2012高考总复习数学文科新人教A版浙江专版课件第8单元 第3节 圆的方程.ppt

1、第三节 圆的方程基础梳理1.圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为_，半径为r；(2)圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标_，半径为_方程表示圆的充要条件是_2.以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆方程为_3.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2与x轴相切，则_；若圆(x-a)2+(y-b)2=r2与y轴相切，则_.4.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于x轴对称，则_;若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于y轴对称，则_；若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于y=x轴对称，则_;5.点M(x0，y0)与圆x2+

2、y2+Dx+Ey+F=0的位置关系：M在圆内_；M在圆上_；M在圆外_.答案：1.(1)(a，b)(2)D2+E2-4F02.(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=03.|b|=r|a|=r4.E=0D=0D=E5.x02+y02+Dx0+Ey0+F0 x02+y02+Dx0+Ey0+F=0 x02+y02+Dx0+Ey0+F0基础达标1.(教材改编题)点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是()A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定2.(原创题)以点P(3，-2)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是()A.(x-3)2+(y-2)2=4B.(x-3)2+(y+2)2

3、=4C.(x-3)2+(y+2)2=9D.(x+3)2+(y-2)2=93.(教材改编题)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为()A.x2+y2=32 B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=164.(2011青岛模拟)若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=_.答案：1.A 解析：由题意可知，圆心坐标为(0,0)，P点到圆心的距离为所以点在圆外2.C 解析：圆的半径为r=3，所以圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=9.3.B 解析：设P(x，y)，则4(x-

4、2)2+y2=(x-8)2+y2，化简得x2+y2=16.4.解析：曲线关于直线y-x=0对称，则圆心在直线上，代入得a2=1-a2，解得a=.经典例题题型一 求圆的方程【例1】求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的方程并判断点P(2,4)与圆的关系解：方法一：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆心在y=0上，b=0，圆的方程为(x-a)2+y2=r2.又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点，解得故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.方法二：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为圆心在x轴上，则-E/2=0，即E=0.又该圆过A(1,4)

5、和B(3,2)，所以解得所以圆的方程为x2+y2+2x-19=0.方法三：圆过A(1,4)、B(3,2)两点，圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又kAB=-1，l的斜率为1.又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为y-3=x-2，即x-y+1=0.又知圆心在直线y=0上，圆心坐标为C(-1,0)半径r=|AC|=.即所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为d=|PC|=5r，点P在圆外变式1-1 圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0，-4)，B(0，-2)，则圆C 的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=5B.(

6、x+2)2+(y-3)2=5C.(x-3)2+(y+2)2=5D.(x+3)2+(y-2)2=5答案：A解析：由题意知圆心一定在直线y=-3上，又圆心在直线2x-y-7=0上，故圆心坐标为(2，-3)，半径r=，故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.题型二 圆的对称问题【例2】已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1解：设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有解得对称圆的半径不变，仍为

7、1，故选B.变式2-1 已知圆C 的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C 的方程为_答案：x2+(y+1)2=18解析：设圆心C(x，y)，则所以故圆心的坐标为(0，-1)，圆心到直线3x+4y-11=0的距离d=3，所以r2=32+d2=18.故圆的方程为x2+(y+1)2=18.题型三 与圆有关的最值问题【例3】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y-x的最大值和最小值；(3)求x2+y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x-2)2+y2=3，表示以(2,0)为圆

8、心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=k，即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时=，解得k=，如图1，所以的最大值为，最小值为-.(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时=，解得b=-2.如图2，所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图3.又圆心到原点的距离为=2.所以，x2+y2的最大值为(2+)2=7+4 ，x2+y2的最小值为(2-)2=

9、7-4 .变式3-1 已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点A(-1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d=|PA|2+|PB|2的最大值、最小值解：设P(x0，y0)，则d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02)+2.欲求d的最值，只需求w=x02+y02的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点，则wmin=(|OC|-1)2=16=|OP1|2，此时dmin=2*16+2=34，wmax=(|OC|+1)2=36=|OP2|

10、2，此时dmax=2*36+2=74.题型四 与圆有关的轨迹问题【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程解：设点M的坐标为(x，y)，点A(x0，y0)因为M是线段AB的中点，且B(4,3)，所以所以又点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以(x0+1)2+y02=4.把代入，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4，整理得2+2=1.所以点M的轨迹是以为圆心，半径为1的圆变式4-1 由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B，AOB=120(O为坐标原点)，求动点P的轨迹方程解：连接OP，因为

11、PA、PB为切线，切点分别为A、B，所以OAAP，OBBP.因为AOB=120，所以APO=BPO=30.在RtAPO中，可得|OP|=2|OA|=2,所以点P的轨迹是以点O为圆心、半径为2的圆，其方程为x2+y2=4.解：以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图.则C(4,2)、M(3,3).设圆弧所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2，则即所求圆的方程为x2+(y+1)2=25.令x=0代入方程解得y=4或-6(舍去)所以拱顶E距路面AB至少需4 m.题型五 圆的方程的实际应用【例5】某工程设计一条单行隧道，其横截面如图所示，下部ABCD为长8 m高2 m的矩形，上部是圆弧CED的一部分.欲使宽6 m高3 m的大型货车刚好能通过，求拱顶E距离路面AB至少需多少米？链接高考(2010广东)已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是_.知识准备：1.知道圆心横坐标为负，纵坐标为0；2.知道圆心到切线的距离等于半径答案：(x+5)2+y2=5解析：设圆心为(a,0)(a0)，则r=，解得a=-5.所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5.