专题09二次函数的应用（2个知识点4种题型1个易错点）（解析版）.docx

1、专题09二次函数的应用（2个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.最大面积问题（重点）知识点2.最大利润问题（难点）【方法二】 实例探索法题型1.运动中的二次函数问题题型2.二次函数与建筑问题题型3.分段函数问题题型4.动点问题【方法三】差异对比法易错点：混淆销售利润各量之间的关系而导致错误【方法四】 成果评定法【学习目标】1. 能运用二次函数解决最大面积（高度）问题2. 能建立二次函数模型解决最大利润问题。3. 能从实际问题中抽象出二次函数，并能运用二次函数的性质解决问题。重点：利用二次函数解决最大面积，最大高度、最大利润问题。难点：二次函数性质的

2、应用。 【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.最大面积问题（重点）求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多【例1】（2023秋南开区期末）如图1，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃设花圃的宽为 （宽不大于长，面积为 （）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（）请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时的值；（）如图2，为了方

3、便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为的两扇小门，能否使围成的花圃面积为？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由【分析】（）根据矩形的面积即可写出函数关系式，并根据墙长求出自变量的取值范围；（）根据（）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积；（）根据矩形的面积公式写出函数解析式，根据墙长求出的取值范围，再令，解方程求出的值即可【解答】解：（）宽 ，则长，又，且，关于的函数解析式为；（），当时，随的增大而减小，当时，有最大值，最大值为，当时，花圃能围成的最大面积为；（）能使围成的花圃面积为理由：设 ，则，令，则，解得，墙的最大可用长度为10

4、米，此时，当，时，能使围成的花圃面积为【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数和一元二次方程的应用【变式1】（2022秋龙岩期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏，菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计）（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值【分析】（1）设的长为 ，则的长为，根据矩形的面积列出方程，解方程取符合题意的值即可；（2）设的长为 ，菜园面积为 ，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值【解答】解：（1）设的长为

5、，则的长为，根据题意得：，解得或，当时，舍去；当时，满足题意，花园面积可能是，此时边长为；（2）设的长为 ，菜园面积为 ，由题意得：，当时，随的增大而增大，当时，最大，最大值为288答：该菜园面积的最大值为288平方米【变式2】（2023淮阴区一模）如图，中，为中点，、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为时，的面积最大【分析】根据题意可以表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题【解答】解：设点运动的距离为，则点运动的距离也为，当时，的面积最大，故答案为：4【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答知识点2.最

6、大利润问题（难点）求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围【例2】（2023秋鼓楼区校级月考）一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量（件与售价（元成一次函数关系（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；（2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据利润等于每件的利

7、润乘以销售量，列出方程，即可求解；（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解【解答】解：（1）依题意得，整理得：，解得或180，物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，不合题意舍去，答：当售价为60元时，利润达到5600元（2）设利润为元，则，当时，答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键【变式】（2023宿迁）某商场销售、两种商品，每件进价均为20元调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果

8、售出种10件，种15件，销售总额为660元（1）求、两种商品的销售单价；（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价设种商品降价元，如果、两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售、两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与的函数关系式，然后根据种商品售价不低于种商品售价，可以得到的取值范围，最后根据二次函数的

9、性质求最值【解答】解：（1）设种商品的销售单价为元，种商品的销售单价为元，由题意可得：，解得，答：种商品的销售单价为30元，种商品的销售单价为24元；（2）设利润为元，由题意可得：，种商品售价不低于种商品售价，解得，当时，取得最大值，此时，答：取5时，商场销售、两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元【点评】本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组、写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值【方法二】实例探索法题型1.运动中的二次函数问题1（2022连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮

10、筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y3.05时离他最远的距离【解答】解：当y3.05时，3.050.2x2+x+2.25，x25x+40，（x1）（x4）0，解得：x11，x24，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m故答案为：4【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键2（2023宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x10）（x+4），则铅球推出的距离OAm【分析】令y0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论【解答】解：令

11、y0，则（x10）（x+4）0，解得：x10或x4（不合题意，舍去），A（10，0），OA10m故答案为：10【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键题型2.二次函数与建筑问题3（2022秋姜堰区期末）苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观现测得其中一钢架跨径为，拱高，每隔有一根立柱（1）该钢架可以看作一个二次函数的图象，如图2所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；（2）求制作图2中这七根立柱共需要多长的不锈钢管【分析】（1）根据构建平

12、面直角坐标系时，尽量使得抛物线的解析式比较简单的原则，可以的类型即可求解；（2）由（1）可根据抛物线的解析式求每根柱子的长，从而可求【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则有，设抛物线解析式为，解得：，（2）当时，当时，当时，答：这七根立柱共需要的不锈钢管【点评】本题考查了构建平面直角坐标系，二次函数的实际应用，掌握构建平面直角坐标系及理解二次函数中的自变量和因变量的实际意义是解题的关键4（2023秋新城区校级期中）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；（2）由

13、于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；（3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到【分析】（1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为轴，拱桥的最高点在轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解；（2）水位上涨了2米时，则，求出对应的的值即可；（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解【解答】解：（1）如图，为宽16米的水面，为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如下：

14、则，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将代入，得：，解得：，该抛物线的表达式为；（2）在中，当时，则，解得：，水面上升2米后的水面宽度为米，（3）如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，货船的高为2.6米，宽为3.2米，米，设米，则米，点的坐标为，将代入，得：解得，要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升1.2米【点评】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键题型3.分段函数问题5（2023秋西山区校级月考）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，对称轴与轴交于点，抛物线与轴交于点（1）求，的值；（2）若点为抛物线上不与，重合的点，且

15、，求证：，三点共线；（3）当时，二次函数的最大值为，最小值为，并且满足，求的值【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；（2）求出点，证明点在直线上，即可求解；（3）当时，当时，当时，则，再分类确定、的值，即可求解【解答】（1）解：点，它的对称轴为直线，则抛物线和轴的另外一个交点坐标为：，则抛物线的表达式为：，则，解得：，即，；（2）证明：当，解得：（舍去）或，即点，；由题意知，点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，当时，即点在直线上，即，三点共线；（3）解：当时，当时，当时，则；当时，函数在时，取得最大值，在时，取得最小值，即，解得：（舍去）或或（舍去）或1（舍去）；当时，同理可得

16、：，解得：（舍去）或7或（舍去）或1（舍去）；当时，当时，此时，抛物线在时，取得最大值，在时，取得最小值，则，解得：（舍去）或；当时，此时，抛物线在时，取得最大值，在时，取得最小值，则，解得：（舍去）或，综上，或7或或【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键题型4.动点问题6（2023靖江市模拟）我们将抛物线，且与抛物线称之为“轮换抛物线”例如：抛物线与抛物线就是一组轮换抛物线已知抛物线，其轮换抛物线记作（1）若与交于轴上的同一点，求的值；（2）在（1）的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作点，若将点绕点顺时针旋转后，的对应点恰好落在抛物

17、线的图象上，求出此时的值；（3）小明同学阅读了苏科版（数学）课本九年级下册页数学实验室介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线及其轮换抛物线的图象，与与轴的交点分别记作、两点不重合）小明发现，不论、为何值时，两抛物线始终有一交点点在与轴垂直的某一固定直线上运动若，记，求的最大值【分析】（1）根据定义求出轮换抛物线，再由题意得到方程，求出的值即可；（2）求出，过点作轴交于，过点作交于，证明，当时，求得；当时，求得；（3）先求抛物线的轮换抛物线为：，再求出，当时，解得或，可知，再由，得到，求出，则，当时，有最大值【解答】解：（1）抛物线，轮换抛物线，与交于轴上的同一点，解得；（2）

18、，抛物线，轮换抛物线，当时，或，由可知，过点作轴交于，过点作交于，当时，点在点的上方，按顺时针方向旋转后的坐标为，方程无解；当时，解得；综上所述：的值为；（3）抛物线的轮换抛物线为：，、不重合，当时，整理得，解得或，点的横坐标为1，当时，有最大值【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，旋转的性质，理解定义，根据定义能准确求出轮换抛物线的解析式是解题的关键7（2023姜堰区一模）【项目式学习】如图，抛物线与轴分别交于、两点、分别在原点左右两侧），与轴交于点，点为抛物线上第一象限内一动点，过点、点的直线交轴于点，过点、点的直线交轴于点，连接、，试

19、探究、之间的数量关系为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式：（1）设，若点的横坐标为3，计算：，；比较大小： （填“”、“ ”或“” 若点的横坐标为，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由小明在研究该问题时发现：当、两点的横坐标为、时，将抛物线解析式变形为，研究此问题更加方便请借助小明的发现验证你的猜想（2）请利用上述解决问题的经验，解决项目式学习中的问题；（3）若，直接写出的取值范围【分析】（1）由已知确定函数的解析式，求出、的坐标，再由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到、点坐标，分别计算、即可；同理，由待定系数法求出直线与直

20、线的解析式，从而得到、点坐标，分别计算、即可；（2）分别求出、的坐标，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到、点坐标，分别计算、即可；（3）令，根据面积公式求出的表达式为，再求的范围即可【解答】解：（1）当，时，当时，解得或，点的横坐标为3，当时，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，故答案为：，；仍成立，理由如下：点的横坐标为，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，；（2），设点横坐标为，直线的解析式为，直线的解析式为，；（3），令，且【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式的方法，

21、准确计算是解题的关键8（2023武进区一模）已知：如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）若为抛物线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，点在线段上，点是位于、两点之间的抛物线上一点，且，求点的坐标【分析】（1）先求出一次函数解析式，再将代入二次函数解析式求解即可；（2）利用梯形面积减去两个直角三角形的面积即可求解；（3）先求出直线的解析式，分别过点，点作轴的垂线，分别过与点，点作的轴的平行线分别交于点，点，过点作轴的垂线，垂足为，通过证明，根据全等三角形的性质可得，设，建立

22、方程求解即可【解答】解：（1）当时，将代入中，得，将代入得，解得，抛物线的解析式为；（2）令，解得或，过点作于，如图，即；（3）当时，解得（正值舍去），当时，设直线的解析式为：，解得，直线的解析式为：，如图，分别过点，点作轴的垂线，分别过与点，点作的轴的平行线分别交于点，点，过点作轴的垂线，垂足为，设，（负值舍去），【点评】本题考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，二次函数与几何综合等，熟练掌握知识点是解题的关键9（2023梁溪区一模）如图，将二次函数的图象沿轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象函数的图象的顶点为，函数的图象的

23、顶点为，和轴的交点为，（点位于点左侧）（1）求函数的解析式；（2）从，三点中任取两点和点构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）点是线段上的动点，是三边上的动点，是否存在以为斜边的，使的面积为面积的？若存在，求的值，若不存在，请说明理由【分析】（1）利用配方法得到，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式得到，解方程得，易得，列举出所有的三角形，再计算出，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得的解析式为，点的坐标为，讨论：当点在上，如图1，利用面积公式得到，解得，当时，求出，再利用正切定义计算的值；当时，计算出，再利用正切定义计算的值；当点在上，如图2，先利用

24、面积法计算出，再根据三角形面积公式计算出，然后利用正切定义计算的值；当点在上，如图3，作于，设，则，由得，利用勾股定理可计算出，证明，利用相似比可得到，根据此方程没有实数解可判断点在上不符合条件，从而得到的值为1或4或【解答】解：（1）的图象沿轴翻折，得把向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得，所求的函数的解析式为；（2），当时，解得，则，；当时，则，从点，三个点中任取两个点和点构造三角形的有：，为等腰三角形，构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）存在，0，的解析式为，设点的坐标为，当点在上，如图1，的面积为面积的，解得，当时，点的坐标为，则，；当时，点的坐标为，则，；当点在上，如图2，解得

25、，；当点在上，如图3，作于，设，则，由得，则，即，即，整理得，方程没有实数解，点在上不符合条件，综上所述，的值为1或4或【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题【方法三】差异对比法易错点：混淆销售利润各量之间的关系而导致错误10（2023洪泽区二模）某商店购入一批产品进行销售，进价为10元件，计划采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销售量件与

26、售价元件满足一次函数的关系，部分数据如下表：（元件）1011121314（件900850800750700（1）求与的函数关系式；（2）若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销量都是700件当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得与的函数关系式；（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和的函数关系式，再利用二次函数的性质，求线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润【解答】解：（1）设与的函数关系式为，把，代入解析式得，解得，与的

27、函数关系式为；（2）设总利润为元，当时，取得最大值，此时，答：当时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是10600元【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答【方法四】 成果评定法一选择题（共9小题）1（2023秋浑江区期末）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是则他将铅球推出的距离是A8B9C10D11【分析】铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值【解答】解：令函数式中，即，解得，（舍去），即铅球推出的距离是故选：【点评】本题考查了函数式中自变量与函数表达的实

28、际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解2（2022秋高碑店市期末）用总长为米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为平方米，关于的函数图象如图2，则的值是A16B12C8D4【分析】因为时，面积最大为4，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为2米，从而得出的值【解答】解：由图象可知，当时，有最大，最大值为4，当米，窗框的最大面积是4平方米，根据矩形面积计算公式，另一边为（米，材料总长（米故选：【点评】本题考查了二次函数的应用从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法3（2022秋东明县期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售

29、出时，能卖出200个已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是ABCD【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润【解答】解：根据题意可得：，故选：【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个”4（2023秋琼山区校级期中）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是ABCD【分析】铅球落地才能计算成绩，此时，即，解方程即可在实际问题中，注意负值舍去【解答】解：由题意可知，把代入解析式得：，解方程得，（舍去），即该运动员的成绩是10米故选：

30、【点评】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即，测量运动员成绩，也就是求的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题5（2023秋西湖区校级月考）如图，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：具有的函数关系，下列解释正确的是A小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是B小球飞行时飞行高度为，并将继续上升C小球从飞出到落地要用D小球的飞行高度可以达到【分析】根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答【解答】解：的两根与，即时所用的时间，小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故不

31、符合题意；，对称轴直线为：，最大值为20，故不符合题意；时，此时小球继续下降，故不符合题意；当时，小球从飞出到落地要用，故符合题意故选：【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解函数值的意义是本题解题的关键6（2023秋西山区校级期中）某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为ABCD【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点【解答】解：，这个二次函数图象开口向下当时，升到最高点故选：【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题7（2023秋南开区期末）从地面

32、竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系为，其中有下列结论：当时，小球运动到最大高度；当小球的运动高度为时，运动时间为或；小球运动中的最大高度为；小球从抛出到落地需要其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个【分析】把函数解析式化为顶点式，可以判断；令，解方程求出的值，可以判断；令，解方程求出的值，可以判断【解答】解：，当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故错误；当时，解得，当运动时间为或时，小球的运动高度为，故正确；令，则，解得，小球从抛出到落地需要，故正确，正确的结论有2个，故选：【点评】本题考查了二次函数的应用解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用

33、二次函数的性质就能求出结果8（2023秋朝阳区校级期中）如表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中500若当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是ABCD【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得，的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点和，抛物线的对称轴为直线，根据表中信息，抛物线经过点，解得：，抛物线的解析式为；，该抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口方向向上，抛物线经过，当时，由最小值，当时，当时，；当时，如图：当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，故选：【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待

34、定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质和利用数形结合的方法解答是解题的关键9（2023秋庐阳区校级月考）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为A6米B5米C4.5米D4米【分析】设拱桥两端分别为点、，拱桥顶端为点，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点，点，的横坐标为6，再求出抛物线的解析式，即可求解【解答】解：如图，设拱桥两端分别为点、，以所在的直线为轴，则点，点，的横坐标为6，设抛物线的解析式为，把点，代入得：，解得：，抛物线的解析式为，当时，支柱的高度为，米故

35、选：【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键二填空题（共6小题）10（2022秋新化县期末）某商店从厂家以每件30元的价格购回一批商品，该商店可自行定价若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的，如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为42元【分析】根据进价、售价以及数量可列出利润与售价之间的关系式根据每件商品加价不能超过进价的，从而求出定价的整数值【解答】解：设利润为，则，当时，取最大值，但物价局限定每件商品加价不超过进价的，即，当时，随的增大而增大，元，商店获得利润最多，即每件商品的售价为42元【点评】

36、本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键，关键二次函数的性质和不等式确定的取值是本题的难点11（2023沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到该函数的最大值，从而可以得到的值【解答】解：，当时，取得最大值，故他起跳后到重心最高时所用的时间是，故答案为：【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是会将函数解析式化为顶点式12（2023秋大东区期末）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一

37、边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是 【分析】设矩形的宽为，进而确定矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值【解答】解：设矩形的宽为，面积为，根据题意得：，时，菜园面积最大，最大面积是故答案为：【点评】本题主要考查二次函数的应用，难度一般，关键在于找出等量关系列出函数解析式，另外应注意配方法求最大值在实际中的应用13（2023谷城县模拟）飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行 600米才能停下来【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得【解答】解：，当时，取得最大值600，

38、即飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键14（2023秋宣化区期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，水面宽度减少 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度减少了多少【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得：点在此抛物线上，则：，解得：，水面上升，当，即时，解得：，此时水面的宽度为水面宽度减少了故答案为：【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系1

39、5（2023秋长春期末）雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图，可以发现数学的研究对象一一抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨、的交点点为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称分米，点到轴的距离是0.6分米，、两点之间的距离是4分米分别延长、交抛物线于点、，则雨伞撑开时的最大直径的长为 10分米【分析】依据题意，设抛物线解析式为：，求出抛物线解析式，然后求出直线解析式，可得与抛物线的交点坐标，根据抛物线的对称性计算出点坐标，利用横坐标之差计算线段长【解答】解：由题意题意，设抛物线解析式为：，将坐标代入解析式得：，解得：，抛物线解析式为：又设

40、直线解析式为，将坐标代入得，解得，直线解析式为：联立函数解析式：，解得：或（不符合题意舍去），点坐标为又抛物线的对称轴是轴，点的坐标为故答案为：10【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键三解答题（共4小题）16（2023秋双峰县期末）某店只销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加（1）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？（2）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？【分析】（1）根据利润单个利润数量列方程计算出的值即可；（2）根据总利润与

41、降价元的函数关系式，配方求出最大值即可【解答】解：（1）设单价应降价元，根据题意得：，解得：，答：单价应降价4元或6元（2）设该店每天的总利润元，降价为元，则，当时，最大，最大值为2250，答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的最大值，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程17（2022秋丹江口市期末）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（35

42、1225），其中0x35校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人（1）求y与x之间的函数解析式；（2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？（3）检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）【分析】（1）由顶点坐标为（351225），可设ya（x35）2+1225，再将（00）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；（2）设第x分钟时的排队等待人数为n人，根据ny40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得n关于x的二次函数，将其写成顶点式，

43、按照二次函数的性质可得答案；（3）设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由于检测体温到第2分钟时，在校门口临时增设一个人工体温检测点，则体温检测棚的检测时间为（m+2）分钟，则学生到校的累计人数与人工检测m分钟后两种检测方式的检测人数之和相等时，校门口不再出现排队等待的情况，据此可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可【解答】解：（1）顶点坐标为（351225），设ya（x35）2+1225，将（00）代入，得：1225a+12250，解得a1，y（x35）2+1225x2+70x；（2）设第x分钟时的排队等待人数为n人，由题意可得：ny48xx2+70x48x

44、x2+22x（x11）2+121，10，01130，当x11时，n的最大值为121，答：排队等待人数最多时是121人；（3）设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由题意得，（2+m）2+70（2+m）482（48+12）m0，整理得：m26m400，解得：m110，m24（舍）答：人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况【点评】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键18（2023秋红桥区期末）小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代

45、表长小红在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线为常数，的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线为常数）的一部分（）写出抛物线的顶点坐标，并求出，的值；（）若小红在轴右侧、距离轴的位置上，且与点的垂直距离小于的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值；（）若小红在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值（直接写出结果即可）【分析】（1）将点坐标代入解析式可求，即可求解；（2）根据点的取值范围代入解析式可求解；（3）根据点的取值范围代入解析式可求解【解答】解：（1）抛物线，的顶点坐标为，点在抛物线上，抛物线，当

46、时，；（2）小红在轴右侧、距离轴的位置上，且与点的垂直距离小于的范围内可以接到回传的沙包，点的坐标范围是，当经过时，解得；当经过时，解得，的整数值为5；（3）小红在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，此时，点的坐标范围是，当经过时，解得：，当经过时，解得：，为整数，符合条件的的整数值为4和5【点评】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键19（2023秋长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点点是该抛物线上一点，其横坐标为以为对角线作矩形，轴（1）求抛物线所对应的函数表达式（2）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，

47、的取值范围为 且（3）设抛物线在矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求与之间的函数关系式（4）设这条抛物线的顶点为，的面积为当时，直接写出的值【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当点在点的右侧时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，即可求解；（3）当或时，则当时，则，即可求解；（4）由，即可求解【解答】解：（1）抛物线经过点，解得，该抛物线对应的函数表达式；（2）如下图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，当点在点的右侧时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，即且，故答案为：且（3）当或时，则当时，则，即；（4）如上图，过点作轴交于点，设点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点，则，解得：或【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、一次函数的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键