非对称韦达定理问题（学生版）.pdf

1、1非对称韦达定理问题考点解密在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似y2-2x1y1+2x2为定值的情形，通过直线代换可得：y2-2x1y1+2x2=kx2+2x1kx1+6x2=kx1x2+2x1kx1x2+6x2，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一 般 称 为“非 对 称 韦 达 定 理”或 者 在 处 理 斜 率 比 值 的 时 候：kPAkPB=y1 tx1y2 tx2=x2y1 tx2x1y2 tx1=kx1x2+(m t)x2kx1x2+(m t)x1我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到 x1+x2和 x1 x2之间的关

2、系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：联立方程后得到韦达定理：x1+x2=f(t)x1x2=g(t)m(t)(x1+x2)=n(t)x1x2代入之后进行代换消元解题.利用点在椭圆方程上代换题型解密题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】1 已知双曲线 C:x2a2-y23a2=1(a 0)的左顶点为 A，右焦点为 F，P 是直线 l:x=a2 上一点，且 P 不在 x 轴上，以点 P 为圆心，线段 PF 的长为半径的圆弧 AF 交 C 的右支于点 N(1)证

3、明：APN=2NPF；(2)取 a=1，若直线 PF 与 C 的左、右两支分别交于 E，D 两点，过 E 作 l 的垂线，垂足为 R，试判断直线 DR 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由2【跟踪训练】1 已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 A 2,0，B 1,32，M，N 为椭圆 E上关于 x 轴对称的两点(不与点 B 重合)，Q 1,0，直线 MQ 与椭圆 E 交于另一点 C，直线 QP 垂直于直线 NC，P 为垂足(1)求 E 的方程；(2)证明：(i)直线 NC 过定点，(ii)存在定点 R，使 PR为定值2 椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b

4、0的一个焦点为 F 1,0，且过点 M 1,32(1)求椭圆 C 的标准方程和离心率；(2)若过点23,0且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 P 在直线 x=6 上，且 NP 与 x 轴平行，求直线 MP 恒过的定点3题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】2 椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴长为 4，且椭圆 C 过点3,32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 A、B 为椭圆 C 的左、右顶点，过右焦点 F 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于点 M、N，直线AM 与直线 x=4 交于点 P，记 PA、PF、BN 的斜率分别为

5、 k1、k2、k3，问 k1+k3k2是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.3 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 12，点 P 1,32为椭圆上一点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，过点 C(0，1)且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线BN 的斜率为 k2，若 k1=2k2，求直线 l 斜率的值4【跟踪训练】3 已知点 F 为椭圆 E:x24+y23=1 的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过 F 作直线 l 与椭圆交于 M，N 两点(不与 A，B 重合)，记直线

6、 AM 与 BN 的斜率分别为 k1,k2,证明 k1k2为定值4 已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的离心率为2，点 3,-1在双曲线 C 上.过 C 的左焦点 F 作直线 l 交 C 的左支于 A、B 两点.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若 M-2,0，试问：是否存在直线 l，使得点 M 在以 AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点 P-4,2，直线 AP 交直线 x=-2 于点 Q.设直线 QA、QB 的斜率分别 k1、k2，求证：k1-k2为定值.5题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】4 已知 B-1,0,C 1,0为 ABC 的两个顶点，

7、P 为 ABC 的重心，边 AC,AB 上的两条中线长度之和为 6.(1)求点 P 的轨迹 T 的方程.(2)已知点 N-3,0,E-2,0,F 2,0，直线 PN 与曲线 T 的另一个公共点为 Q，直线 EP 与 FQ 交于点 M，试问：当点 P 变化时，点 M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.5 已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为-2 5,0，离心率为5(1)求 C 的方程；(2)记 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点-4,0的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，M 在第二象限，直线 MA1与 NA2交于点 P证明:点 P 在定直线上.6【跟踪训练】

8、5 已知圆 C1:(x+5)2+y2=1，圆 C2:(x-5)2+y2=25，动圆 C 与圆 C1和圆 C2均相切，且一个内切、一个外切(1)求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程(2)已知点 A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线 l 与轨迹 E 交于 M,N 两点，记直线 AM 与直线 BN 的交点为 P试问：点 P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由6 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 1的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，F1到直线 AF2的距离为3，且 AF2=2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若过 F2且斜率为 k k 0

9、的直线 l 与椭圆 C 交于 D，E 两点，椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，证明：直线 A1D 与 A2E 的交点在定直线上.77 已知椭圆 W:x24m+y2m=1 m 0的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A，B，经过点 P(1，0)的动直线与椭圆 W 相交于不同的两点 C，D(不与点 A，B 重合)(1)求椭圆 W 的方程及离心率；(2)若直线 CB 与直线 AD 相交于点 M，判断点 M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由考点过关练1 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1-c,0，F2 c,0c 0，点 M 在椭圆 E 上，MF2 F1F2，MF1

10、F2的周长为 4+2 3，面积为 12 c(1)求椭圆 E 的方程(2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A，B，过点 1,0的直线 l 与椭圆 E 交于 C，D 两点(不同于左右顶点)，记直线 AC 的斜率为 k1，直线 BD 的斜率为 k2，问是否存在实常数，使得 k1=k2，恒成立？若成立，求出 的值，若不成立，说明理由82 椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A，B，过左焦点 F(-1,0)的直线与椭圆交于C，D 两点(其中 C 点位于 x 轴上方)，当 CD 垂直于 x 轴时，CD=3.(1)求椭圆的方程；(2)记直线 AC，BD 的斜率分别为 k1,k2，问

11、；k1k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由3 已知圆 C1:(x+5)2+y2=1，圆 C2:(x-5)2+y2=25，动圆 C 与圆 C1和圆 C2均相切，且一个内切、一个外切(1)求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程(2)已知点 A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线 l 与轨迹 E 交于 M,N 两点，记直线 AM 与直线 BN 的交点为 P试问：点 P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由94 已知椭圆 W:x24m+y2m=1 m 0的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A，B，经过点 P(1，0)的动直线与椭圆 W 相交于不同的两点 C，

12、D(不与点 A，B 重合)(1)求椭圆 W 的方程及离心率；(2)若直线 CB 与直线 AD 相交于点 M，判断点 M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由5 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，点 P-1,32在椭圆 C 上，且 PF2=52，直线 l 过点 F1且与椭圆 C 交于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 OF1=F1M，OF2=F2N，若直线 AM，BN 交于点 D，探究：点 D 是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由106 已知椭圆 E：x2a2+y

13、2b2=1 a b 0，F 2 2,0为椭圆 E 的右焦点，三点3 32,12，-3 32,12，2,13中恰有两点在椭圆 E 上.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 A,B 为椭圆 E 的左右端点，过点 M 2,0作直线交椭圆 E 于 P，Q 两点(不同于 A,B)，求证：直线 AP 与直线 BQ 的交点 N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.7 已知 F 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左焦点，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为32，MOF 的面积的最大值为32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)A，B 为椭圆的左，右顶点，点 P 1,0，当 M 不与 A，B 重合时，射线 MP 交椭圆 C 于点 N，直线AM，BN 交于点 T，求 ATB 的最大值.118 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32，右焦点为 F3,0，A，B 分别为椭圆 C的左、右顶点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 D 1,0作斜率不为 0 的直线 l，直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，记直线 AP 的斜率为 k1，直线BQ 的斜率为 k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，直线 AP 与直线 BQ 交于点 M，求证：点 M 在定直线上.