2012高考总复习数学文科新人教A版浙江专版课件第3单元 第8节 正余弦定理的应用举例.ppt

1、第八节 正、余弦定理的应用举例基础梳理实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图)(2)方位角指从_方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a(如图)(3)坡角：坡面与水平面所成的角上方时下方时正北基础达标1.(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70，则BAC=()A.10B.50C.120D.130 D 解析：如图，由已知BAD=60，CAD=70，BAC=60+70=130.2.若P在Q的北偏东44，则Q在P的()A.东偏北46

2、B.东偏北44C.南偏西44 D.西偏南44C 解析：如图，依题意知AQP=44，则点Q在P点的南偏西44.3.(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A.1 B.2sin 10C.2cos 10D.cos 20 C 解析：ABC=20，AB=1，ADC=10，ABD=160.在ABD中，由正弦定理=，AD=AB =2cos 10.4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得BCD=15，BDC=30，CD=30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB=_m.解析：由已知可得DBC=135，在D

3、BC中，由正弦定理可得=，BC=15 ，AB=BCtan 60=15 =15 .经典例题分析：如图所示，由条件可知ACD是等腰直角三角形，故只要求出AC即可，在ABC中，AB可知，CAB，CBA都可知，利用正弦定理可求出AC.【例1】一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30方向若货轮的速度为30 nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离解：如图所示，在ABC中，CAB=45，ABC=90+30=120，ACB=180-45-120=15，AB=300.5=15(n mile)则由正弦定理，得=

4、，即=.又sin 15=，sin 120=，AC=15(n mile)在ACD中，A=D=45，ACD是等腰直角三角形，AD=AC=15(3+)(n mile)，A、D两处的距离为15(3+)n mile.变式11如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 海里问：乙船每小时航行多少海里？如图，连接A1B2，由已知A2B210 ，A1A230 10 ，A1A2A2B2.又A1A2B218012

5、060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210 .由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010 200，B1B210.因此，乙船的速度为6030(海里/小时)n mile.题型二 高度问题【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高分析：依题意画出示意图形如图，在BDC中，可用正弦定理求BD的长，要使仰角AEB最大，即使tanAEB最大由于AB是塔高，是定值，故只要BE最小就可以了，显然BEDC时BE为最小，即

6、BE长可求出然后在RtABE中求出塔高AB的长解：如图所示，在BDC中，CD=40 m，BCD=90-60=30，DBC=180-45=135.由正弦定理，得=，BD=20 (m)在RtABE中，tanAEB=，AB为定值，若要使仰角AEB最大，则BE要最小，即BECD，这时AEB=30.在RtBED中，BDE=180-135-30=15，BE=BDsinBDE=20 sin 15=10(-1)(m)在RtABE中，AB=BEtanAEB=10(-1)tan 30=(3-)(m)，塔的高度为(3-)m.题型三 角度问题【例3】甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距10海里，乙

7、船向正北行驶，若甲船速度是乙船的倍，问：甲船应向什么方向行驶才能追上乙船？解：如图，设乙船行驶了x海里，则甲船行驶了x海里，两船在C处相遇在ABC中，ABC=120，AB=10，BC=x，AC=x.由余弦定理可知(x)2=100+x2-20 xcos 120，即x2-5x-50=0，x=10或x=-5(舍去)，ABC是顶角为120的等腰三角形，所以BAC=30.故甲船应向北偏东30方向前进才能追上乙船变式31 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，若甲船速度是乙船的倍，问：甲船应向什么方向行驶才能追上乙船？如图，设乙船行驶了x海里，则甲船行驶了x海里

8、，两船在C处相遇在ABC中，ABC120，AB10，BCx，ACx.由余弦定理可知(x)2100 x220 xcos 120，即x25x500，x10或x5(舍去)，ABC是顶角为120的等腰三角形，所以BAC30.故甲船应向北偏东30方向前进才能追上乙船(2010福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在3

9、0分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，说明理由知识准备：1.能通过阅读理解题意，画出示意图；2.余弦定理的应用：利用a2b2c22bccos A，可以在已知b，c与角A的情况下求出a的长；3.会求二次函数yax2bxca 2在什么条件下取到最值；4.解一元二次不等式(组)的准确性与换元思想的应用解(1)方法一：设相遇时小艇的航行距离为s海里，则s.故当t时，smin10 ，v=30 ，即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小方法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速航行，则小艇航行方向为正北方向，设小艇与轮船在C处相遇又AC30t，OCvt.此时，轮船航行时间t，v30 .即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇由题意，得(vt)2202(30t)222030tcos(9030)化简，得v2900400 675.由于00)，于是400u2600u900v20.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程应有两个不等正根，即解得15 v30.v的取值范围是(15 ，30)