圆锥曲线专题：最值与范围问题中常见的6种考法（解析版）.docx

1、圆锥曲线专题：最值与范围问题中常见的6种考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造

2、不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围题型一 距离与长度型最值范围问题【例1】已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于不同两点，且满足为坐标原点），求线段长度的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）设动点，轴于点，设圆的方程为，由题意得，故圆的方程为由题意，得，故，即，将代入，得动点的轨迹方程为.（2）假设直线的斜率存在，设其方程为，联立，可得， ，即，则，化简可得，即，化简得到又将代入，可得当且仅当，即时等

3、号成立又由，故若直线的斜率不存在，则所在直线方程为，联立，解得，同理求得，求得综上，得【变式1-1】设椭圆的右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程；（3）是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围【答案】（1）；（2）或或或；（3）【解析】（1）由题意可得，且点到直线的距离又，解得，所以椭圆的方程为.（2）设直线方程为，与直线的方程联立可得点，联立直线方程和椭圆方程消去，整理得，解得，可得，由，则直线方程，令

4、，解得，即，所以有，整理得，解得或，所以直线的方程为或或或.（3）设直线的方程为，其中，联立，得，当点在椭圆及外部，即时，；当点在椭圆内部，即时，令，则，综上所述，的取值范围为【变式1-2】已知曲线上任意一点满足方程，（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线在轴左右两侧的交点分别是，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）8【解析】（1）设，则，等价于，曲线为以为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，故曲线的方程为：；（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，则直线的方程为，由，得，所以，同理可得，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线的焦点为，过点

5、且倾斜角为的直线被所截得的弦长为.（1）求抛物线的方程；（2）已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由抛物线方程得：，可设过点且倾斜角为的直线为：，由得：，由抛物线焦点弦长公式可得：，解得：，抛物线的方程为：.（2）由（1）知：，准线方程为：；设，圆的半径为，则，又，；由抛物线定义可知：，即，即的取值范围为.题型二 面积型最值范围问题【例2】如图，椭圆和圆，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的上顶点为，是圆的一条直径，不与坐标轴重合，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求的面积的最大值及

6、此时所在的直线方程【答案】（1）；（2），所在的直线方程为【解析】（1）直线与圆相切，则，由椭圆的离心率，解得：，椭圆的标准方程：；（2）由题意知直线，的斜率存在且不为0，不妨设直线的斜率为，则直线由，得，或，所以.用代替，则，设，则当且仅当即时取等号，所以.即，直线的斜率，所在的直线方程：.【变式2-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点R（1）求的周长；（2）当垂直于x轴时，求直线的方程；（3）记与的面积分别为、，求的最大值【答案】（1）8；（2）；（3）【解析】（1）由椭圆的方程可得，可得，可得a2，c1，由椭圆的定义可得：

7、的周长为4a8，所以的周长为8；（2）由（1）可得，当垂直于x轴时，则的纵坐标为，所以，直线的方程为：，联立，解得或，则，直线的方程为，即；（3）设，设直线的方程为，其中，联立，消去x并整理可得，由韦达定理可得，又，则，同理可得.，令，当且仅当，即时取等号.的最大值为【变式2-2】已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点（1）求直线斜率的取值范围；（2）设，的面积分别是，求的范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为双曲线的右焦点为，故，由得，所以双曲线的方程为，设直线的方程为，联立双曲线方程得，解得，即直线的

8、斜率范围为；（2）设，渐近线方程为，则到两条渐近线的距离，满足，而，所以由，所以，.【变式2-3】已知抛物线的焦点为，为上的一个动点，与在的同一侧，且的最小值为.（1）求的方程；（2）若点在轴正半轴上，点、为上的另外两个不同点，点在第四象限，且，互相垂直、平分，求四边形的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）作出的准线，方程为，作于，所以，即的最小值为， 因为与在的同一侧，所以当且仅当，三点共线时取得最小值，所以，解得，所以的方程为；（2）因为，互相垂直、平分，所以四边形是菱形，所以轴，设点，所以，由抛物线对称性知，由，得，解得，所以菱形的边，高，其面积为.题型三 坐标与截距型最值范围问题

9、【例3】已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点（1）求双曲线的方程；（2）设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值【答案】（1）；（2）2【解析】（1）由题设可知，解得则：（2）设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为当直线斜率存在时，设：，联立，整理得，整理得联立，整理得，则，则，即则，即此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2【变式3-1】若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直

10、平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直线过x轴上一点，由题意可得，即，双曲线的渐近线方程为，由两直线平行的条件可得，解得，即有双曲线的方程为.（2）设直线，代入，可得，设，则，中点为，可得的垂直平分线方程为，令，可得，由，解得，又，解得，综上可得，即有的范围是，可得直线与轴上的截距的取值范围为.【变式3-2】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；

11、（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设（）若直线l的斜率不存在，则由得，因为，所以，即，所以，因为，所以；因为，所以，即，所以，所以因为，所以（）若直线l的斜率存在，设为k，则设由得，所以，且，所以（*），因为，所以，即，所以，所以，得，因为，所以，即，所以，所以则所以，得，所以，代入（*）得，所以，由得，所以，所以，所以，由，知，综合（）（）知直线l在x轴上截距b的取值范围是【变式3-3】已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）（1）求动点的轨迹的方程；（2）设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于

12、点，求点横坐标的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）设，因为，则，所以，即（2）设轨迹：上任一点为，所以，所以，令，对称轴为：，当，即时，在区间单调递增，所以时，取得最小值，即，所以，当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以时，取得最小值，即，所以，所以（3）当直线的斜率不存在时，此时：与轨迹不会有两个交点，故不满足题意；当直线的斜率存在时，设：，、，代入，得，即，所以，因为直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，所以，得，即；又、两点在轴上方，所以，即，所以，又，所以，所以中点，即，所以垂直平分线为，令，得，因为，所以，所以在时单调递增，所以，即，所以点横坐标的取值范围为：.

13、题型四 斜率与倾斜角最值范围问题【例4】已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求；（2）已知点，若存在过点的直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求直线斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可知，切线斜率存在，则设切线，联立得，即，相切得：，即，所以由两切线垂直得：，（2）由（1）得，椭圆方程为由题可知，直线的斜率存在，设，联立得设，由韦达定理得：由题意为直径的圆过点，又代入式得：或（舍去），所以过定点，即直线斜率范围【变式4-1】已已知椭圆的离心率为，右焦点是，左、右顶点分别是和直线与椭圆交于，两点，点在轴上方，且当时，（1）求椭圆的方程；（2）若直

14、线、的斜率分别是和，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆对称性知： ，即，又，所以，所以椭圆的方程为；（2）将代入得，设，则，由（1）得，所以，将式代入上式得 ，因为，所以，即的取值范围是；综上，椭圆C的方程为，的取值范围是.【变式4-2】）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中为原点），求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题,在椭圆中,焦点坐标为和；左右顶点为和,因为双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右

15、焦点,所以在双曲线中,设双曲线方程为,则,所以,所以双曲线的方程为（2）由（1）联立,消去,得；消去,得设,则为方程的两根,为方程的两根；，得或,又因为方程中,得,联立得的取值范围【变式4-3】已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）方法一：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，当时，因为，此时，当且仅当，

16、即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.方法二：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为题型五 向量型最值范围问题【例5】给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围.【答案】（1）椭圆C的方程为，其“准圆”方程为；（2）【解析】（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，

17、其“准圆”方程为（2）由题意，可设、，则有，又点坐标为，所以，所以，又，所以，所以的取值范围是【变式5-1】已知是平面上的动点， 且点与的距离之和为点的轨迹为曲线（1）求动点的轨迹的方程；（2）不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点， 曲线与轴的交点为，当时，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，点P的轨迹E是以为焦点，长轴为的椭圆，设，则故轨迹E的方程为（2）由题意，直线斜率一定存在，设直线l方程为yk（x1）代入E的方程，整理得设点，可得由得，解得因为所以由已知得，的取值范围是【变式5-2】已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂

18、直于x轴时，；（1）求双曲线的方程；（2）过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，当l垂直于x轴时，即，即，解得，因此；（2）设，联立双曲线方程，得：，当时，当时，设，因为直线与双曲线右支相交，因此，即，同理可得，依题意，同理可得，而，代入，分离参数得，因为，当时，由，所以，综上可知，的取值范围为.【变式5-3】已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.【答案】（1）；（2）32【解析】（1）设点，由已知，则，即.因为，则，所以

19、抛物线的方程是.（2）设点，直线的斜率为，因为，则直线的斜率为.因为，则，得，因为，则，即，因为，则，即将代入，得，即，则，所以因为，则，又，则，从而当且仅当时取等号，所以的最小值为32.题型六 参数型最值范围问题【例6】已知点在椭圆上，直线的斜率之积是，且.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于点，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）椭圆方程改写为:，点在椭圆上， 有，两式相乘，得：，由，得，由直线的斜率之积是，得，即，椭圆的方程为：.（2）过点的直线若斜率不存在，则有，此时；当过点的直线斜率存在，设直线方程为，由，消去，得，直线与椭圆交于点两点，得设，由韦达定理

20、 ，消去 ，得，由，由，解得，综上，有，的取值范围为【变式6-1】设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，、分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于、两点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；（3）设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为或；（3）【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，由题意可得，解得，因此，椭圆的方程为.（2）易知点、，假设满足条件的直线存在，当直线与轴重合时，则、为椭圆长轴的端点，不妨设点、，此时，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立可得，由韦达定

21、理可得，所以，解得，所以，存在直线满足条件，且直线的方程为或.（3）若直线与轴重合，则点在直线上，不合乎题意，由题意可知，由（1）可得，即点，则，即，解得.【变式6-2】已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为（1）求双曲线C的方程；（2）直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为，所以点在双曲线上，由题意，得，解得， 即双曲线的标准方程为.（2）联立，得，因为直线与该双曲线C交于不同的两点，所以且，即且，设，的中点，则，因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，所以，即，因为，所以，即，将代入，得，解得或，即m的取值范围为或.【变式6-3】离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合（1）求抛物线的方程；（2）过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为，即为抛物线焦点.抛物线的方程为；（2）设，故直线的方程为，即，所以，同理可得：，是方程的两个不同的根，则，由恒在以为直径的圆内，即