专题21.16 二次函数与反比例函数章末十六大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题21.16 二次函数与反比例函数章末十六大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】1【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】4【题型3 根据新定义求字母取值范围】8【题型4 利用二次函数的性质求最值】13【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】18【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】23【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】30【题型8 二次函数中的存在性问题】36【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】46【题型10 反比例函数中的动点问题】51【题型11 反比例函数与x=a或y=a】60【题型12 反比例函数中的存在性问题】71【题型

2、13 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】81【题型14 反比例函数与图形变换】92【题型15 反比例函数与定值、最值】99【题型16 反比例函数的应用】107【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】【例1】（2023春安徽阜阳九年级阜阳实验中学校考期中）若m,n(mn)是关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)-3=0的两根，且ab，则m,n,a,b的大小关系是（）AmnabBamnbCambnDmab0两实数根分别为，且，则、满足（）A-13B-13 C-13D-13 【答案】B【分析】依照题意，画出图形，利用数形结合，即可得出、满足的条件【详解】解：一元二次方程x+1x-3=

3、0解为x1=-1，x2=3，二次函数y=x+1x-3与x轴的交点坐标为-1，0，3，0，依照题意，画出函数图象，如图所示：观察图形：可知：-13，故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的解，二次函数图像和性质，依照题意，画出二次韩素华图像是解题的关键【变式1-2】（2023春四川凉山九年级校考期中）若a，b（ab）是关于x的方程2+x-mx-n=0的两根，则mn，则a、b、m， n的大小关系是 【答案】mabn【分析】先确定a,b和m,n分别是抛物线当y=-2,y=0时对应的两个点的横坐标，再利用图象求解【详解】解：2+x-mx-n=0，x2-m+nx+mn=-2，a，b是抛物线y=x2-m+

4、nx+mn当y=-2时对应的两个点的横坐标，m，n是该抛物线当y=0时对应的两个点的横坐标，抛物线开口向上，ab，mn，则可作示意图如下，则mabn，故答案为：mabn【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程之间的关系【变式1-3】（2023江苏扬州九年级校联考期末）若x1，x2(x1x2)是方程(xm)(x3)1(m3)的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是()Amx1x23Bx1mx23Cx1m3x2Dx1x2m3【答案】A【分析】把x1，x2(x1x2) 看作抛物线y=(x-m)(x-3) 与直线y=-1 (m3) 的两个交点的横坐标，然后

5、利用抛物线y=(x-m)(x-3)与x 轴的交点坐标为(m，0)，(3，0) 即可判断实数x1，x2，3，m 的大小关系.【详解】把x1，x2(x1x2) 看作抛物线y=(x-m)(x-3) 与直线y=-1 (m3) 的两个交点的横坐标，抛物线y=(x-m)(x-3)与x 轴的交点坐标为(m，0)，(3，0)所以mx1x23 故选A【点睛】如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的两个根时，可以看成抛物线与x 轴的两个交点坐标，掌握数形结合的思想是解题关键.【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】【例2】（2023春全国九年级期末）已知二次函数ya（x+1）（xm）（a为

6、非零常数，1m2），当x-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）当x2时，y随x的增大而减小；若图象经过点（0，1），则1a0；若（2021，y1），（2023，y2）是函数图象上的两点，则y1y2；若图象上两点（14，y1），（14+n，y2）对一切正数n，总有y1y2，则1m32ABCD【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题【详解】解：二次函数ya（x+1）（xm）（a为非零常数，1m2），x11，x2m，x1x2，又当x1时，y随x的增大而增大，a0，开口向下，当x2x2时，y随x的增大而减小，故正确；：二次

7、函数ya（x+1）（xm）（a为非零常数，1m2），当x1时，y随x的增大而增大，a0，若图象经过点（0，1），则1a（0+1）（0m），得1am，a0，1m2，1a12 ，故错误；：又对称轴为直线x-1+m2，1m2，0-1+m212 ，若（2021，y1），（2023，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1y2，故正确；若图象上两点（14，y1），（14+n，y2）对一切正数n，总有y1y2，1m2，该函数与x轴的两个交点为（1，0），（m，0），0-1+m214，解得1m32 ，故正确；正确；错误故选：D【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题

8、的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答【变式2-1】（2023春北京九年级北京市第十二中学校考期中）已知抛物线y=ax2+bx+ca0 与x轴交于点A(1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包含这两个点)运动,有如下四个结论：抛物线与x轴的另一个交点是(3,0)；点Cx1,y1，Dx2,y2在抛物线上，且满足x1x2y2；常数项c的取值范围是2c3；系数a的取值范围是-1a-23上述结论中，所有正确结论的序号是（）ABCD【答案】D【分析】根据抛物线的对称性对进行判断；根据的结论可知函数的开口方向，然后得到二次函数的增减性，即可对进行判断；根据抛物线与y轴

9、的交点对c进行判断即可判断；由对称轴可得b=-2a，由x=-1时，可得a-b+c=0，则c=-3a，又由得到c的取值范围，进而得到a的取值范围【详解】抛物线对称轴为x=1，且与x轴交点为（-1，0），故与x轴的另一个交点为（3,0），故正确；抛物线与y轴的交点为（0，c），且与y轴交点B在0,2和0,3之间（包含这两个点）运动，故c的取值范围是2c3，故正确；抛物线对称轴为x=1，得b=-2a，由x=-1时，可得a-b+c=0，则c=-3a，又由已知2c3，故有2-3a3，故-1a-23，故正确；由得结论可知，抛物线开口向下，且对称轴为x=1，得到当x1时，y随x增大而增大，故当x1x21，有

10、y1y2，故错误；综上正确的有，故选D【点睛】本题考查二次函数一般式的基本性质，熟练掌握二次函数一般式各系数的意义是解题关键【变式2-2】（2023春湖南长沙九年级校联考期末）小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常数）性质时有如下结论：该二次函数图象的顶点始终在平行于x轴的直线上；该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；当-1x2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m2；点Ax1,y1与点Bx2,y2在函数图象上，若x12m，则y1y2其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结

11、论作出判断即可【详解】解： 二次函数y=-x2+2mx-m2+1=-（x-m）2+1（m为常数）顶点坐标为（m，1）且当x=m时，y=1这个函数图象的顶点始终在直线y=1上故结论正确；令y=0，得-（x-m）2+1=0解得：x=m-1，x=m+1抛物线与x轴的两个交点坐标为A（m-1，0），B（m+1，0）则AB=2顶点P坐标为（m，1）PA=PB=2，PA2+PB2=AB2PAB是等腰直角三角形函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论正确；当-1x2时，y随x的增大而增大，且-10m的取值范围为m2故结论正确；x1+x22mx1+x22m二次函数y=-（x-m）2+1（m为常数

12、）的对称轴为直线x=m点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离x1x2，且-10y1y2故结论正确故选D【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题【变式2-3】（2023春山东德州九年级统考期末）如图，抛物线yx22xm1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B抛物线yx22xm1与直线ym2有且只有一个交点；若点M（2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1y2y3y1，错误；当m=1时，函数解析式为：y=-x2+2x+2，故A0,2，C2,2，B1,3 作B关于y轴对称

13、点N，作C关于x轴对称点M，则N-1,3,M2,-2 连接MN，则MN为BE，DE，CD和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：BC=1-22+3-22=2,MN=-1-22+3+22=34 当m1时，四边形BCDE周长的最小值为34+2，正确；故答案选：C【点睛】本题考查二次函数的图象与性质综合以及线段和的最小值掌握二次函数配方成顶点式、二次函数的对称性、线段和的最小值的求算是解题关键【题型3 根据新定义求字母取值范围】【例3】（2023春山东济南九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1x4的

14、图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A-5c4B0c1C-5c1D0c4【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-1x0， 解得c-28+c8，解得c0，0cn，例如：12=1-2=-1，43=4+3-3=4下列说法：-79=-16；若1x2-x=-1，则x=-1或2；若-23+4x-5，则x0或x-54；y=-x+1x2-2x+1与直线y=m（m为常数）有1个交点，则-1m1，当x=2时，x2-x=21；若x2-x3+4x，即x-54，此时-2+3+4x-3-5，解得：x-34，x-54，若-23+4x-5，则x0或xx2-2x+1，即0x1，此时y=

15、-x+1+x2-2x+1-3=x2-3x-1=x-322-134，如图，当x=1时，y=-3，当x=0时，y=-1，若抛物线与直线y=m（m为常数）有1个交点，则-1m-3，故正确正确的个数是4故选：A【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式，二次函数的图象和性质，理解新运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键【变式3-3】（2023春安徽合肥九年级校联考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：B（3，0）、C（1，3）都是“整点”抛物线yax22ax+a+2（a0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区

16、域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A1a0B2a1C1a-12D2a0【答案】B【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围【详解】解：抛物线yax22ax+a+2（a0）化为顶点式为ya（x1）2+2，故函数的对称轴：x1，M和N两点关于x1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：当x0时，ya+20a+21当x1时，y4a+20即：0a+214a+20，解得2a1故

17、选B【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键【题型4 利用二次函数的性质求最值】【例4】（2023春九年级统考期中）已知，二次函数y=ax2+bx-1（a，b是常数，a0）的图象经过A(2,1)，B(4,3)，C(4,-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（）A最大值为-1B最小值为-1C最大值为-12D最小值为-12【答案】C【分析】分二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C三种情况讨论求解即可【详解】解：由题意得，二次函数的图象经过点A

18、，B或B、C或点A，C，若经过点A和点B，A(2,1)，B(4,3)都在直线y=x-1上，而抛物线y=ax2+bx-1与y轴交点(0,-1)始终在直线y=x-1上，二次函数的图象不能同时经过点A，B；B(4,3)，C(4,-1)，抛物线也不同时经过点B，点C，经过点A、点C，如图，1=4a+2b-1-1=16a+4b-1解得，a=-12,b=2y=-12x2+2x-1，当x=-b2a=2时，y=1，则点A2,1是y=-12x2+2x-1的顶点，此时二次函数的顶点在y=x-1上，且与y轴交点，此时纵坐标为-1；而y=-12x2+2x-1=-12(x-2)2+1经过平移，顶点始终在直线y=x-1上

19、，故平移后函数表达式为y=-12(x-c)2+c-1，当x=0时，y=-12c2+c-1，当c=-b2a=1时，y有最大值，为：y=-12+1-1=-12，故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答【变式4-1】（2023春广东汕头九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PC的最小值是（）A6B2+322C2+32D32【答案】D【分析】连接BC，过点P作PDBC于D，过点Q作

20、QHBC于H根据PQ+22PC=PQ+PD，可得DQ+PD的最小值为QH的长，即可解决问题【详解】如图，连接BC，过点P作PDBC于D，过点Q作QHBC于H由y=x2+3x-4，令y=0，则x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1，C-4,0,A1,0，令x=0，解得y=0，B0,-4，OB=OC=4，BOC=90，OCB=OBC=45，PC=2PD， PQ+22PC=PQ+PDQH，当P为QH与x轴交点时PQ+22PC最小，最小值为QH的长，Q（0，2）,B0,-4，BQ=4，设QH=x，则BH=x,DH2+BH2=BQ2，x2+x2=62，x=32，QH32，则PQ+22PC的最小值是

21、32故选D【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题【变式4-2】（2023春辽宁九年级东北育才双语学校校考期末）在平面直角坐标系中，点A（1，112），B（4，32），若点M（a，a），N（a+3，a4），则四边形MNBA的周长的最小值为（）A10+132 2B10+132 3C5+132D5+133【答案】A【分析】根据题意，得AB=(4-1)2+(32-112)2=5，AM=(a-1)2+(-a-112)2=(a-1)2+(a+112)2，MN=(a+3-a)2+-a-4-(-a)2=5，BN=(a+3-4

22、)2+(-a-4-32)2=(a-1)2+(a+112)2由此得四边形MNBA的周长为10+2(a-1)2+(a+112)2，利用二次函数求得(a-1)2+(a+112)2的最小值即可【详解】点A（1，112），B（4，32），若点M（a，a），N（a+3，a4），AB=(4-1)2+(32-112)2=5，AM=(a-1)2+(-a-112)2=(a-1)2+(a+112)2，MN=(a+3-a)2+(-a-4-(-a)2=5，BN=(a+3-4)2+(-a-4-32)2=(a-1)2+(a+112)2四边形MNBA的周长为10+2(a-1)2+(a+112)2，令y=(a-1)2+(a+1

23、12)2=a2-2a+1+a2+11a+1214=2a2+9a+1254,20，抛物线有最小值，当a=-922=-94时，y有最小值，且为y=2(-94)2-994+1254=1698，(a-1)2+(a+112)2的最小值为1698=1324，四边形MNBA的周长的最小值为10+21324=10+132 2，故选A【点睛】本题考查了两点间的距离公式，二次函数的最值问题，灵活运用两点间的距离公式将周长的最值转化为二次函数的最值是解题的关键【变式4-3】（2023春北京海淀九年级人大附中校考期末）已知抛物线 yax2+bx+c（02ab）的顶点为 P（x0，y0），点 A（1，yA），B（0，y

24、B），C（1，yC）在该抛物线上，当 y00 恒成立时，yB-yCyA的最大值为（）A1B12C14D13【答案】D【分析】利用点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)在抛物线y=ax2+bx+c上得yA=a+b+c，yB=c，yC=a-b+c，yE=ax12+bx1+c，yB-yCyA=b-aa+b+c，再利用4a-2b+c0得到a+b+c3(b-a)，所以b-aa+b+c13，从而得到yB-yCyA的最小值【详解】解：点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)在抛物线y=ax2+bx+c上，得yA=a+b+c，yB=c，yC=a-b+c，yB-yCyA=b-aa+b+c，

25、y00恒成立，02ab，x0=-b2aa0， b-aa+b+c13，即yAyB-yC的最大值为13故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图像上的点，以及各系数的符号判断式子的符号是解题的关键【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】【例5】（2023春浙江九年级期中）二次函数y=x2+2mx-3，当0x1时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（）A-1或1B-1或1或3C1或3D-1或3【答案】D【分析】按对称轴所在位置情况进行分别作图，由二次函数图像性质可知取到轴距离的最大值的点是图像顶点或两端点，分类讨论即可【详解】解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为

26、直线x=-m当x=-b2a=-m时，y=-m2-3，记作顶点M(-m,-m2-3)）；当x=1时，y=2m-2；记作点P（1，2m-2）；当x=0时，y=-3，记作点Q（0，-3）；当0x1时，图象上的点到轴距离的最大值为4，I若图像位于抛物线对称轴右侧，即对称轴x=-m0，如图1：则点Q为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，此时有2m-2=4-m0 ，解得：m=3，II若对称轴在PQ两点之间（包含PQ两点）时，即：对称轴x=-m满足0-m1，如图2， 若P为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则2m-2=40-m1 ，此时无解，若M为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，-

27、m2-3=-42m-240-m1，解得：m=-1，III若图像位于抛物线对称轴左侧，即对称轴x=-m1，如图3：此时P为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，2m-2=-4-m1，此时没有符合的解，综上，m=-1或3，故选D【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数图像的性质找到到轴距离的最大值是解题关键【变式5-1】（2023春湖北黄冈九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点已知二次函数y=ax2+bx-94（a,b是常数，a0）的图象上有且只有一个完美点32,32，且当0xm时，函数y=ax2+bx-3的最小值为-3，最大值为1，则m的

28、取值范围是（）A-1m0B2m72C2m4Dm2【答案】C【分析】把y=x代入y=ax2+bx-94，可得到ax2+(b-1)x-94=0，再利用=0和(32,32)建立方程组即可求出二次函数的解析式，画出图像即可求解【详解】解：令x=ax2+bx-94，则ax2+(b-1)x-94=0=(b-1)2+9a=0由题意可得：94a+32b-94=0(b-1)2+9a=0解得：a=-1b=4y=-x2+4x-94如图所示：若最小值为-3最大值为1，结合图像可得：2m4故答案选：C【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方

29、程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键【变式5-2】（2023春安徽合肥九年级统考期末）已知二次函数yx2+2x+3，截取该函数图象在0x4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A1t0B1t-12C-12t0Dt1或t0【答案】A【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知【详解】解：如图1所示，当t等于0时，y（x1）2+4，顶点坐标为（1，4），当x0时，y3，A（0，3），当x4时，y5，C（4，

30、5），当t0时，D（4，5），此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t1时，此时最小值为1，最大值为4综上所述：1t0，故选：A【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题关键【变式5-3】（2023春浙江九年级统考期末）已知二次函数y=-2x2+mx+n的最大值为10，它的图象经过点Aa-4,b，Ba,b，则b的值为（ ）A2B4C6D8【答案】A【分析】由二次函数图象的对称性，得对称轴为：直线x=a-2，从而得m=4a-8，由二次函数y=-2x2+mx+n的最大值为10，得2a2-8a+n=2，结合x=a和x=a-4是关于x的一元二次方程

31、b=-2x2+mx+n的两个实数根，可得a(a-4)=b-n2，进而即可得到答案【详解】二次函数y=-2x2+mx+n的图象经过点Aa-4,b，Ba,b，抛物线y=-2x2+mx+n的对称轴为：直线x=a-2，-m2(-2)=a-2，即：m=4a-8，二次函数y=-2x2+mx+n的最大值为10，10=-2(a-2)2+(4a-8)(a-2)+n，2a2-8a+n=2，二次函数y=-2x2+mx+n的图象经过点Aa-4,b，Ba,b，x=a和x=a-4是关于x的一元二次方程b=-2x2+mx+n的两个实数根，a(a-4)=b-n2，b=2a2-8a+n=2故选A【点睛】本题主要考查二次函数的图

32、象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，二次函数与一元二次方程的关系，是解题的关键【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】【例6】（2023春浙江温州九年级期末）已知二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象与一次函数y=mx+n(m0)的图象交于(x1，y1)和(x2，y2)两点，（）A若a0，m2hB若a0，m2hC若x1+x22h，则a0，m0D若x1+x20，m0【答案】A【分析】联立二次函数y=a(x-h)2+k(a0)与一次函数y=mx+n(m0)化成一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系即可求得答案【详解】解：联立y=a(x-h)2+ky=mx+n，得a(x-h)2+k=mx

33、+n，化简得：ax2-(2ah+m)x+ah2+k-n=0，二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象与一次函数y=mx+n(m0)的图象交于(x1，y1)和(x2，y2)两点，x1,x2是方程ax2-(2ah+m)x+ah2+k-n=0的解，由根与系数关系得：x1+x2=-(2ah+m)a=2h+ma，A.若a0，m0，m2h，则ma0，a0，m0或a0，m0，故本选项不符合题意；D. 若x1+x20，m0或a0，m0，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的交点坐标与对应一元二次方程根的关系、一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是明确二次函数和一次函数图象

34、的交点坐标与对应一元二次方程根的关系以及熟记根与系数的关系【变式6-1】（2023春福建龙岩九年级校考期中）已知直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a0(1)直接写出直线的解析式：_；直接写出b与a之间的关系：_；直接写出抛物线顶点Q的坐标：_；（只用含a的代数式表示）(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若-1a-12，求线段MN长度的最小值并直接写出此时QMN的面积【答案】(1)y=2x-2；2a+b=0；-12,-94a(2)证明见解析(3)线段MN长度的最小值为55，面积1058；【分析】（1）将点M（1，0）代入y=

35、2x+m和y=ax2+ax+b，即可求出直线的解析式和b与a之间的关系，将二次函数化为顶点式即可得到抛物线顶点Q的坐标；（2）联立直线和抛物线解析式，通过计算一元二次方程判别式求解即可（3）由（2）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的最小值；然后求出a的值，求出点N和点Q的坐标，设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用SQMN=SQEN+SQEM可求出QMN的面积【详解】（1）直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），将M（1，0）代入y=2x+m得2+m=0，解得m=-2y=2x-2；将M（1，0）代入y=ax

36、2+ax+b得a+a+b=0，可得2a+b=0，即b=-2a抛物y=ax2+ax-2a=ax2+x-2=ax+122-94a，抛物线顶点Q的坐标为-12,-94a，故答案为：y=2x-2；2a+b=0；-12,-94a（2）直线y=2x-2，抛物线y=ax2+ax-2a，y=2x-2y=ax2+ax-2a，即ax2+ax-2a=2x-2，整理得ax2+a-2x-2a+2=0，=a-22-4a-2a+2=9a-232，a0，方程有两个不相等的实数根直线与抛物线有两个交点；（3）由（2）得ax2+a-2x-2a+2=0即x2+(1-2a)x-2+2a=0，(x-1)(x+2-2a)=0，解得x1=

37、1,x2=2a-2，点N(2a-2,4a-6) 根据勾股定理得，MN2=(2a-2)-12+(4a-6)2=20(1a-32)2，-1a-12，-21a-1，1a-320，MN=25(32-1a)=35-25a，55MN75线段MN长度的最小值为55；此时a=-1作抛物线的对称轴x=-12交直线y=2x-2于点E，把x=-12代入y=2x-2得，y=-3，即E(-12,-3)，M（1，0），将a=-1代入点N和点Q的坐标得N(-4,-10)，Q-12,94且a0，SQMN=SQEN+SQEM=121+494+3=1058【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的

38、判别式、勾股定理、三角形的面积等知识在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中求出点Q和点N的坐标是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大【变式6-2】（2023春河南许昌九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A-3,0，B两点，经过A，B两点的抛物线y=-x2-2x+c与x轴的正半轴相交于点C(1)求k、c的值；(2)求点C的坐标和抛物线y=-x2-2x+c的顶点坐标；(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围【答案】(1)c=3，k=1(2)1,0，-1,4(3)-8xM-3或-3xM0【分析】（1）用待定系数法即可求解；