专题46 全国初中数学竞赛分类汇编卷（九）四边形综合（提优）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题46 全国初中数学竞赛分类汇编卷（九）四边形综合（提优）1如图，在梯形ABCD中，ABDC，ABBC，E是AD的中点，AB+BC+CD6，BE=5，则梯形ABCD的面积等于（）A13B8C132D4【解答】解：如图，过点E作EFAB交BC于点F，则BF=12BC，EF=12（AB+CD）=12（6BC），又ABBC，EFBC，在RtBFE中，EF2+BF2BE212(6-BC)2+(12BC)2=(5)2，即BC26BC+80，解得BC2或BC4，则EF2或EF1，S梯形ABCDEFBC4故选：D2如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），

2、C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180得点P1，点P1绕点B旋转180得点P2，点P2绕点C旋转180得点P3，点P3绕点D旋转180得点P4，则点P2014的坐标是（）A（2014，2）B（2014，2）C（2012，2）D（2012，2）【解答】解：由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，2）记P2（a2，b2），其中a22，b22根据对称关系，依次可以求得：P3（4a2，2b2），P4（2+a2，4+b2），P5（a2，2b2），P6（4+a2，b2）令P6（a6，b2），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（42+a2，

3、b2），所以点P2010的坐标是（2010，2），所以P2014（2012+2，2），即P2014（2014，2），故选：B3如图，在菱形ABCD中，AB2，A120，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A1B3C2D3+1【解答】解：作P点关于BD的对称点P，过P作PQCD交于点Q，交BD于点K，连接KP，四边形ABCD是菱形，P在AB上，由对称性可知，PKPK，PK+QKPK+KPPQ，当P、K、Q三点共线时，PK+QK的值最小，最小值为CD边上的高，DAB120，ADC60，过点A作AMCD交于点M，AD2，AMADsin60=3，PK+KQ的最

4、小值为3，故选：B4如图，以RtBCA的斜边BC为一边在BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB3，AO52，那么AC的长为【解答】解：如图，在AC上截取CFAB，四边形BCEF是正方形，OBOC，BOC90，2+OCF90，BAC90，1+OBA90，12（对顶角相等），OBAOCF，在ABO和FCO中，OB=OCOBA=OCFCF=AB，ABOFCO（SAS），OFAO52，AOBFOC，AOFAOB+BOFFOC+BOFBOC90，AOF是等腰直角三角形，AF=2AO10ACAF+CF10+313故答案为：135如图，长方形ABCD的面积为20cm2，对角线交

5、于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，连接AC1，交BD于O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 cm2【解答】解：四边形AOC1B是平行四边形，O1AO1C1，O1BO1O，SAO1B=12SABC1=18S矩形ABCD=52cm2，平行四边形ABC1O的面积是：12S矩形ABCD10cm2，同理平行四边形ABC2O1的面积是：14S矩形ABCD5cm2，平行四边形ABC3O2的面积是：18S矩形ABCD=52cm2，平行四边形ABC4O3的面积是：116S矩形ABCD=54cm2，平行四边形ABC5O4的面积是：132S矩

6、形ABCD=58cm2，故答案为：586如图，E、F分别是ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若SAPD14cm2，SBQC26cm2，SABCD200cm2，则阴影部分的面积为cm2【解答】解：连接E、F两点，过点E作EMDC于点M，SDEC=12DCEM，SABCDDCEM200cm2，SDEC100cm2，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EFC的FC边上的高与BCF的FC边上的高相等，SEFCSBCF，SEFQSBCQ，同理：SEFDSADF，SEFPSADP，SAPD14cm2，SBQC26cm2，S四边形EPFQ40cm2，故阴影部分的面积

7、为SDECS四边形EPFQ1004060（cm2）故答案为：607如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM4，AN3，且MAN60，则AB的长是【解答】解：延长DC和AM交于E，过点E作EHAN于点H，如图四边形ABCD为平行四边形，ABCE，BAMCEM，BECMM为BC的中点，BMCM在ABM和ECM中，BAM=CEMB=ECMBM=CM，ABMECM（AAS），ABCDCE，AMEM4，N为边DC的中点，NE3NC=32AB，即AB=23NE，AN3，AE2AM8，且MAN60，AEH30，AH=12AE4，EH=AE2-AH2=43，NHAHAN431，EN=N

8、H2+EH2=7，AB=237=143故答案为1438如图，长方形ABCD被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积为 【解答】解：设未知的三块面积分别为x，y，z（如图）则x+y+65=70+20+50+15+zz+y+70=50+x+20+15+65，即x+y-z=90z+y-x=80由+解得 y85故答案为859（武汉市竞赛）如图，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）一条动直线l分别与BC、OA交于点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为【解答】解：O（0，0），A（7，0），B（5，2），C

9、（0，2）BC5，AO7，OC2，四边形ABCO的面积=12122=12，四边形COFE面积6，CE+OF6，取M，N分别是OC，EF的中点，MN3，N是一定点，若C到l的距离最大，则lCN，点C到动直线l的距离的最大值为CN的长，在RtCNM中，MN3，CM1，CN=10；故答案为10；10在平面直角坐标系中，如图所示，长方形OABC的OA=3，AB1，将矩形OABC沿OB对折，点A落在点A上，求点A的坐标【解答】解：过A作ADOA，在RtOAB中，OB=OA2+AB2=2，AB1，AB=12OB，AOB是直角三角形，AOB30，OB为折痕，AOBAOB30，OAOA=3，RtOAD中，OA

10、D30，OD=123=32，AD=323=32，点A的坐标（32，32）11如图，在RtABC中，BAC90，AC2AB，点D、P分别是AC、BC的中点，ADE是等腰三角形，AED90，连接BE、EC（1）判断线段BE和EC的关系，并证明你的结论（2）连接PA、PE过点A作AMPE，过点E作EMPA，AM和EM相交于点M，在图中先补充图形，再判断四边形PAME的形状，并证明你的结论【解答】解：（1）BEEC且BECE证明：由已知ABADDC，EAED，BAECDE135BAECDEBEEC，BEACEDBECBED+CEDBED+BEAAED90，BEEC；（4分）（2）四边形PAME是菱形（

11、6分）证明：AMPE，EMPA，四边形PAME是平行四边形又P是BC的中点，BC是RtBAC和RtBEC的斜边，PAPE=12BC，四边形PAME为菱形（9分）12如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE2，AE3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小四边形ABCD是正方形，B、D关于AC对称，PBPD，PB+PEPD+PEDEBE2，AE3BE，AE6，AB8，DE=62+82=10，故PB+PE的最小值是1013如图，四边形ABCD中，ABBCCD，ABC90，BCD150，求BAD的度数【解答】

12、解：分别过点C，A，作BC和AB的垂线，那么交点为E，ABBC，BEABECB90，四边形ABCE是正方形又由于ABBCCD，而且BCD150，那么DCE60，并且CDE为等边三角形，CED60，并且DECDCECEA90，AED150，ABCD，DECD，AED为等腰三角形，DAE15，BAD7514（“希望杯”竞赛）如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EFGH，EFGH（1）若AEAH=13a，求四边形EFGH的周长和面积；（2）若AEBFCGDH，求四边形EFGH的周长的最小值【解答】解：连接AC、BD，由勾股定理，得ACBD=2a，（1）ABAD

13、a，AEAH=13a=13AD，AEAB=AHAD=13，EHBD，EHBD=AHAD=13，EH=23a，同理可得GH=223a，EFGH，EFGH，四边形EFGH为平行四边形，根据正方形的性质可知ACBD，EFGH为矩形，四边形EFGH的周长2（23a+223a）22a，四边形EFGH的面积=23a223a=49a2；（2）设AEx，则BEax，当EFGH，EFGH时，四边形EFGH为平行四边形，同理，EHFG，AEBFCGDH，AHBE，可得：EHEF，四边形EFGH为菱形，四边形EFGH周长为：4x2+(a-x)2=42x2-2ax+a2，当x=-2a4=a2时，周长最小为22a15如

14、图，在直角梯形ABCD中ABCD，AB12cm，CD6cm，DA3cm，DA90，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（单位：秒），并且0t3（1）证明不论t取何值，四边形QAPC的面积是一个定值，并且求出这个定值；（2）请问是否存在这样的t，使得PCQ90？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）请你探究PBC能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【解答】解：（1）连接AC，则S四边形QAPCSAPC+SACQ，=12APAD+12AQCD，=1232t+6（3

15、t），=1218，9，故不论t取何值，四边形QAPC的面积是一个定值，这个定值为9（2）过C作CEAB，垂足为E，设t秒时，PCQ90，CD6cm，DA3cm，CQ236+t2，CP29+（62t）2，PQ2（3t）2+（2t）2，AE6，AD3，PCQ90，CQ2+CP2PQ2，即36+t2+9+（62t）2（3t）2+（2t）2，解得t40t3，不可构成直角三角形（3）能过C作CEAB于E，则AECD6cm，当p运动到E点时，运动的时间为 62=3s，此时Q正好运动到A点PBC中CPB90当PCB90时，即P到E点时，过D作DGBC，则四边形DGBC是平行四边形，BGDC6cm，故AGAB

16、GB1266cm，DGBC=DA2+AG2=32+62=3 5cm，过A作AFCE，则AFCE，CFAE2t，DFDC2t62t，AFCE=AD2+DF2=32+(6-2t)2在直角三角形BCE中，BE2CE2+BC2，即（122t）2（62t）2+32+（35）2，解得：t=94（符合题意）故当t=94s，或t3s时PBC能否构成直角三角形16已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BM+DNMN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的

17、数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（3）若正方形的边长为4，当N运动到DC边的中点处时，求BM的长【解答】解：（1）BM+DNMN理由如下：如图2，把ADN绕点A顺时针旋转90，得到ABE，ABEADN90，AEAN，BEDN，ABE+ABC180，点E，点B，点C三点共线，EAM90NAM904545，又NAM45，在AEM与ANM中，AE=ANEAM=NAMAM=AM，AEMANM（SAS），MEMN，MEBE+BMDN+BM，DN+BMMN；（2）DNBMMN理由如下：在线段DN上截

18、取DQBM，在ADQ与ABM中，AD=ABADQ=ABMDQ=BM，ADQABM（SAS），DAQBAM，QANMAN在AMN和AQN中，AQ=AMQAN=MANAN=AN，AMNAQN（SAS），MNQN，DNBMMN；（3）如图4，正方形的边长为4，点N是BC的中点，CNDN2，DN+BMMN，MN2+BM，MN2CN2+MC2，（2+BM）24+（4BM）2，BM=4317已知，在平行四边形ABCD中，BC2AB，M为AD的中点，CEAB于E求证：DME3AEM【解答】证明：设BC中点为N，连MN交CE于P，再连MC，则AMBN，MDNC，又BC2AB，四边形ABNM、四边形MNCD均是

19、菱形，MNAB，AEMEMN，CEAB，MNCE，又AMMD，MNABP点为EC的中点，MP垂直平分EC，EMNNMC，又四边形MNCD是菱形，NMCCMD，EMD3EMN3AEM18（全国初中数学联赛）设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PDPC，试证：BCBD，且BCBD【解答】解：PEAC于E，PFBC于F，ACB90，CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），OPOF，PEF+390，13，PGEF，PEF+290，23，12，ABC是等腰直角三角形，AABC45，APEBPF

20、45，APE+2BPF+1，即APGCPB，BPDAPG（对顶角相等），BPDCPB，又PCPD，PB是公共边，PBCPBD（SAS），BCBD，PBCPBD45，PBC+PBD90，即BCBD，故证得：BCBD，且BCBD19（“希望杯”竞赛）如图，等腰梯形ABCD中，CDAB，对角线ACBD相交于O，ACD60，点S，P，Q分别是OD，OA，BC的中点，（1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB5，CD3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB【解答】解：如图，连接SC、PB，（1）证明：ABCD是等腰梯形，ADBC，又AC、BD相

21、交于O，AOBO，OCOD，ACD60，OCD和OAB是等边三角形，S是OD的中点，CSDO，在RTBSC中，Q为BC的中点，SQ是斜边BC的中线，SQ=12BC同理BPAC，在RTBPC中，PQ=12BC，又SP是OAD的中位线，SPSQPQ，SPQ是等边三角形；（2）AB5，CD3，可得：CS=332，SB=132，BC7，PSPQSQ=72，SPQS=49316；（3）设CDa，ABb（ab），BC2SC2+BS2=(32a)2+(b+a2)2=a2+b2+ab，SSPQ=316（a2+ab+b2），又 SPQSSAOD=78，8316（a2+ab+b2）734ab，即2a25ab+2b20，化简得 ab=12，故CDAB=12