专题03立体几何中的动点问题和最值问题（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题03 立体几何中的动点和最值问题题型一 立体几何中的动点问题1如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是A直线直线B过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为C若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为D动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是【解答】解：对于，、平面，平面，平面，直线与直线不垂直，故错误；对于，如图1，取，的中点、，连接、因为，由三垂线定理得，所以平面，所以截正方体所得的截面为，故周长为，故错误；对于，如图过构造平面与平行，即到直线的距离的最小值，故正确；对于，如图3，取的中点，因为，所以平面，故点轨迹为在正方形中，当与重合时，最大，当时

2、，最小所以因为平面，所以为与平面所成角，则与平面成角正切的取值范围是，故正确故选：2如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是A对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线B对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线C当点从运动到的过程中，二面角的大小不变D当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大【解答】解：对任意动点，在平面内只要与平行的直线，即可与平面平行，所以不正确；对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线，不正确；因为二面角的大小不变是锐角，所以不正确；当点从运动到的过程中，二面角的大小不变，由二面角的定义可知，命题是真命题，正确；当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大，不

3、正确；因为是定值，三角形的面积是定值，所以点到平面的距离不变，所以不正确；故选：3如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的有A当点运动时，总成立B当向运动时，二面角逐渐变小C二面角的最小值为D三棱锥的体积为定值【解答】解：对于，易证平面，所以，同理可证，从而平面，所以恒成立，正确；对于，平面即平面，而平面即平面，所以当向运动时，二面角的大小不变，错误；对于，当点从的中点向点运动时，平面逐渐向底面靠拢，这个过程中，二面角越来越小，所以二面角的最小值为，正确；对于，因为，点到平面的距离为，所以体积为，即体积为定值，正确故选：4如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且，为棱

4、的中点，点是线段上的动点，则A无论点在线段上如何移动，都有异面直线，的夹角为B三棱锥的体积为108C直线与所成角的余弦值D直线与平面所成最大角的余弦值为【解答】解：在正方体中，易证面，又平面，所以，所以异面直线，的夹角为，则正确；，则错误；在棱上取点，使，连结，（如图），则易知为直线与所成角或其补角，可得，则，则直线与所成角的余弦值为，则正确；由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面，为垂足，则为正的中心，且为直线与平面所成角，所以，当点移动到的中点时，最短，如图，此时最小，最大，此时，则正确故选：5在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有A存在点使得异面直线与所成角为B存在

5、点使得异面直线与所成角为C存在点使得二面角的平面角为D当时，平面截正方体所得的截面面积为【解答】解：对于，连接、，交于，连接，取点为时，连接，因为、，所以平面，又因为平面，所以，所以对；对于，因为，所以异面直线与所成角就是，因为，所以错；对于，因为二面角的平面角为，因为，所以错；对于，取中点，连接，过作，交于，交于，连接、，所以对故选：6已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是A与一定不垂直B二面角的正弦值是C的面积是D点到平面的距离是常量【解答】解：对于，当与点重合时，故选项错误；对于，由于点是棱上的动点，是棱上的一条线段，所以平面即平面

6、，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，4，所以，平面即平面，设平面的法向量为，则，即，令，则，同理可求得平面的法向量为，设二面角为，所以，故，故选项正确；对于，由于平面，又平面，所以，所以，所以是的高，所以，故选项正确；对于，由于，且平面，平面，所以平面，又点在上，所以点到平面的距离为常量，故选项正确故选：7在长方体中，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则A平面B三棱锥的体积为4C存在点，使得D线段的长度的取值范围为，【解答】解：平面平面，平面，平面，故正确；，故错误；连接，作交于，连接，平面，为与平面所成的角，平面，为与平面所成角直

7、线，与平面所成角的大小相等，则，又，则点在的中垂线上，即点在线段上运动，当点与点重合时，故正确；，为棱上靠近的三等分点，则，当点在点或点处时，线段的长度取得最大值，最大值为，当点在点处时，线段的线段取得最小值，最小值为，线段的长度的取值范围为，故正确故选：8已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面下面说法正确的是A直线与平面所成角的正弦值范围为B点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D已知为中点，当的和最小时，为的中点【解答】解：对于选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点，0，

8、、，2，设点，2，平面，则为平面的一个法向量，且，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，选项正确；对于选项，当与重合时，连接、，在正方体中，平面，平面，四边形是正方形，则，平面，平面，同理可证，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为设、分别为棱、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，选项错误；对于选项，设平面交棱于点，0，点，2，平面，平面，即，得，0，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，1，而，且，由空间中两点间的距离公式可得，所以，四边形为等腰梯形，选项正确；对于选项，将矩形与矩形延展为

9、一个平面，如下图所示：若最短，则、三点共线，所以，点不是棱的中点，选项错误故选：9如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为ABC2D【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，3，则，0，3，0，3，平面的法向量，1，解得，3，与平面所成的角为，当时，取最大值为此时，的最大值为：故选：10在正三棱柱中，点满足，其中，则A当时，的周长为定值B当时，三棱锥的体积为定值C当时，有且仅有一个点，使得D当时，有且仅有一个点，使得平面【解答】解：对于，当时，即，所以，故点在线段上，此时的周长为，当点为的中点时，的周长为，当点在点处时，的周长为，故周长不为

10、定值，故选项错误；对于，当时，即，所以，故点在线段上，因为平面，所以直线上的点到平面的距离相等，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；对于，当时，取线段，的中点分别为，连结，因为，即，所以，则点在线段上，当点在处时，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，当点在处，故选项错误；对于，当时，取的中点，的中点，因为，即，所以，则点在线的上，当点在点处时，取的中点，连结，因为平面，又平面，所以，在正方形中，又，平面，故平面，又平面，所以，在正方体形中，又，平面，所以平面，因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点，使得平面，故选项正确故选：11如图，已知四边形为直角梯形，

11、为矩形，平面平面，（1）若点为中点，求证：平面；（2）若点为线段上一动点，求与平面所成角的取值范围【解答】证明：（1）平面平面，平面平面，面且，面建立空间直角坐标系如图，则，0，1，0，1，0，1，故，又，面，故面；解：（2）由（1）知，设，则，设平面的法向量为，由，取，则，故平面的一个法向量为设与平面所成角为，当时取最大值，当时取最小值故与平面所成角的取值范围为，12如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，上的动点，且（1）求证：；（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值【解答】解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系，设，则，0，2，2，2，（2）由（1）得，当或时，取得最大值为2，当时，点与

12、点重合，即，0，点与点重合，即，2，2，0，设平面的一个法向量为，则，取，得，1，设平面的一个法向量，则，取，得，1，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为当时，点与点重合，点与点重合，同理可得二面角的余弦值为综上，当取得最大值时，二面角的余弦值为题型二 立体几何中的最值问题13在四面体中，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则下列说法正确的是AB四面体的体积的最大值为C棱的长的最小值为D四面体的外接球的表面积为【解答】解：对于，假设，设的中点为，因为三角形为正三角形，则，又，平面，故平面，又平面，故，而题中并不能得到，故假设不成立，所以不垂直，故选项错误；对于，要使的最大，只需高最大，故

13、的最大值为，故选项正确；对于，由选项中可知，此时也最小，故的最小值为，故选项正确；对于，设的外心为，为的中点，设过与平面垂直的直线为，过作于点，则外接球球心在上，只需，又，设，由，可得，解得，所以，所以四面体的外接球的表面积为，故选项正确故选：14已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为ABCD【解答】解：长方体的高，当最大时，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，0，设二面角的平面角为，结合图形得为钝角，则二面角的余弦值为故选：15如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点当平面与底面所成的锐二面角最小时，【解答】

14、解：以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设，则，0，4，3，0，所以，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，平面的一个法向量为，设平面与底面所成的锐二面角为，则，锐二面角越小，则越大，所以求的最小值，令，所以当时，有最小值，此时故答案为：16四棱锥的底面是边长为的菱形，面，分别是，的中点（1）求证：平面平面；（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的余弦值【解答】解：（1）证明：底面是边长为的菱形，故，由，所以，故，又，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，故平面平面；（2）连接，则由（1）知，平面，则为直线与平面所成的角，在中，当最小时，即时，取得最大值，此时，设，则

15、由得，解得，根据题意，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，则，0，0，设平面的法向量为，由，得，又平面的法向量为，由，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为17如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，分别为和的中点（1）求证：平面；（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值【解答】解：依题意可得，两两垂直，故以为原点建立空间直角坐标系（如图），0，0，4，0，0，4，（1），0，0，且，面（2）设，0，4，0，设面的法向量为，由，可取，3，则直线与平面所成角正弦值为，当时，取得最小值1，此时的值最大为即直线与平面所成角正弦的最大值为18如图，矩形所在的平面与半圆弧所在的平

16、面垂直，是上异于，的动点（1）证明：平面平面；（2）设和平面所成角为，求的最大值【解答】（1）证明：由题意可知，平面平面，且平面平面，又，平面，故平面，又平面，所以，因为是上异于，的动点，且为直径，所以，又，平面，所以平面，又平面，故平面平面；（2）解：过点作，交于点，连接，由平面平面，且平面平面，所以平面，则为与平面所成角，即，不妨设，所以，则由射影定理可得，又，所以，故，令，故，当且仅当时取等号，所以的最大值为19已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）证明：连接，分别为直三棱柱的棱和的中点，且

17、，即，故以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，2，1，2，设，则，0，2，1，即（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，由（1）知，1，1，设平面的法向量为，则，即，令，则，当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小20如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值【解答】解：（1）证明：在半圆中，正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，平面，则，平面，平面，平面平面（2）的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最

18、大，此时为圆弧的中点，建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形的边长为2，1，0，则平面的法向量，0，设平面的法向量为，则，2，1，由，令，则，即，0，则，则面与面所成二面角的正弦值21如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，与平面所成角为，为上一点且（1）证明：；（2）设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面所成二面角的余弦值的最大值【解答】解：（1）证明：四边形为矩形，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，（2）平面，为与平面所成角，与平面所成角为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，令，则，0，0，1，0，1，设，是平面的一个法向量，则，取，得，平面的一个法向量为，0，当时，的最大值，平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为22如图，四边形为直角梯形，其中，为腰上的一个动点为等腰直角三角形，平面平面（1）求证：；（2）当直线与平面所成角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：为等腰直角三角形，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，；（2）解：连接，由（1）知平面，直线与平面成角为，当最小时，与平面所成角最大，此时，过作于，过作于，连接，则为二面角的平面角，在上取得，使，连接，则，在中，由，可得，由，可得，则，由，可得，由，得，即，