宁夏石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）.docx

1、平罗中学20232024学年度第一学期第一次月考试卷高二数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解【详解】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角故选：D2. 已知直线与相交，则他们的交点是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】联立直线方程： ，解得： ，即直线的交点坐标为 .本题选择B选项.3. 已知A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则的值为()A. B. C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】根据所给的

2、三个点的坐标，利用两点间的距离公式，写出要用的两点之间的距离，代入分式求出两个距离的比值，得到结果【详解】，故选D【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.4. 在正方体中，底面ABCD的对角线交于点O，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的减法可得结果.【详解】如下图所示： .故选：A.5. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程.【详解】设该直线方程为由点在该直线上，则，即即该直线方程为故选：C【点睛】本题主要考查了由两直

3、线垂直求直线方程，属于中档题.6. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）A. 3B. 1C. 3D. 1【答案】C【解析】【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案.【详解】因为，所以与垂直，故，解得.故选：C7. 直线（）的图形可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对a分成和两种情况，分析出正确的图象即可.【详解】直线（）的斜率是，在轴上的截距是，当时，直线在轴上的截距，此时直线过第一、二、三象限；当时，直线在轴上截距，此时直线过第二、三、四象限，只有选项B符合故选：B.【点睛】本题主要考查直线方程斜率和纵截距，考查直线图象的

4、识别，属于基础题.8. 已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E，F，注意范围，利用异面直线与成角构建关系，解出范围即可.【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系，依题意，设，设，故，又，异面直线与成的角，故，即，即，故，又，故.故选：B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

5、)9. 设向量，则（ ）A. B. C. 与的夹角为D. 【答案】BC【解析】【分析】根据两向量的坐标进行减法计算求出，然后根据向量共线和垂直的性质判断A、B选项，通过向量坐标法求夹角判断C选项，通过坐标求两个向量模长，比较大小即可判断D选项.【详解】，所以，故A选项错误，B选项正确；，则与的夹角为，故C选项正确；，故D选项错误.故选：BC.10. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.【详解】由题意，所以，所以：，即，由两平行直线间的距离公式得，解得或

6、，所以或.故选：AB【点睛】本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.11. 已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解.【详解】设，由题意可得，可化为，解得:或，即或故选：AC12. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 平面C. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线，所成的角为定值【答案】ABC【解析】【分析】通过线面的垂直关系可判A项真假；根据线面平行可判B项真假；根据三棱锥的体

7、积计算的公式可判C项真假；根据列举特殊情况可判D项真假.【详解】因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，故A项正确；易知，所以，且平面，平面，所以平面，故B项正确；如图1，连结交于点.图1因为平面，平面，所以，所以因为，平面，平面，所以平面.所以到平面的距离为，所以为定值，故C项正确；D当，取为，如下图2所示：图2因为，所以异面直线所成角为，且；当，取为，如下图3所示：图3易知，所以四边形是平行四边形，所以.因为，是的中点，所以.又， 所以异面直线所成角为，且，由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.故选：ABC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 如图，以长方体

8、的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_【答案】【解析】【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点， 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为的坐标为，所以, 所以.14. 不论m取何实数，直线(m2)x(m1)ym10恒过定点_【答案】(0，1)【解析】【分析】将直线化为m(xy1)(2xy1)0，联立方程即可求出.【详解】由直线(m2)x(m1)ym10变形为m(xy1)(2xy1)0，令，解得，该直线过定点(0，1)故答案为：.15. 已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为_.【答案】【解析】【分

9、析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，所以点到平面的距离为.故答案：.16. ABC中BC边上高所在直线方程为x-2y+1=0，A平分线方程为y=0，顶点B的坐标为（1，2），则ABC的面积为_【答案】【解析】【分析】联立方程组求得，得到的直线，得出直线的方程，联立方程组，求得顶点C的坐标为，再由点到直线的距离公式和面积公式，即可求解.【详解】由方程组，解得顶点的坐标为，又的斜率为，且轴是的平分线，故直线的斜率为，所在的直线为，即，已知边上的高所在的直线方程为，故的斜率为，所在直线的方程为，即，联立方程组，解得顶点C的坐标为，所以，点到直线的距离，所以的面积为.故答案为：.【

10、点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中药认真审题，注意直线方程的性质的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知，求：（1），；（2）与所成角的余弦值【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据空间向量平行公式与垂直公式求解即可；（2）根据空间向量夹角公式求解即可.【小问1详解】因为，故，解得，故，.由可得，解得，故.【小问2详解】，故与所成角的余弦值.18. 已知直线l经过点P(2，5)，且斜率为.（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平

11、行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程【答案】（1）3x4y140 （2）3x4y10或3x4y290【解析】【分析】（1）由点斜式直接求解即可；（2）由题可设直线m的方程为3x4yc0，再利用点到直线的距离的公式即得.【小问1详解】由直线的点斜式方程得，整理得直线l的方程为3x4y140.【小问2详解】直线m与l平行，可设直线m的方程为3x4yc0，即|14c|15.c1或c29.故所求直线m的方程为3x4y10或3x4y290.19. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，为的中点 （1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依

12、题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面；（2）由空间向量数量积为零可证明，再由线面垂直的判定定理即可证明平面.【小问1详解】根据题意可知平面平面，平面平面，又是正方形，所以，平面， 所以平面，即，两两垂直；以D为原点，分别以，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则，又为的中点，所以，则，所以，故共面又平面，所以平面；【小问2详解】易知，所以；又，可得；又，平面，所以平面.20. 在锐角ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）若，且，求ABC的周长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据正弦定

13、理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.【小问1详解】由及正弦定理得 因为，故 又 为锐角三角形，所以【小问2详解】由余弦定理， ，得 解得：或 的周长为21. 已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【答案】（1）x2或3x4y100； （2） 【解析】【详解】试题分析：第一步首先考虑直线的斜率不存在的情况，然后可设直线方程的点斜式，根据原点到直线的距离为2，列方程求出斜率，得出直线方程；第二步过P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线，P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值，OP长即

14、为所求.试题解析：(1)当l的斜率k不存在时显然满足要求，l的方程为x2；当l的斜率k存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由点到直线距离公式得，k，l的方程为3x4y100.故所求l的方程为x2或3x4y100.(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由lOP得klkOP1，所以2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.【点睛】利用直线方程的点斜式解决问题，首先要考虑直线的斜率不存在的情况，然后再设直线方程的点斜式，根据原点到直线的距离为2，列方程求出斜率，得出直线方程；求过

15、P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线，P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值，OP长即为所求.22. 如图，三棱锥中，E为BC的中点 （1）证明：；（2）点F满足，求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得；（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出【小问1详解】连接，因为E为BC中点，所以，因为，所以与均为等边三角形，从而，由，平面，所以，平面，而平面，所以【小问2详解】不妨设，又，平面平面以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，取，所以；，取，所以，所以，从而所以二面角的正弦值为