北师大版八年级上册第四章4.2　一次函数与正比例函数.docx

1、4.2一次函数与正比例函数（教案）教学目标知识与技能：理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.过程与方法：能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.情感态度与价值观：1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.教学重难点【重点】1.一次函数、正比例函数的概念.2. 一次函数、正比例函数的关系.3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.【难点】一次函数知识的运用.教学准备【教师准备】引例和例题投影图片.【学生准备】复习函数的定义

2、、函数值等内容.教学过程一、导入新课导入一:生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?用一次函数可以解决哪些问题呢?你想了解这些吗?一起进入这节课的学习吧!导入二:汽车的平均速度为95 km/h,A地直达北京的高速公路全程为570 km,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到一个什么样的关系式呢?他是

3、怎样想的?猜猜看.二、新知构建过渡语怎样写出两个变量之间的函数关系式呢?（1）、出示教材引例及问题某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表:x/kg012345y/cm(2)你能写出y与x之间的关系式吗?【分析】当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总

4、长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.（2）、做一做某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.(1)完成下表:汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?【答案与提示】(1)如下表所示:汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L0612182436(2)y=6x.(3)z=60-x.【归纳】若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数.

5、例如y=2x+1, y=x-1等都是一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.知识拓展正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.（3）、例题讲解写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;(3)某水池有水15 m3,现打开进水管

6、进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内有水y m3.(由学生交流讨论完成)解:(1)由路程=速度时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.(2)由圆的面积公式,得y=x2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.(3)这个水池每小时增加5 m3水,x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.【思考】两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?我国自2019年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入不超过3500元的部分不收税;月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税如某人

7、月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)3%=10.8(元).(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式;(2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?解析一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.解:(1)当月收入超过3500元而不超过50

8、00元时,y=(x-3500)3%,即y=0.03x-105.(2)当x=4160时,y=0.034160-105=19.8(元)(3)因为(5000-3500)3%=45(元),19.2-B.m 5 C.m=- D.m=52.下列函数:y=4x+3;y=x;y=x4;y=x2;y=1-x中,一次函数有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.在函数y=x, y=x+3,y=,y=2x2-3, y=2(x-3)中,是关于x的正比例函数.【能力提升】4.容积为800 L的水池内已蓄水200 L,若每分钟注入的水量是15 L,设池内的水量为Q(L),注水时间为t(min).(1)请写出Q与t的函数关

9、系式;(2)注水多长时间可以把水池注满?(3)当注水时间为0. 2 h时,池中水量是多少?5.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于总辆次的25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.【拓展探究】6.为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积/m2单价/(万元/m2)不超过30的部分0

10、.3超过30不超过n(m2)的部分(45n60)0.5超过n(m2)的部分0.7根据这个购房方案解决下列问题:(1)若某三口之家欲购买120 m2的商品房,求其应缴纳的房款;(2)设某三口之家购买商品房的人均面积为x m2,应缴纳房款为y万元,请写出y关于x的函数表达式.【答案与解析】1.C(解析:函数y=(m-5)x+(4m+1)x2中的y与x成正比例,即m=-.故选C.)2.C (解析:y=4x+3是一次函数;y=x是一次函数;y=x4的自变量的次数不为1,故不是一次函数;y=x2的自变量的次数不为1,故不是一次函数;y=1-x是一次函数.故选C.)3.y=x(解析:只有y=x符合y=kx

11、(k0)的形式.)4.解:(1)Q=200+15t,0t40.(2)注水40 min可以把水池注满.(3)当注水0.2 h,即12 min时,池中水量为380 L.5.解:(1)y与x的关系式是y=0.3x+0.5(3500-x),即y=-0.2x+1750(0x3500,且x为整数). (2)因为变速车停放的辆次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行车停放的辆次在350060%与350075%之间.当x=350060%=2100时,y=-0.22100+1750=1330;当x=350075%=2625时,y=-0.22625+1750=1225.所以该保管站这个星期日保管费收入总数在1225元至1330元之间.6.解析:(1)根据房款=房屋单价购房面积就可以表示出应缴房款.(2)分别求出当0x30,30n时y与x之间的表达式即可.解:(1)由题意,得应缴纳房款为0.390+0.530=42(万元).(2)由题意得:0x30时,y=0.33x=0.9x;30n时,y=0.390+0.53(n-30)+0.73(x-n)=2.1x-18-0.6n.