北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷（理）（解析版）.docx

1、北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷（理）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A=x|x2-2x-30，B=x|y=x，则AB等于()A. (-1,3)B. 0,3)C. (-1,0D. (-1,2【答案】B【解析】解：集合A=x|x2-2x-30=x|-1x3，B=x|y=x=x|x0，AB=x|0xxB. xcC. cbD. bc【答案】A【解析】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，条件成立时，保存最大值的变量X=C 故选：A根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的

2、目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题5. 已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且其夹角为，则“|a-b|1”是“(3,”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：|a|=|b|=1，且其夹角为；由|a-b|1得：(a-b)2=a2-2ab+b2=1-2cos+11；cos12；又0；31是(3,的充分条件；由(3,得：cos1；a2-2ab+b2=(a-b)2

3、1；|a-b|1；|a-b|1是(3,的必要条件；综上得，“|a-b|1”是“(3,”的充分必要条件故选：C根据条件，由|a-b|1即可得出(a-b)21，进而得出cos1”是“(3,”的充分条件；反过来，由(3,即可得出(a-b)21，进而得出|a-b|1，从而得出“|a-b|1”是“(3,”必要条件，这样即得出“|a-b|1”是“(3,”的充要条件考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，余弦函数的图象，充分条件、必要条件及充要条件的概念6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()A.

4、 B. C. D. 【答案】D【解析】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ 垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为60，则AB不垂直于平

5、面MNQ故选：D由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题7. 某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.则不同的选派方法的种数是()A. 18B. 24C. 36D. 42【答案】D【解析】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，若甲地分派2名女生，有C22=1种情况，若甲地分配1名女生，有C21C31=6种情况，则甲地的分派方法有1+6=7种，甲地安排好后，在剩

6、余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有A32=6种安排方法，则不同的选派方法的种数是76=42；故选：D根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由加法原理可得甲地的分派方法数目，第二步在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，由排列数公式可得其安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的实际应用，注意先分析受到限制的元素，如本题的甲地8. 若函数f(x)图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对(A,B)称为函数f(x)的“友好点对”且点对(A,B)与(B,A)可看作同一个“友好点对”.若函数f(x)=x2+2ex+m-1,x0x+e

7、2x,x0(其中e为自然对数的底数，e2.718)恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为()A. m(e-1)2B. m(e-1)2C. m0，设h(x)=-x2+2ex-m+1，x0，条件等价为当x0时，h(x)与f(x)的图象恰好有两个不同的交点，则h(x)=-x2+2ex-m+1=-(x-e)2+e2+1-m，x0，当x=e时，函数h(x)取得最大值h(e)=e2+1-m，当x0时，f(x)=x+e2x，f(x)=1-e2x2=x2-e2x2由f(x)0得xe，此时f(x)为增函数，由f(x)0得0x0时，h(x)与f(x)的图象如图：要使两个图象恰好有两个不同的交点，则h(e)f(

8、e)，即e2+1-m2e，即e2-2e+1m，即m0时，h(x)与f(x)的图象恰好有两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可本题主要考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.考查学生的作图能力二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若x，y满足条件x+y-10x-y+10y0，则z=x+2y的最大值为_【答案】2【解析】解：由x，y满足条件x+y-10x-y+10y0作出可行域如图，由z=x+2y，得y=-12x+12z，由图可知，当

9、直线y=-12x+12z过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大联立x-y+1=0x+y-1=0，解得A(0,1)目标函数z=x+2y的最大值为0+21=2故答案为：2由约束条件作出可行域，化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的截距最小时z最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z的最大值本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题10. 双曲线C：2x2-y2=1的渐近线方程是_【答案】y=2x【解析】解：双曲线2x2-y2=1的标准方程为：x212-y2=1a2=12，b2=1，可得a

10、=22，b=1又双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程是y=bax双曲线2x2-y2=1的渐近线方程是y=2x故答案为：y=2x将双曲线化成标准方程，得到a、b的值，再由双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程是y=bax，即可得到所求渐近线方程本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题11. 等比数列an中，S3=21，2a2=a3则数列an的通项公式an=_【答案】32n-1【解析】解：设等比数列an的公比为q，S3=21，2a2=a3，a1(1+q+q2)=21，2=q，解得a1=3数列an的通项公式an=32n-1故答案为：32n-1设等比数

11、列an的公比为q，由S3=21，2a2=a3，可得：a1(1+q+q2)=21，2=q，解出即可得出本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12. 已知直线l的参数方程为y=t-1x=t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2-4cos=0(0,02)，若直线l与曲线C相交于两点A，B，则|AB|=_【答案】8【解析】解：由y=t-1x=t消去t可得y=x-1，其参数方程的标准形式为：x=1+22ty=22t(t为参数)，由sin2-4cos=0得2sin2-4cos=0，得y2=4x，联立x=1+22ty

12、=22ty2=4x得t2-42t-8=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=42，t1t2=-8，所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t28利用直线参数方程中参数t的几何意义可得本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题13. 已知x，yR+，求z=(x+2y)(2x+4y)的最值甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4xy+4yx+818乙：z=(x+2y)(2x+4y)22xy28xy=16你认为甲、乙两人解法正确的是_请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确【答案】甲【解析】解：甲正确，乙解法

13、中两次不等式中取等的条件不相同；已知x，yR+，求z=(a+b)(1a+1b)的最小值甲：z=(a+b)(1a+1b)=1+ba+ab+14，乙：z=(a+b)(1a+1b)2ab21a1b=4故填甲乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误本题考查了基本不等式及其应用，属中档题14. 一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间()当t=5秒时点P离水面的高度_；()将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，则此函数表达式为_【答案】23+2 h(t)=4sin(10t-

14、6)+2【解析】解：()t=5秒时，水轮转过角度为32605=2，在RtMOP0中，MP0=1，MOP0=6；在，RtAON中，AON=3，AN=4sin3=23，此时点A(P)离开水面的高度为23+2；()由题意可知，=3260=10，设角(-20)是以Ox为始边，OP0为终边的角，由条件得h(t)=4sin(10t+)+2，其中(-20，所以cosB=12，由B为三角形内角，可得B=60；(2)由ABC的面积为3，即12acsinB=3，所以ac=23sin60=4，又a+c=6，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accos60=36-3ac=36-34

15、=24，所以b=26，ABC的周长为a+b+c=6+26【解析】(1)根据题意利用正弦定理，再进行三角恒等变换求得cosB的值，从而求出B的值；(2)由ABC的面积公式，利用余弦定理求得b的值，再求ABC的周长本题考查了三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，也考查了三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题16. 在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：学校ABCD抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915(注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值)

16、假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的()若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；()在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；()若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望【答案】解：()该区共2000名高中学生，由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：2000501004050=800()设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与创城活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动”，则从A，C两学

17、校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：P=P(AC-+A-C)=P(A)P(C-)+P(A-)P(C)=45110+15910=1350()将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数XB(3,45)，P(X=0)=C30(15)3=1125，P(X=1)=C31(45)(15)2=12125，P(X=2)=C32(45)2(15)=48125，P(X=3)=C33(45)3=64125，X的分布列为：X0123P1125121254812564125XB(3,45)，E(X)=345=125【解析】()由分层抽样性质估计A

18、学校参与“创城”活动的人数()设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与创城活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动”，则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：P=P(AC-+A-C)=P(A)P(C-)+P(A-)P(C)，由此能求出结果()将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数XB(3,45)，由此能求出这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算

19、求解能力，是中档题17. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的菱形，且ABC=60，PA平面ABCD，PA=6，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点()求证：BDCF()若AF=2(i)求PC与平面BDF所成角的正弦值；(ii)侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足CM/平而BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由【答案】(I)证明：PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，四边形ABCD是菱形，ACBD，又PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，BD平面PAC，又CF平面PAC，BDCF(II)

20、解：(i)设AC，BD交于点O，以O为坐标原点，以OB，OC，平面ABCD过点O的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，则B(33,0，0)，D(-33,0，0)，F(0,-3,2)，C(0,3，0)，P(0,-3,6)，CP=(0,-6,6)，DB=(63,0，0)，BF=(-33,-3,2)，设平面BDF的法向量为n=(x,y，z)，则nDB=0nBF=0，即63x=0-33x-3y+2z=0，令y=2可得z=3，即n=(0,2，3)，cos=nCP|n|CP|=0-12+181362=2626PC与平面BDF所成角的正弦值为|cos|=2626(ii)取PF的中点G，连接FG，CG，E，G分别

21、是PD，PF的中点，EG/DF，又EG平面BDF，DF平面BDF，EG/平面BDF，F，O分别是AG，AC的中点，OF/CG，又OF平面BDF，CG平面BDF，CG/平面BDF，又EG平面CEG，CG平面CEG，EGCG=G，平面CEG/平面BDF，侧面PAD内存在过点E的一条直线EG，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足CM/平而BDF，此直线被直线PA、PD所截线段为EG=12DF=12AD2+AF2=1236+4=10【解析】(I)证明BD平面PAC即可得出BDCF；(II)(i)建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量n，计算n和CP的夹角的余弦值即可；(ii)取PF的中点G，证明平面

22、CEG/BDF，即可得出结论本题考查了线面垂直的判定，面面平行的判定与性质，属于中档题18. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，F1，F2分别为其左、右焦点，过F1的直线与此椭圆相交于D，E两点，且F2DE的周长为8，椭圆C的离心率为22()求椭圆C的方程；()在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)与点Q(0,2)，过P的动直线l(不与x轴平行)与椭圆相交于A，B两点，点B1是点B关于y轴的对称点(i)Q，A，B1三点共线(ii)|QA|QB|=|PA|PB|【答案】解：()F2DE的周长为8，4a=8，即a=2，e=ca=22，c=2，b2=a2-c2=2，故椭圆C的

23、方程为x24+y12=1()(i)证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B1三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立y=kx+1x24+y22=1，得(1+2k2)x2+4kx-2=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则B1(-x2,y2)，x1+x2=-4k1+2k2，x1x2=-21+2k2，QA=(x1,y1-2)，QB1=(-x1,y2-2)，x1(y2-2)+x2(y1-2)=x1(kx2-1)+x2(kx1-1)=2kx1x2-(x1+x2)=-4k1+2k2+4k1+2k2=0QA与QB1共线，则Q，A，B1三点共线(ii)

24、由(i)可知Q，A，B1三点共线，|QA|QB|=|QA|QB1|=|x1|x2|=|PA|PB|QA|QB|=|PA|PB|【解析】()由三角形的周长可得a=2，根据离心率可得c=2，即可求出b2=2，则椭圆方程可求；()(i)当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B三点共线.当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明(ii)由(i)可知Q，A，B1三点共线，即|QA|QB|=|QA|QB1|=|x1|x2|=|PA|PB|，问题得以证明本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位

25、置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题19. 已知f(x)=axex在点(0,0)处的切线与直线y=x-2平行()求实数a的值；()设g(x)=f(x)-b(x22+x)(i)若函数g(x)0在0,+)上恒成立，求实数b的最大值；(ii)当b0时，判断函数g(x)有几个零点，并给出证明【答案】解：()函数f(x)=axex，则f(x)=aex(x+1)，由题意知x=0时，f(0)=a=1，即a的值为1；()(i)g(x)=f(x)-b(x22+x)=xex-b(x22+x)，所以g(x)=(x

26、+1)(ex-b)，当x0,+)时，若b1，则ex-b0，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)g(0)0；当x0,+)时，若b1，令g(x)=0，解得x1=-1(舍去)，x2=lnb0，所以g(x)在(0,lnb)内单调递减，g(lnb)g(0)，所以g(x)0不恒成立，所以b的最大值为1；(ii)g(x)=xexb(x22+x)=xex-b(x2+1)，显然g(x)有一个零点为0，设h(x)=ex-b(x2+1)，则h(x)=ex-b2；当b=0时，h(x)无零点，所以g(x)只有一个零点0；当b0，所以h(x)在R上单调递增，又h(0)=1-b0，h(2b-2)=e2b-2-10，由

27、零点存在性定理可知，h(x)在(-,0)上有唯一一个零点x0，所以g(x)有2个零点；综上所述，b=0时，g(x)只有一个零点，b1时g(x)在(0,+)内不单调递增，由此求得b的最大值；(ii)化简g(x)知0是g(x)的一个零点，利用构造函数法讨论b=0和b0且a1)，对于任意的n，mN*，都有an+m=anam，则称数列an为“指数型数列”()已知数列an，bn的通项公式分别为an=53n-1，bn=4n，试判断an，bn是不是“指数型数列”；()若数列an满足：a1=12，an=2anan+1+3an+1(nN*)，判断数列1an+1是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；

28、()若数列an是“指数型数列”，且a1=a+1a+2(aN*)，证明：数列an中任意三项都不能构成等差数列【答案】()解：对于数列an，an+m=anam=53(53n+m-1)an，所以an不是指数型数列对于数列bn，对任意n，mN*，因为bn+m=4n+m=4n4m=bnbm，所以bn是指数型数列()证明：由题意，1an+1，是“指数型数列”，an=2anan+1+3an+1，1an+1=3an+21an+1+1=3(1an+1)，所以数列1an+1是等比数列，1an+1=(1an+1)3n-1=3n，(1an+1)(1am+1)=3n3m=3m+n=(1an+m+1)，数列1an+1是“

29、指数型数列”()证明：因为数列an是指数数列，故对于任意的n，mN*，有an+m=anam，an+1=ana1an=a1n=(a+1a+2)n，假设数列an中存在三项au，av，aw构成等差数列，不妨设uvw，则由2av=au+aw，得2(a+1a+2)v=(a+1a+2)u+(a+1a+2)w，所以2(a+2)w-v(a+1)v-u=(a+2)w-u+(a+1)w-u，当t为偶数时，2(a+2)w-v(a+1)v-u是偶数，而(a+2)w-u是偶数，(a+1)w-u是奇数，故2(a+2)w-v(a+1)v-u=(a+2)w-u+(a+1)w-u不能成立；当t为奇数时，2(a+2)w-v(a+1)v-u是偶数，而(a+2)w-u是奇数，(a+1)w-u是偶数，故2(a+2)w-v(a+1)v-u=(a+2)w-u+(a+1)w-u也不能成立所以，对任意aN*，2(a+2)w-v(a+1)v-u=(a+2)w-u+(a+1)w-u不能成立，即数列an的任意三项都不成构成等差数列【解析】()利用指数数列的定义，判断即可；()利用a1=12，an=2anan+1+3an+1(nN*)，说明数列1an+1是等比数列，然后证明数列1an+1为“指数型数列”；()利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键