能是（）A.两条直线 B.圆 C.焦点在 x 轴的椭圆 D.焦点在 y 轴的双曲线 10.如图，已知四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，,PAAB Q=为线段 BC上一点（含端点），则直线 PQ 与平面 PCD 所成角不可能是（）A.0 B.6 C.4 D.3 11.已知数列 na为等差数列，131,2 21aa=+，前n 项和为()*nSnN，数列 nb满足nnSbn=，则下列结论正确的是（）A.数列nnab

5、+为等比数列 B.数列nnab+为等差数列 学科网（北京）股份有限公司C.数列 na中任意三项不能构成等比数列 D.数列 nb中可能存在三项成等比数列 12.如图，已知棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D，点 P 是棱 AB 的中点，过点 P 作正方体1111ABCDA B C D的截面，关于下列判断正确的是（）A.截面的形状可能是正三角形 B.截面的形状可能是直角梯形 C.此截面可以将正方体体积分成 1：3 D.若截面的形状是六边形，则其周长为定值 非选择题部分三填空题（本大题共 4 小题，共 20 分.）13.某校新建一个报告厅，要求容纳 800 个座位，第一排 21 个座位

6、，从第 2 排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有_排座位.14.设曲线axye=在点()0,1 处的切线与直线20 xya+=垂直，则实数a 的值为_.15.已知正四面体 ABCD，点 M 为棱CD 的中点，则异面直线 AM 与 BC 所成角的余弦值为_.16.已知点 P 是直线:4l yx=+上一点，点Q 是椭圆222:1xCya+=上一点，设点 M 为线段 PQ 的中点，O为坐标原点，若 OM 的最小值为24，则椭圆C 的离心率为_.四解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.）17.设aR，函数()32f xxaxx=+.（1）若()f x 有且只有一个零点，求a 的取值范

7、围；（2）若()f x 的一个极值点为 1，求函数()f x 的极值.18.如图，已知等腰三角形 ABC 中，,ABAC D=是 AC 的中点，且()()0,0,3,0BD.学科网（北京）股份有限公司（1）求点 A 的轨迹T 的方程；（2）设 AC 所在直线与轨迹T 的另一个交点为 E，当 ABD面积最大且 A 在第一象限时，求 AE.19.如图，ABE是边长为 2 的等边三角形，且3,30BDDBA=.（1）若点 A 到平面 BDE 的距离为 1，求 DE；（2）若,BEAD AD BC 且12ADBC=，求直线 AD 与平面 DCE 所成角的正弦值.20.记nS 为数列 na的前n 项和(

8、)*nN，已知1aa=，且1,nnnaSa+成等比数列.（1）写出2a，并求出数列2na的通项公式；（2）记nT 为数列112nnaa+的前n 项和，若对任意的*1,4nnN T恒成立，求a 的取值范围.21.已知函数()()ln1xf xexm=+.（1）当1m=时，求函数()f x 的单调区间；（2）当2m 时，求证：()1f x.22.已知等轴双曲线C 过定点()2,1A，直线l 与双曲线C 交于,P Q 两点，记12,AQAPPQkk kk kk=，且1222 20kkk+=+.（1）求等轴双曲线C 的标准方程；（2）证明：直线l 过定点.学科网（北京）股份有限公司高二数学学科参考答案

9、与解析一选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）12 345678BC ACDDAB二多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.）9101112ABCCDBCAC6.【参考答案】：由ln1xx 得：lnlnln330.2ABCABC+=由于()ln1xx+（当且仅当0 x=时取等号）恒成立，故()ln1xx+（当且仅当0 x=时取等号）即()ln1xx+（当且仅当0 x=时取等号），故ba 构造函数()()()()()1 ln 1,0,0.001xF xh xg xex

10、x=+()()211,1(1)xxFxeFxexx=()32(1)xFxex=，当()0,0.001x时，()0Fx()21(1)xFxex=在()0,0.001x上单调递减，()()00FxF=学科网（北京）股份有限公司()11xFxex=在()0,0.001x上单调递减，()()00FxF=()()()()1 ln 1xF xh xg xex=+在()0,0.001 上单调递减()()()()()0,0.001,00,xF xh xg xFcb=，选 B 11.【参考答案】：（1）设数列 na的公差为31,22aad d=()1222,1222nnnn nSSnbnn=+=+数列 nb为等

11、差数列，又数列 na为等差数列 数列nnab+为等差数列.故 B 正确，A 错误；（2）（反证法）假设数列 na中存在三项(*,mnpaa am n pN，且)mnp能构成等比数列，即2nmpaaa=成立.由（1）得()121nan=+，()()()2121 121121nmp+=+整理得：()2242 22222nnnmpmppm+=+222224222nmpnmpnnmppmnmp=+=+=02mpmpmp+=与 mp矛盾，数列 na中任意三项不能构成等比数列，故 C 正确，同理可知，D 错误.12.【参考答案】：如图（1），M，N 分别为所在棱中点，A 正确；当截面是梯形时如图（2），如

12、果为直角梯形，则 PMMN，又1PMCC，故 PM 面1BC，PM AB，矛盾，形状不可能为直角梯形，B 错误；如图（3），Q 为所在棱中点，截面1PCC Q 将正方体分成 1：3，C 正确；学科网（北京）股份有限公司 如图（4）（5），当截面是六边形时，可以是正六边形，也可以是一般的六边形，周长不是定值，D 错误.三填空题（本大题共 4 小题，共 20 分.）13.20 14.12 15.36 16.144 15.【参考答案】：正四面体 ABCD 的棱长设为 2，则()1,2AMACADBCACAB=+=1()()1,|3,|22AM BCACADACABAMBC=+=异面直线 AM 与 B

13、C 所成角的余弦值为36AM BCAM BC=16.【参考答案】：直线:4l yx=+关于原点的对称直线为:4lyx=，记直线OP 与直线l的交点为 P，连结QP，则12OMQP=，设()minmin22cos,sin,|42Q aOMQP=22minmin41cossin42,8222aaQPa+=或 24 当224a=时，:4lyx=与椭圆相交，QP 最小值为 0，与min22QP=矛盾，舍去.学科网（北京）股份有限公司当28a=时，符合要求，此时，27c=，椭圆离心率144e=.四解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.）17.【参考答案】解：（1）()00f=，若()f x 有且只有

14、一个零点，则这个唯一零点一定是 0 故()0,0 xf x，即函数21yxax=+无零点；240,22aa=（2）()()322321f xxaxxfxxax=+=+()f x的一个极值点为()1,10,2fa=()()()2341311fxxxxx=+=，当1,13x时，()()0,fxf x单调递增()()()12,12327fxffxf=极大极小 18.【参考答案】解：（1）2ABAD=，即22222(3)xyxy+=+.()22(4)40 xyy+=学科网（北京）股份有限公司（2）由题意，()4,2A2,ACAC=k所在直线方程为260 xy=圆心()4,0 到直线 AC 的距离25d

15、=228255AErd=19.【参考答案】：（1）ABE是边长为 2 的等边三角形，2AB=又30,3DBABD=，ABD中，22221,1ADBDABBD ABAD=+=点 A 到平面 BDE 的距离为 1，不妨设平面 BDE 的法向量为n 则1AD nn=又1,AD nADADn=即|AD nAD n=AD nAD 平面 BDE，ADDE，又1,2,3ADAEDE=（2）由（1）知222ADBDABADBD+=，又 BEAD，且 BDBEBAD=平面 BDE 又1,2,3,3ADAEDEBDDEDB=设CE 中点为 H，则OH BC，又 AD BC，且12ADBC=，OH AD，且1OHA

16、DOH=平面 BDE；设 BE 中点为O，则 BEOD，因此，,OD OE OH 两两垂直；如图建系；则()()()()1,0,0,0,0,1,1,0,2,0,2,0EHCD学科网（北京）股份有限公司()()2,0,2,1,2,222,ECDCBCADAD=BC()1,0,0,12ADBCOHADOH=；设平面 DCE 的法向量为(),nx y z=，则0,0n ECn DC=，220,220 xzxyz+=+=，取1x=，则21,12n=10sin.5n ADn AD=20.【参考答案】：（1）解：由1,nnnaSa+成等比数列得1nnnaaS+=，且0na，当1n=时12121a aaa=

17、；当2n 时，11nnnaaS=，又1nnnaaS+=()1111112,nnnnnnnnnaSSaaaaaannN+=()()*2211naann nN=+=（2）解法一：由（1）易得1,2,2nnanann+=为奇数为偶数，则1,21,2a nna nnbn+=为奇数为偶数，故*1,2a nnbnN+=学科网（北京）股份有限公司11122annT=，而12anT 11224aa.解法二：设112nnaanb+=，则12211111;222nnnnaaaannnbbb+=nb是一个等比数列 11*11,22annbnN+=11122annT=，而12anT，故()11xfxex=+在()1,

18、+单调递增，又()()00,1,0fx=时，()()0,0,fxx函数()f x 的单调递减区间为()1,0，单调递增区间为()0,+（2）当2m 时，()()()ln1ln21xxf xexmex=+令()()ln21xg xex=+，则()12xgxex=+，()210(2)xgxex=+()ygx=在()2,+单调递增，又()()10,00gg，()01,0 x，使得()00gx=，且是()ygx=在()2,+上的唯一零点，()gx 在()02,x上为负，在()0,x+上为正，学科网（北京）股份有限公司故()g x 在0 xx=处取到极小值，也就是最小值.()00gx=，即()()000

19、001,ln2,1,02xexxxx=+()()()()000000011ln211212 122xg xg xexxxxx=+=+=+当2m 时，求证：()1f x.22.【参考答案】解：（1）设等轴双曲线 C：()220 xy=；C过()2,1,1AC=的标准方程为221xy=.（2）证明：设直线l 的方程为 ykxm=+；联立方程：()()2222211210 xykxkmxmykxm=+=+设()()1122,Q x yP xy，则212122221;(0)11kmmxxx xkk+=()()()()()12211212121212121211222kxmxkxmxyykkxxx xxx+=+=+()()()()121212122122 2122 222kx xmkxxmkx xxx+=+()()12122 2232 242 20 x xkmxxmk+=()222122 2232 242 2011mkmkmmkkk+=化简整理得：()()()223222 2322220kmkkmkkk+=()()()222220mkkmkk+=()()202210kmkmk+=2mk=或12mk=当2mk=，直线l 恒过定点()2,0；学科网（北京）股份有限公司当12mk=，直线l 恒过定点()2,1A，故舍去.综上所述，命题得证.