专题01新知识学习型.docx

1、专题01 新知识学习型&新定义问题之求函数的取值范围（解析版）通用的解题思路：第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看，二次函数看对称轴与区间的位置关系；第二步：当时，；当时，；所以.二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。（1） 若自变量的取值范围为全体实数，如图，函数在顶点处时，取到最值.（2） 若，如图，当时，；当时，.（3） 若，如图，当，；当，.（4） 若，且，如图，当，；当，. 1.（中考真题）设a、b是任意两个不等实数,我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为a,b.对于一个函数,如果

2、它的自变量x与函数值y满足：当mxn时,有myn,我们就称此函数是闭区间m,n上的“闭函数”。(1)反比例函数是闭区间1,2013上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；(2)若一次函数y=kx+b(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数是闭区间a,b上的“闭函数”，求实数a，b的值。【解答】解：（1）反比例函数y是闭区间1，2013上的“闭函数”理由如下：反比例函数y在第一象限，y随x的增大而减小，当x1时，y2013；当x2013时，y1，所以，当1x2013时，有1y2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y是闭区间1，2013上的“闭函数”；（2）分两种情况

3、：k0或k0当k0时，一次函数ykx+b（k0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，解得此函数的解析式是yx；当k0时，一次函数ykx+b（k0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，解得此函数的解析式是yx+m+n；（3）yx2x（x2）2，该二次函数的图象开口方向向上，最小值是，且当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大；当b2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，解得，（不合题意，舍去）或；当a2b时，此时二次函数yx2x的最小值是a，根据“闭函数”的定义知，ba2a或bb2b；a）当ba2a时，由于b（）2（）2

4、，不合题意，舍去；b）当bb2b时，解得b，由于b2，所以b；当a2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，解得，0，舍去综上所述，或2（中考真题）若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”(1)若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；(2)若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；(3)若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析：（1）解：当时，则，即，随的增

5、大而增大，若函数，当时，当时，则，综上所述，时，时，（2）解：对于函数，函数在第一象限内，随的增大而减小，解得，当时，当时，随的增大而增大，当时，取得最小值，此时取得最大值，最大值为；（3）对于函数，抛物线开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，当时，函数y的最大值等于，在时，当时，即时，的最小值为（当时），若，解得，但，故不合题意，故舍去；当时，即时，的最小值为（当时），若，解得，但，故不合题意，故舍去当时，即时，i)当时，即时，对称轴为，抛物线开口向上，在上，当2时，有最小值，解得；i i)当 时，即时，对称轴为，抛物线开口向上，在上，当2时，有最小值，解得，综上所述，时，存在3

6、（中考真题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“H函数”的打“”（）（）（）（2）若点与点关于x的“H函数” 的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求的值或取值范围；（3）若关于x的“H函数” （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围【详解】（1）是 “H函数”是 “H函数”不是 “H函数”；故答案为：；（2）A,B是“H点”A,B关于原

7、点对称，m=4,n=1A(1,4），B（-1，-4）代入，得，解得，又该函数的对称轴始终位于直线的右侧，-2 ，-2，-1a0，a+c=0，0c1，综上，-1a0，b=4，0c1；（3）是“H函数”，设H点为（p,q）和（-p,-q）,代入得，解得ap2+3c=0,2bp=q，p20，a,c异号，ac0，a+b+c=0，b=-a-c，c24a2，4，-22，-20，设t=，则-2t0，设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0），x1, x2是方程=0的两根，=2= ，又-2t0，224.（2022春芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当axb且ba+3时，函数y有最大值yma

8、x，最小值ymin，设hymaxymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当hymaxymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“”，如果不是，请在对应（）内画“”y2x （ ）；y2x+2 （ ）；yx2 （ ）（2）y关于x的一次函数ypx+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h3，求一次函数解析式；（3）若，当axb（ba+3）时，写出函数yax2bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围【解答】解：（1）y2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，h2（a+3）2a

9、6，y2x是“极差常函数”，故答案为：；y2x+2 是一次函数，且y随x值的增大而减小，h2a+22（a+3）+26，y2x+2是“极差常函数”，故答案为：；yx2 是二次函数，函数的对称轴为直线x0，当a+30时，ha2（a+3）296a；当a0时，h（a+3）2a29+6a；yx2 不是“极差常函数”，故答案为：；（2） 当x0时，yq，函数与y轴的交点为（0，q），当y0时，x，函数与x轴的交点为（，0），S|q|1，2，当p0时，hp（a+3）+q（pa+q）3，p1，q，函数的解析式为yx；当p0时，hpa+qp（a+3）+q3，p1，q，函数的解析式为yx；综上所述：函数的解析式为

10、yx或yx；（3）yax2bx+4a（x）2+4，函数的对称轴为直线x，ba+3，x+，+，a+3，（a+3）（+a）2a+2，2a+20，a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，当xa+3时，y有最大值a（a+3）2（a+3）2+4，当x时，y有最小值44，ha（a+3）2（a+3）2+44+（a+3）2（a1+），4ah（2a2+5a3）2，2a2+5a32（a+）2，2a2+5a39，4ah815.（雅实）若函数、满足，则称函数y是、的“融合函数”.例如，一次函数和二次函数，则、的“融合函数”为.（1）若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求k的值；（2）若为二次函数，且，

11、在时取得最值，函数为一次函数，且、的“融合函数”为，当时，求函数的最小值（用含t的式子表示）；（3）若二次函数与一次函数，其中且，若它们的“融合函数”与x轴交点为、，求的取值范围.【解答】解：(1)由题意可得y1、y2的融合函数，将点代入，可得：，解得.(2) ，y2为一次函数，即，在x=t处取得最值，即，即，对称轴：.若时，即当时，若时，即当时，若时，即当时，.(3)y1、y2的融合函数，与y轴交于点、，又，当时，当时，.6（立信）已知：抛物线：（）（1）若顶点坐标为，求和的值（用含的代数式表示）；（2）当时，求函数的最大值；（3）若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求，的值；

12、此时，若时，抛物线的最小值为，求的值【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（1，1），ya（x1）2+1ax22ax+a+1，b2a，ca+1；（2）yax2+bx+c，a0，c0，b24ac0，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，|ax2+bx+c|0，2022|ax2+bx+c|0，2022|ax2+bx+c|11，函数y2022|ax2+bx+c|1的最大值为1；（3）直线与抛物线C1有且只有一个公共点，方程组只有一组解，ax2+（bm）x+m+c0有两个相等的实数根，0，（bm）24a（+m+c）0，整理得：（1a）m22（2a+b）m+b24ac0，不论m为任何实数，（1

13、a）m22（2a+b）m+b24ac0恒成立，a1，b2，c1此时，抛物线解析式为yx22x+1（x1）2，抛物线的对称轴为直线x1，开口向上，当kxk+1时，抛物线的最小值为k，分三种情况：k0或0k1或k1，当k0时，k+11，当kxk+1时，y随着x的增大而减小，则当xk+1时，y的最小值为k，（k+11）2k，解得：k0或1，均不符合题意，舍去；当0k1时，当x1时，抛物线的最小值为0，k0；当k1时，y随着x的增大而增大，则当xk时，y的最小值为k，（k1）2k，解得：k或，k1，k，综上所述，若kxk+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或7（长郡）对于一个函数给出如下定义：对于函

14、数y，若当axb，函数值y满足myn，且满足nmk（ba），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y3x，当1x3时，9y3，则3（9）k（31），求得：k3，所以函数y3x为“3属和合函数”（1）若一次函数ykx1（1x3）为“4属和合函数”，求k的值；（2）反比例函数（k0，axb，且0ab）是“k属和合函数”，且a+b3，请求出ab的值；（3）已知二次函数yx2+2ax+3，当1x1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围【详解】解：（1）当k0时，y随x的增大而增大，1x3，k1y3k1，函数ykx1（1x3）为“k属和合函数”，（3k1）（k1）4（31），k4；当k0时，y

15、随x的增大而减小，3k1yk1，（k1）（3k1）4（31），k4，综上所述，k的值为4或4；（2）反比例函数y，k0，在第一象限，y随x的增大而减小，当axb且0ab是“k属和合函数”，k（ba），ab1，a+b3，（ab）2（a+b）24ab945，ab；（3）二次函数yx2+2ax+3的对称轴为直线xa，当1x1时，y是“k属和合函数”，当x1时，y22a，当x1时，y2+2a，当xa时，ya2+3，如图1，当a1时，当x1时，有y最大值22a，当x1时，有y最小值2+2a（22a）（2+2a）k1（1）2k，k2a，而a1，k2；如图2，当1a0时，当xa时，有y最大值a2+3，当x1

16、时，有y最小值2+2a，a2+3（2+2a）2k，k，k2；如图3，当0a1时，当xa时，有y最大值a2+3，当x1时，有y最小值22a，a2+3（22a）2k，k，k2；如图4，当a1时，当x1时，有y最大值2+2a，当x1时，有y最小值22a，（2+2a）（22a）2k，k2a，k2综上所述，当1x1时，y是“k属和合函数”，k的取值范围为k8（师大附中博才）已知a、b是两个不相等的实数且，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有为正数，我们就称此函数是闭区间上的“t倍函数”例如：正比例函数，当时，则是上的“2倍函

17、数”(1)已知反比例函数是闭区间上的“2倍函数”，且，求的值；(2)已知正比例函数是闭区间上的“t倍函数”，求t；一次函数是闭区间上的“2倍函数”，求此函数的解析式(3)若二次函数是闭区间上的“7倍函数”，求实数a、b的值【详解】（1）已知反比例函数是闭区间上的“2倍函数”，当时，当时，；当时，又，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，且，又，（2）已知正比例函数，y随x的增大而增大，且当时，；当时，当时，是闭区间上的“1倍函数”，即一次函数是闭区间上的“2倍函数”，当时，若时，y随x的增大而增大，当，则；当，则，将代入，得，若时，函数解析式为若时，y随x的增大而减小，当时，；当

18、时，若时，函数解析式为，综合以上分析，函数的解析式为或（3）由二次函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，二次函数是闭区间上的“7倍函数”，当时，若时，根据增减性，当时，；当时，两式相减得：，将代入得：，或，当时，；当时，（舍去，）若时，当时，解得（舍去）或，当时，解得或，均不符合，舍去若，时，当时，则时，若，舍去，当时，则（舍去）或符合题意综上分析，或者，9（长郡）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P（x，y）的勾股值，记为(1)已知点A（1，3），B（，4），C（，），直接写出，的值；(2)已知点D是直

19、线上一点，且，求点D的坐标；(3)若抛物线与直线只有一个交点M，已知点M在第一象限，且令，试求t的取值范围【详解】（1）解：A（1，3），B（2，4），C（+2，2），A=|1|+|3|=4，B=|-2|+|4|=6，C=|+2|+|2|=+2+2-=4；（2）设 D ( m ， n )，D是直线yx+2上一点，且D4，解得或，点D的坐标（1，3）或（-3，-1）；（3）由题意方程组只有一组实数解，消去y得，由题意，方程可以化为，或，解得或，点M在第一象限，=，10（雅礼）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b），给出如下定义：若b=，则称点Q为点P的限变点例如：点（2，3

20、）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）（1）点(，1)的限变点的坐标是 ；在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y图象上某一个点的限变点，这个点是 ；（填“A”或“B”）（2）若点P在函数y=-x+3（-2xk，k-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b的取值范围是-5b2，求k的取值范围 ；（3）若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b的取值范围是bm或bn，其中mn令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围 【详解】（1）根据限变点的定义可知点(，1)的限变点的坐标为（，1）； （-1，-2）限变

21、点为（-1，2），即这个点是点B （2）依题意，y=-x+3（x-2）图象上的点P的限变点必在函数y=的图象上b2，即当x=1时，b取最大值2当b=-2时，-2=-x+3x=5 当b=-5时，-5=x-3或-5=-x+3x=-2或x=8 -5b2，由图象可知，k的取值范围是5k8（3）y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，顶点坐标为（t，t）若t1，b的取值范围是bm或bn，与题意不符若t1，当x1时，y的最小值为t，即m=t；当x1时，y的值小于-（1-t）2+t，即n=-（1-t）2+ts=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1s关于t的函数解析式为s=t2+1（t1），当t=1时，s取最小值2，s的取值范围是s2