专题5倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型解题策略如图，AD是ABC的中线，延长AD至点E使DEAD，易证：ADCEDB（SAS）如图，D是BC中点，延长FD至点E使DEFD，易证：FDBEDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移经典例题【例1】（2020陕西咸阳一模）问题提出（1）如图，AD是ABC的中线，则AB+AC_2AD；（填“”“AE，即EC+ACAD+DEAB+AC2AD故答案为：；（2）如图，作点E关于CD的对称点G，连接FG，则CE=CG四边形ABCD是矩形，CD=3,BC=

2、4AB=CD=3,B=BCD=90,AB/CDDC垂直平分EGEF=FG点E是BC的中点BE=CE=12BC=2AE=AB2+BE2=13，CG=CE=2，BG=BC+CG=6则AEF的周长为AE+EF+AF=13+EF+AF=13+FG+AF要使AEF的周长最小，只需FG+AF由两点之间线段最短可知，当点A,F,G共线时，FG+AF取得最小值AGAB/CDFCGABGFCAB=CGBG，即FC3=26解得CF=1；（3）如图，作点B关于AC的对称点B，作点O关于AB的对称点O，连接AB,QB,AO,PO,BO，则QB=QB,OP=OP折线OPQB的长度为OP+PQ+QB=OP+PQ+QB由两

3、点之间线段最短可知，OP+PQ+QBBO，当且仅当点B,Q,P,O四点共线时，折线OPQB取得最小长度为BO在矩形ABCD中，AC=4,BC=2,ABC=90BAC=30，AB=AC2BC2=23点O为AC的中点AO=12AC=2点B与点B关于AC对称，点O与点O关于AB对称BAC=BAC=30，AB=AB=23OAB=BAC=30，AO=AO=2BAO=BAC+BAC+OAB=90BO=AB2+AO2=(23)2+22=4设BO交AC于点Q在RtABO中，AO=2,BO=4ABO=30AOB=90ABO=60，即AOQ=60又OAQ=BAC+OAB=60AOQ是等边三角形AQ=AO=2AO=

4、2AQ=AO点Q与AC的中点O重合综上，当点Q与AC的中点O重合时，折线OPQB的长度最小，最小长度为4【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质正确找出折线OPQB的最小长度是解题关键【例2】（2021湖北武汉八年级期中）已知ABC中，（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是_（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若DAC=ABD，求证：AE=EC（3）如图3，点D在ABC内部，

5、且满足AD=BC，BAD=DCB，点M在DC的延长线上，连AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB【答案】（1）BF=AC；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）通过证明BEFCEA，即可求解；（2）过点A引AFCD交BE于点F，通过ABFCAD得到AF=CD，再通过AFECDE即可求解；（3）过点M作MTAB交BN的延长线于点T，MGAD，在MT上取一点K，使得MK=CD，连接GK，利用全等三角形的性质证明AB=MT、DM=MT，即可解决【详解】证明：（1）BF=AC由题意可得：BE=EC在BEF和CEA中BE=ECBEF=CEAEF=AEBEFCEA(SAS)BF=

6、AC（2）过点A引AFCD交BE于点F，如下图： 由题意可得：CDBC，且EAF=ACD则AFBC又AB=ACAF平分BAC，BAF=EAF=ACD在ABF和CAD中ABF=DACAB=ACBAF=ACDABFCADASAAF=CD在AFE和CDE中FAE=DCEAEF=CEDAF=CDAFECDEAASAE=EC（3）证明：过点M作MTAB交BN的延长线于点T，MGAD，在MT上取一点K，使得MK=CD，连接GK，如下图：ABMTABN=TANB=MNT，AN=MNANBMNT(AAS)BN=NT，AB=MTMGADADN=MGNAND=MNG,AN=NMANDMNG(AAS)AD=MG,D

7、N=NGBD=GTBAN=AMT,DAN=GMNBAD=GMTBAD=BCDBCD=GMKAD=BC,AD=GMBC=GM又MK=CDBCDGMK(SAS)GK=BD,BDC=MKGGK=GT,MDT=GKTGKT=TDM=MTAB=MTDM=AB【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题【例3】（2020安徽合肥二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分EAD，交CD于点F(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；(2)在(1)的条件下，求CEBC的值；(

8、3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HGAG【答案】(1)见解析；(2)14；(3)见解析【分析】（1）延长BC交AF的延长线于点G，利用“AAS”证ADFGCF得ADCG，据此知CGBCBECE，根据EGBECECEBE2CEAE即可得证；（2）设CEa，BEb，则AE2ab，ABab，在RtABE中，由AB2BE2AE2可得b3a，据此可得答案；（3）连接DG，证ADFDCG得CDGDAF，再证AFHDFG得AFDF=FHFG，结合AFDHFG，知ADFHGF，从而得出ADFFGH，根据ADF90即可得证【详解】解：(1)

9、如图1，延长BC交AF的延长线于点G，ADCG，DAF=G，又AF平分DAE，DAF=EAF，G=EAF，EA=EG，点F为CD的中点，CF=DF，又DFA=CFG，FAD=G，ADFGCF(AAS)，AD=CG，CG=BC=BE+CE，EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；(2)设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b，在RtABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，解得b=3a，b=a(舍)，CEBC=aa+b=14；(3)如图2，连接DG，CG=DF，DC=DA，ADF=DCG，ADFDCG(SAS)，CDG=DAF，HAF=FDG，又AF

10、H=DFG，AFHDFG，AFDF=FHFG，又AFD=HFG，ADFHGF，ADF=FGH，ADF=90，FGH=90，AGGH【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点【例4】（2020江西宜春一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA=OB,OC=OD,AOB=COD=90，连接AC,BD（1）如图1,若A、O、D三点在同一条直线上，则AC与BD的关系是 ；（2）如图2，若A、O、D三点不在同一条直线上,AC与BD相交于点E，连接OE,猜想AE、BE、OE之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC

11、的中点F,连接OF，直接写出AD与OF之间的关系【答案】（1）AC=BD且ACBD；（2）AE=BE+2OE；证明见解析；（3）AD=2OF且ADOF【分析】（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C进行角的等量代换进行分析即可；（2）根据题意在AE上截取AM=BE,连接OM，并全等三角形的判定证明AOCBOD和AMOBEO，进而利用勾股定理得出OM2+OE2=ME2进行分析求解即可；（3）过点B作BMOC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，证明BFMCFO，AODOBM，进而即可得到结论【详解】解：(1)OA=OB,OC=OD,AOB=COD=90，AOCBO

12、D(SAS),AC=BD，延长AC交BD于点C，如下图：AOCBOD, ACO=BCC，ACO+CAO=BCC+CBC=90,BCC=90，即ACBD，综上AC=BD且ACBD，故答案为：AC=BD且ACBD；(2)AE=BE+2OE证明:在AE上截取AM=BE,连接OMAOB=COD=90AOB+BOC=COD+BOCAOC=BOD在AOC和BOD中AO=BOAOC=BODOC=ODAOCBOD(SAS)CAO=DBO在AMO和BEO中AM=BEMAO=EBOAO=BOAMOBEO(SAS)OM=OE,AOM=BOEAOM+MOB=90BOE+BOM=90OM2+OE2=ME2即2OE2=M

13、E22OE=MEME+MA=AE2OE+BE=AE；(3)AD=2OF且ADOF，理由如下：过点B作BMOC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，BMOC，M=FOC，BFM=CFO，BF=CF,BFMCFO（AAS），OF=MF，BM=CO，DO=CO，DO=BM，BMOC，OBM+BOC=180，BOC+AOD=360-90-90=180，OBM=AOD，又AO=BO，AODOBM（SAS），AD=OM=2OF ，BOM=OAD，BOM+AON=180-90=90，OAD+AON=90，即OFADAD=2OF且ADOF【点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及

14、全等三角形的判定与性质是解题的关键.培优训练一、解答题1（2022全国八年级）如图1，在ABC中，若AB10，BC8，求AC边上的中线BD的取值范围（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DEBD，连接CE，可证得CEDABD请证明CEDABD；中线BD的取值范围是 （2）问题拓展：如图2，在ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，ABBM，BCBN，ABMNBC90，连接MN请写出BD与MN的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析；1BD9；（3）MN=2BD，理由见解析【分析】（1）只需要利用SAS证明CEDA

15、BD即可；根据CEDABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得CEBCBECE+BC即ABBCBEAB+BC则2BE18，再由BE=2BD，可得1BD9；（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证ADECDB，得到DAE=DCB，AE=CB，然后证明BAE=MBN，则可证BAEMBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD【详解】解：（1）BD是三角形ABC的中线，AD=CD，又ABD=CDE，BD=ED，CEDABD（SAS）；CEDABD，AB=CE，CEBCBECE+BC，ABBCBEAB+BC即2BE18，又BE=BD+DE=2BD，1BD9；故答案为

16、：1BD9；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证ADECDB（SAS），DAE=DCB，AE=CB，BC=BN，AE=BN，ABM=NBC=90，MBN+ABC=360-ABM-NBC=180，ABC+BAC+ACB=180，ABC+BAC+DAE=180，BAE+ABC=180，BAE=MBN，又AB=BM，BAEMBN（SAS），MN=BE，BE=BD+ED=2BD，MN=2BD【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等2（2022全国八年级课时练习

17、）【观察发现】如图，ABC中，AB7，AC5，点D为BC的中点，求AD的取值范围小明的解法如下：延长AD到点E，使DEAD，连接CE在ABD与ECD中BD=DCADB=EDCAD=DEABDECD（SAS）AB 又在AEC中ECACAEEC+AC，而ABEC7，AC5， AE 又AE2AD AD 【探索应用】如图，ABCD，AB25，CD8，点E为BC的中点，DFEBAE，求DF的长为 （直接写答案）【应用拓展】如图，BAC60，CDE120，ABAC，DCDE，连接BE，P为BE的中点，求证：APDP【答案】观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见解析【分析】观察发现：

18、由“SAS”可证ABDECD，可得AB=EC，由三角形的三边关系可求解；探索应用：由“SAS”可证ABEHCE，可得AB=CH=25，即可求解；应用拓展：由“SAS”可证BPAEPF，可得AB=FE，PBA=PEF，由“SAS”可证ACDFED，可得AD=FD，由等腰三角形的性质可得结论【详解】观察发现解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，在ABD与ECD中，BD=DCADB=EDCAD=DE，ABDECD（SAS），AB=EC，在AEC中，EC-ACAEEC+AC，而AB=EC=7，AC=5，2AE12又AE=2AD，1AD6，故答案为：EC，2，12，1，6；探索应用解：如图2

19、，延长AE，CD交于H，点E是BC的中点，BE=CE，CDAB，ABE=ECH，H=BAE，ABEHCE（AAS），AB=CH=25，DH=CH-CD=17，DFE=BAE，H=DFE，DF=DH=17，故答案为：17；应用拓展证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD，在BPA与EPF中，PF=APEPF=BPAPE=PB，BPAEPF（SAS），AB=FE，PBA=PEF，AC=BC，AC=FE，在四边形BADE中，BAD+ADE+DEB+EBA=360，BAC=60，CDE=120，CAD+ADC+DEB+EBA=180CAD+ADC+ACD=180，ACD=DEB

20、+EBA，ACD=FED，在ACD与FED中，AC=FEACD=FEDCD=DE，ACDFED（SAS），AD=FD，AP=FP，APDP【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键3（2022江苏八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入【探究与发现】如图1，延长ABC的边BC到D，使DCBC，过D作DEAB交AC延长线于点E，求证：ABCEDC【理解与应用】如图2，已知在ABC中，点E在边BC上且CAEB，点E是CD的中点，若AD平分BAE（1）求证：ACBD；（2）若BD3，AD

21、5，AEx，求x的取值范围【答案】探究与发现见解析；理解与应用（1）见解析；（2）1x4【分析】探究与发现由ASA证明ABCEDC即可；理解与应用（1）延长AE到F，使EF=EA，连接DF，证DEFCEA（SAS），得AC=FD，再证ABDAFD（AAS），得BD=FD，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AB=AF=2x，再由三角形的三边关系得AD-BDABAD+BD，即5-32x5+3，即可求解【详解】解：探究与发现证明：DEAB，B=D，又BC=DC，ACB=ECD，ABCEDC（ASA）；理解与应用（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，点E是CD的中点，ED=

22、EC，在DEF与CEA中，EF=EADEF=CEAED=EC，DEFCEA（SAS），AC=FD，AFD=CAE，CAE=B，AFD=B，AD平分BAE，BAD=FAD，在ABD与AFD中，B=AFDBAD=FADAD=AD，ABDAFD（AAS），BD=FD，AC=BD；（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，ABDAFD，AB=AF=2x，BD=3，AD=5，在ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BDABAD+BD，即5-32x5+3，解得：1x4，即x的取值范围是1x4【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本

23、题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键4（2022全国八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x1）2+a（x1）+b的形式(1)求a，b的值；(2)ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围【答案】(1)a=6，b=10(2)2CD8【分析】（1）把x12+ax1+b展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x1）2+a（x1）+b的形式，可得a2=41a+b=5，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得CDBHAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解(1)解：x12+ax1+b =x

24、22x+1+axa+b =x2+a2x+1a+b， 根据题意得：x2+4x+5=（x1）2+a（x1）+ba2=41a+b=5，解得：a=6b=10；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，CD是AB边上的中线，BD=AD，在CDB和HDA中，CD=DH，CDB=ADH，BD=DA，CDBHDA（SAS），BC=AH=a=6，在ACH中，AC-AHCHAC+AH，10-62CD10+6，2CDAC，且BD=CE，BCD=CBE，求CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN在

25、点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想【答案】(1)EFC=60(2)BF+CF=2CN，证明见解析【分析】（1）在射线CD上取一点K，使得CK=BE，证明CBEBCK，求出CEB=BKD=BDK=ADF，然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案；（2）证明ABEBCD，求出BFC=120，倍长CN至Q，连接FQ，PQ，证明CNMQNF，求出FQ=CM=BC，在CF上截取FPFB，连接BP，易得PBF为正三角形，然后求出PFQ=PBC，证PFQPBC，可得PQPC，QPFCPB60，则可得PCQ为正三角形，然后由BF+CF=PF+CF=PC=QC=

26、2CN得出结论（1）解：如图1，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，BCD=CBE，BCBC，CBEBCK（SAS），BK=CE=BD，CEB=BKD=BDK=ADF，ADF+AEF=AEF+CEB=180，A+DFE=180，A=60，DFE=120，CFE=60；（2）BF+CF=2CN，证明：AB=AC，A=60，ABC是正三角形，ABBCAC，ADBC60，又BD=AE，ABEBCD（SAS），BCF=ABE，FBC+BCF=60，BFC=120，倍长CN至Q，连接FQ，PQ，CNQN，QNFCNM，NFNM，CNMQNF（SAS），FQ=CM，QFNCMN，由旋转的性质得ACCM，

27、FQ=CM=BC，在CF上截取FPFB，连接BP，BFC=120，BFP=60，PBF为正三角形，BPF60，PBC+PCB=PCB+FCM=120，FCM=PBC，QFNCMN，FQ/CM，PFQ=FCM，PFQ=PBC，又PB=PF，FQ=BCPFQPBC（SAS），PQPC，QPFCPB60，PCQ为正三角形，BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN，即BF+CF=2CN【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，利用全等三角形转换线段和角的关系从而解决问题，属于压轴题7（2022全国八年级专题练习）如图

28、1，在ABC中，CM是AB边的中线，BCN=BCM交AB延长线于点N，2CM=CN （1）求证AC=BN；（2）如图2，NP平分ANC交CM于点P，交BC于点O，若AMC=120，CP=kAC，求CPCM的值【答案】（1）见解析；（2）2kk+1【分析】（1）延长CM至点D，使CM=DM，可证ACMBDM，由全等三角形的性质从而得出AC=BD，根据题目已知，可证DCBNCB，由全等三角形的性质从而得出BN=BD，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作CQ=CP，可证CPOCQO，由全等三角形的性质相等角从而得出1=2=3，进而得出4=5，故可证NOBNOQ等量转化即可求出CPCM的值【详解】

29、（1）如图1所示，延长CM至点D，使CM=DM，在ACM与BDM中，CM=DMAMC=BMDAM=BM，ACMBDM，AC=BD，2CM=CN，CD=CN，在DCB与NCB中，CD=CNDCB=NCBCB=CB,DCBNCB，BN=BD，AC=BN； （2）如图所示，AMC=120，CMN=60，NP平分MNC，BCN=BCM，PNC+BCN=12AMC=60，CON=120，COP=60，CMN+BOP=180，作CQ=CP，在CPO与CQO中，CQ=CPQCO=PCOCO=CO，CPOCQO，1=2=3，4=5，在NOB与NOQ中，4=5BNO=QNONO=NO，NOBNOQ，BN=NQ，

30、CN=CP+NB，2CM=CP+AC，设AC=a，CP=ka，CM=a(k+1)2，CPCM=2kk+1 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键8（2021全国八年级单元测试）（1）如图1，ABC中，AD为中线，求证：AB+AC2AD；（2）如图2，ABC中，D为BC的中点，DEDF交AB、AC于E、F求证：BE+CFEF【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）延长AD至点E，使ED=AD由AD为中线可知BD=CD，即易证ABDECD(SAS)，得出AB=EC利用三角形三边关系可知AC+ECAE，即可证明AC+AB2AD（2）延长ED至点G

31、，使DG=ED，连接CG，EG由AD为中线可知BD=CD即易证BDECDG(SAS)，得出BE=CG由题意可得EDF=GDF=90，即易证EDFGDF(SAS)，得出EF=GF利用三角形三边关系可知CG+CFFG，即可证明BE+CFEF【详解】（1）如图，延长AD至点E，使ED=ADAD为中线，BD=CD在ABD和ECD中，BD=CDADB=EDCAD=ED ，ABDECD(SAS)，AB=EC在ACE中，AC+ECAE，AC+AB2AD（2）如图，延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，EGAD为中线，BD=CD在BDE和CDG中，BD=CDBDE=CDGED=GD ，BDECDG(SAS)

32、，BE=CGDEDF，EDF=GDF=90，在EDF和GDF中，ED=GDEDF=GDF=90DF=DF，EDFGDF(SAS)，EF=GF在CFG中，CG+CFFG，BE+CFEF【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系作出常用的辅助线是解答本题的关键9（2022江苏八年级课时练习）（1）如图1，已知ABC中，AD是中线，求证：AB+AC2AD；（2）如图2，在ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+ACAD+AE；（3）如图3，在ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE求证：AB+ACAD+AE【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（

33、1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，AD是ABC的中线，D为BC的中点，BD=CD，在ABD与PCD中，BD=CDADB=PDC

34、AD=PDABDPCD(SAS)，AB=CP，在APC中，由三边关系可得AC+PCAP，AB+AC2AD；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，H为DE中点，D、E为BC三等分点，DH=EH，BD=DE=CE，DH=CH，在ABH和QCH中，BH=CHBHA=CHQAH=QHABHQCH(SAS)，同理可得：ADHQEH，AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CKAK，AC+CQAK+QK，又AK+QK=AE+EK+QK，EK+QKQE，AK+QKAE+QE，AC+CQAK+QKAE+QE，AB=

35、CQ，AD=EQ，AB+ACAD+AE；（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，M为DE中点，DM=EM，BD=CE，BM=CM，在ABM和NCM中，BM=CMBMA=CMNAM=NMABMNCM(SAS)，同理可证ADMNEM，AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点，AC+CN=AC+CT+NT，AC+CTAT，AC+CNAT+NT，又AT+NT=AE+ET+NT，ET+NTNE，AT+NTAE+NE，AC+CNAT+NTAE+NE，AB=NC，AD=NE，AB+ACAD+AE【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍

36、长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键10（2022全国八年级课时练习）在ABM中，AMBM，垂足为M，AMBM，点D是线段AM上一动点（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MDMC，连接AC，若BD17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是ABM外一点，ECAC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDFCEF（3）如图3，当E在BD的延长上，且AEBE，AEEG时，请你直接写出1、2、3之间的数量关系（不用证明）【答案】（1）17；（2）见解析；（3）321+2【分析】（1）根据SAS证明AMCBMD，由ACBD求出AC的长；（2）延

37、长EF到点G，使FGFE，连接BG，证明BFGCFE，可得ECGB，GCEF，再由BDBG可得GBDF，从而证得结论；（3）延长AE、BM交于点C，作MHAC于点H，作MFBG于点F，证明FEMHEM45及AEMGEM，再证明AME1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出321+2【详解】解：（1）如图1，AMBM，AMCBMD90，AMBM，MDMC，AMCBMD（SAS），ACBD17（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FGFE，连接BG，F为BC中点，BFCF，BFGCFE，BFGCFE（SAS），BGEC，GCEF，又BDAC，ECAC，BDEC，BGBD，GBDF

38、，BDFCEF（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MHAC于点H，作MFBG于点F，AMBM，AEBE，BECAMC90，MBF90CMAH，BFMAHM90，BMAM，BFMAHM（AAS），FMHM，EFMEHM90，EMEM，RtEMFRtEMH（HL），FEH90，FEMHEM12FEH45，AEBGEC90，AEMGEM90+45135，AEEG，EMEM，AEMGEM（SAS），AMEGME，BEMBAM45，AME3BEM3BAM1，AMG2AME21，3AMG+2，321+2【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等11（

39、2022全国八年级课时练习）已知：等腰RtABC和等腰RtADE中，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90（1）如图1，延长DE交BC于点F，若BAE=68，则DFC的度数为 ；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若AEC=90，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出AEC的面积【答案】（1）68；（2）见解析；（3）36【分析】（1）由已知条件可得D=C=45，对顶角AQD=CQF，则DAC=DFC，根据DAE=CAB即可的DFC=BAE；（2）过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,证明

40、AECBNA，得AE=BN,进而可得AD=NB，再证明DAMBNM即可得证点M为BD中点；（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，先证明ABEACD，进而证明AEGKCG，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得BAD=KCA，进而证明ABDCAK，再根据CAG=ABD,BAC=90,证明AHBD，根据已知条件求得SABD最后证明SAEC=SABD即可【详解】（1）设DF交AC于Q，如图1， ABC是等腰RtABC和ADE是等腰RtADED=C=45 AQD=CQF DAQ=180DAQD,QFC=180CCQFDAQ=QFCBAC=EAD=90即BAE+EAQ=E

41、AQ+QADBAE=QADDFC=BAEBAE=68DFC=68故答案为68（2）如图2，过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,N=90AEC=90N=AECBAC=90EAC+NAB=90NAC+ACE=90NAB=ECA ABC是等腰RtABC和ADE是等腰RtADEAB=AC,AD=AE又 AC=AB AECBNANB=AEAE=ADAD=NBDAE=90DAM=90DAM=N又DMA=BMNDAMBNMDM=BM即M是BD的中点（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，如图BAC=EAD=90即BAE+EAC=EAC+CADBAE=CAD ABC是等腰RtA

42、BC和ADE是等腰RtADEAB=AC,AE=AD在ABE与ACD中，AE=ADBAE=CADAB=AC ABE ACD（SAS）SABE=SABD，BE=CDG点是EC的中点EG=GCAGE=KGC，AG=GKAGEKGC（SAS） AE=CK,AEG=KCGAE=KC=AD,ACK=ACB+BCE+KCG=45+AEC+BCE=45+ABC+BAP=90+BAE=BADAKCABD（SAS）BD=AK=18，CAK=ABDBAG+CAG=90ABD+BAG=90即AHB=90 AG=9，HG=5AH=AGHG=95=4SABD=12BDAH=12184=36SAEC=SAEG+SAGC=S

43、GCK+SAGC=SACK=SABD=36 SAEC =36【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键12（2022全国八年级课时练习）在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM直线a于点MCN直线a于点N，连接PM，PN（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E求证：PM=PE（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时SBMP+SCNP=7，BM=1，CN=3，求MN的长度（3）若过P点作PG直线a于点G试探究线段PG、BM和CN的关系【答案】（

44、1）见解析；（2）MN=7；（3）线段PG、BM和CN的位置关系为BM/PG/CN，数量关系为2PG=CNBM或2PG=BMCN或2PG=CN+BM【分析】（1）根据平行线的性质证得MBP=ECP再根据BP=CP，BPM=CPE即可得到BPMCPE，得到PM=PE（2）延长MP与NC的延长线相交于点E证明BPMCPE(ASA)，推出BM=CE，求出MNE的面积即可解决问题（3）位置关系的证明比较简单，数量关系分四种情形：当直线a与线段BP交于一点时，当直线a与线段CP交于一点时，当直线a与线段CB的延长线交于一点时，当直线a与线段BC的延长线交于一点时，画出对应的图形，利用三角形和梯形的面积公

45、式分别证明即可解决问题【详解】（1）证明：如图1，BM直线a于点M，CN直线a于点N，BMA=CNM=90，BM/CN，MBP=ECP，又P为BC边中点，BP=CP，在BPM和CPE中，BPM=CPEBP=CPMBP=ECP，BPMCPEASA，PM=PE（2）解：如图2，延长MP与NC的延长线相交于点E，BM直线a于点M，CN直线a于点N，BMN=CNM=90，BMN+CNM=180，BM/CN，MBP=ECP，又P为BC中点，BP=CP，又BPM=CPE，在BPM和CPE中，BPM=CPEBP=CPMBP=ECP，BPMCPEASA，PM=PE，BM=CE，SBPM=SCPE，BM=1，C

46、N=3，NE=CN+CE=CN+BM=4，SBMP+SCNP=7，SPNE=SCPE+SCNP=SBMP+SCNP=7，SMNE=2SPNE=14， 12MN4=14，MN=7（3）位置关系：BM/PG/CN，数量关系：分四种情况讨论BM直线a于点MCN直线a于点N，PG直线a于点G，BM/PG/CN，如图3，当直线a与线段BP交于一点时，由（1）可知PM=PE，SPMN=SPEN=12SMNE，即1212MNPG=12NEMN，NE=2PG，BPMCPE，BM=CE，NE=CNCE，2PG=CNBM当直线a与线段CP交于一点时，如图，延长MP交CN的延长线于点EBM直线a于点M，CN直线a于

47、点N，BMN=CNM=90，BM/CN，MBP=ECP，又P为BC边中点，BP=CP，在BPM和CPE中，BPM=CPEBP=CPMBP=ECP，BPMCPEASA，PM=PESPMN=SPEN=12SMNE，即1212MNPG=12NEMN，NE=2PG，BPMCPE，BM=CE，NE=CECN，2PG=BMCN如图4，当直线a与线段CB的延长线交于一点时由（2）得：BPMCPEASA，PM=PE，SBPM=SCPE，S梯形BCNM=SMNE=2SMNP，即12BM+CNMN=212MNPG，2PG=CN+BM当直线a与线段CB的延长线交于一点时，如图，延长MP交NC的延长线于点EBM直线a

48、于点M，CN直线a于点N，BMN=CNM=90，BMN+CNM=180，BM/CN，MBP=ECP，又P为BC中点，BP=CP，又BPM=CPE，在BPM和CPE中，BPM=CPEBP=CPMBP=ECP，BPMCPEASA，PM=PE，SBPM=SCPE，S梯形BCNM=SMNE=2SMNP，即12BM+CNMN=212MNPG，2PG=CN+BM综上所述，线段PG、BM和CN的位置关系为BM/PG/CN，数量关系为2PG=CNBM或2PG=BMCN或2PG=CN+BM【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，以及三角形和梯形的面积公式的应用等知识，解题

49、的关键是正确寻找全等三角形熟练运用全等三角形的判定与性质13（2021陕西西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若AB10，BC8求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DEBD，连接CE利用全等将边AB转化到CE，在BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 （2）问题拓展：如图2，在ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中ABMNBC90，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理

50、由【答案】（1）SAS；1BD9；（2）2BDMN，BDMN，理由见详解【分析】（1）由SAS证明ABDCED得出CEAB10，在CBE中，由三角形的三边关系即可得出结论；（2）延长BD至E，使DEBD，连接CE，由（1）得：ABDCED，由全等三角形的性质得出ABDE，ABCE，证出BCEMBN，证明BCENBM得出BEMN，EBCMNB，则2BDMN延长DB交MN于G，证出BGN90，得出BDMN即可【详解】（1）解：BD是AC边上的中线，ADCD，在ABD和CED中，AD=CDADB=CDEBD=ED，ABDCED（SAS），CEAB10，在CBE中，由三角形的三边关系得：CEBCBEC

51、EBC，108AE108，即2BE18，1BD9；故答案为：SAS；1BD9；（2）解：2BDMN，BDMN，理由如下：延长BD至E，使DEBD，连接CE，如图所示：由（1）得：ABDCED，ABDE，ABCE，ABMNBC90，ABCMBN180，即ABDCBDMBN180，ECBDBCE180，BCEMBN，ABM和BCN是等腰直角三角形，ABMB，BCBN，CEMB，在BCE和NBM中，CE=BMBCE=MBNBC=NB，BCENBM（SAS），BEMN，EBCMNB，2BDMN延长DB交MN于G，NBC90，EBCNBG90，MNBNBG90，BGN90，BDMN【点睛】此题是三角形综

52、合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键14（2020辽宁大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D是ABC边BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围（1）小明的想法是，过点B作BE/AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AEBD于点E，过点A作AFAE，

53、且AF=AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG=CG【答案】（1）1AD4；（2）见解析【分析】（1）根据已知证明BDEADC，进而求得AC=BE，根据三角形三边关系即可求得AD的取值范围；（2）过点B作BM/FC交FE的延长线于M，证明ABEACF，得CF=BE，再证明BM=CE，进而证明BMGCFG，即可证明BG=CG【详解】（1）BE/ACE=EACBDE=ADC,BD=CD BDEADCAC=BE=3ABBEAEAB+BE，即22AD81ADEF（3）问题拓展：如图3，在ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：CAD=BED【答案】（1）2AD8；（2

54、）见解析；（3）见解析【分析】（1）如图1延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，由AD为中线，推出BD=CD，可证ACDEBD（SAS）得AC=EB，在ABE中，由三边关系42AD16即可，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证FCDGBD（SAS）得FC=GB，由DEDF，DF=DG得EF=EG，在BEG中 由三边关系，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D是BC边上的中点，得BD=CD，可证ACDGBD（SAS）得AC=GB，DAC=G，利用BE=BG即可推得答案，【详解】（1）如图1延长AD到点E，使得AD=DE，再连接

55、BE，AD为中线，BD=CD，在ADC和EDB中，CD=BD，ADC=EDB，AD=ED，ACDEBD（SAS），AC=EB=6，ABE，AB-BEAEAB+BE，42AD16，2AD8，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，由D为BC中点，BD=CD，在FDC和GDB中，CD=BD，FDC=GDB，FD=GD，FCDGBD（SAS），FC=GB，DEDF，DF=DG，EF=EG，在BEG中EGEF，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D是BC边上的中点，BD=CD，在ADC和GDB中，CD=BD，ADC=GDB，AD=GD，ACDGBD（SAS），AC=GB

56、，DAC=G，BE=AC，BE=BG，BED=G=CAD【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，23（2022全国八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入【探究与发现】（1）如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：ACDEBD【理解与应用】（2）如图2，EP是DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是_（3）如图3，AD是ABC的中线，E、F分别在AB、A

57、C上，且DEDF，求证：BE+CFEF【答案】（1）见解析；（2）1x4；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ=DE=3，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可【详解】（1）证明：CD=BD，ADC=EDB，AD=ED，ACDEBD，（2）1x4；如图，延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，在PDE与PQF中，PE=PQEPD=QPFPD=PF，PEPQFP，FQ=DE=3，在EFQ中，EFFQQEEF

58、+FQ，即532x5+3，x的取值范围是1x4；故答案为：1xEG，又EF=EG，BG=CF，BE+CFEF【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键24（2020福建福州九年级开学考试）如图1，已知正方形ABCD和等腰RtBEF，EF=BE，BEF=90，F是线段BC上一点，取DF中点G，连接EG、CG（1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰RtBEF绕点B顺时针旋转090，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AD=2，求2GE+BF的最小值【答案】（1）EG

59、=CG且EGCG理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）22【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B、E、D三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明EG=CG，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出EGC=90，从而证明EGCG；（2）延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC，首先通过SAS证明HFGCDG，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明HF/CD，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明BECFEH，从而可证明结论仍然成立；（3）连接AH，首先根据题意确定当A、H、G，C在同一直线上时，2GE+BF有最小值，此时BE

60、在BC上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GE+BF有最小值就是AC的长，最后利用勾股定理求解即可【详解】解：（1）EG=CG且EGCG理由如下：如图1，连接BD正方形ABCD和等腰RtBEF，EBF=DBC=45，B、E、D三点共线DEF=90，G为DF的中点，DCB=90，EG=12DF=CG=DGEGF=2EDG，CGF=2CDGEGF+CGF=2EDC=90，即EGC=90，EGCG（2）仍然成立理由如下：如图2，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、ECGF=GD，HGF=CGD，HG=CG，HFGCDGSAS，HF=CD，GHF=GCD，HF/CDABCD是

61、正方形，HF=BC，HFBCBEF是等腰直角三角形，BE=EF，EBC=HFE，BECFEHSAS，HE=EC，BEC=FEH，BEF=HEC=90，ECH为等腰直角三角形又CG=GH，EG=CG且EGCG（3）如下图，连接AH，当A、H、G，C在同一直线上时，2GE+BF有最小值，此时BE在BC上，FH/AB，AC/BF，四边形ABFH是平行四边形，AH=BF，由（2）知CG=GH，2GE+BF=CH+AH=AC，即2GE+BF有最小值，就是AC的长，由勾股定理得AC=22+22=22【点睛】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键