2022秋高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 综合训练 新人教A版选择性必修第一册.docx

1、第三章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆M:x2+y24=经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为()A.2B.22C.4D.422.(2021广东东莞期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0)3.已知双曲线x29y2m=1的一条渐近线的方程为y=23x,则双曲线的焦距为()A.13B.10C.213D.254.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+

2、y2=16C.(x-2)2+y2=16D.(x+2)2+y2=45.(2021陕西咸阳期末)设P是双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是43,且F1PF2=90,F1PF2的面积是7,则a+b=()A.3+7B.9+7C.10D.166.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于()A.13B.223C.23D.237.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(xbc0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若F0F1F2是边长

3、为1的等边三角形,则a,b的值分别为()A.72,1B.3,1C.5,3D.5,48.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则()A.a2=132B.a2=13C.b2=12D.b2=2二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.当4,34时,方程x2sin +y2cos =1表示的轨迹可以是()A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线10.已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双

4、曲线C的方程为x216y29=1的是()A.离心率为54B.双曲线过点5,94C.渐近线方程为3x4y=0D.实轴长为411.(2021北京通州期中)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的方程为x2-2xy=a(a0),则下列关于曲线C的结论正确的是()A.曲线C关于y轴对称B.曲线C关于原点对称C.若点P(m,n)在曲线C上,则mn的取值范围是-12a,+D.当0a2时,曲线C与直线2x-y-a=0没有公共点12.(2021辽宁沈阳期中)某房地产建筑公司在挖掘地基时,出土了一件宋代文物,该文物外面是红色透明蓝田玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图)由半椭圆C1:x2a2+y2b

5、2=1(x0)与半椭圆C2:x2c2+y2d2=1(xbc0,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是轴截面与x,y轴的交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线x2+y2=4为边界,F1,F2在宝珠珠面上,F0F1F2为等边三角形,则以下命题中正确的是()A.椭圆C1的离心率是217B.椭圆C2的离心率大于椭圆C1的离心率C.椭圆C2的焦点在y轴上D.椭圆C2的长短轴之比大于椭圆C1的长短轴之比三、填空题.13.抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.14.(2021宁夏银川期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e,F1,F2分

6、别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得F1PF2是钝角,则满足条件e的范围是.15.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为,|AB|=.16.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程:|x2+8x+20x2-8x+20|=4的解为.四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设A,B分别是双曲线x225y22

7、0=1两条渐近线上的动点,且|AB|=25,设O为坐标原点,动点P满足OP=OA+OB,求动点P的轨迹方程.18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为23,且过点P3,12.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若MF2=3F2N,求直线l的方程.19.(2021四川雅安期末)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当F1PF2=60时,PF1F2的面积为483,求此双曲

8、线的方程.20.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.21.从椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.(1)求椭圆的离心率;(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求F1QF2的取值范围.22.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离

9、心率为22,点(2,2)在C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1l2,与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长|MN|为定值.第三章综合训练1.D由椭圆M:x2+y24=经过点(1,2)可得=2,即椭圆方程为x22+y28=1,则a=22,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=42.2.C因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).故选C.3.C由题意得m3=23,m=4,则双曲线的焦距为29+

10、m=213.4.A根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.故选A.5.A由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,a=3,c=4.b=c2-a2=7.a+b=3+7.故选A.6.B设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20,y10,y20.由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.根据抛物线的定义得,|FA|=

11、x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2.因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,由得x2=1(x2=-2舍去),所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=223.7.A|OF2|=b2-c2=12,|OF0|=c=3|OF2|=32,b=1,a2=b2+c2=74,得a=72,即a=72,b=1.8.C由题意,知a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,所以直线截椭圆的弦长d=52a4-5a25a2-5=23a,解得a2=112,b2=12.9.ACD当4,

12、34时,sin22,1,cos-22,22,可得方程x2sin+y2cos=1表示的曲线可以是椭圆(sin0,cos0),也可以是双曲线(sin0,cos0,b0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5,如果离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为x216y29=1,A正确;c=5,如果双曲线过点5,94,可得25=a2+b2,25a2-8116b2=1,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216y29=1,所以B正确;c=5,如果渐近线方程为3x4y=0,可得ba=34,a2+b2=25,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216y29=1

13、,所以C正确;c=5,如果实轴长为4,可得a=2,b=21,双曲线C的方程为x24y221=1,所以D不正确.故选ABC.11.BD对于A,点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),将(-x,y)代入x2-2xy=a,可得x2+2xy=a,故选项A错误;对于B,点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),将(-x,-y)代入x2-2xy=a,可得x2-2xy=a,故选项B正确;对于C,若点P(m,n)在曲线C上,则m2-2mn=a,若m=0,则a=0不成立,所以m0,故n=m2a2m,则mn=mm2-a2m=m22a2-a2,故选项C错误;对于D,联立方程组x2-2xy=a,2x-y-a=

14、0,可得3x2-2ax+a=0,当0abc0,可得半椭圆C1的焦点在x轴上,即F0为右焦点,则半椭圆C2的焦点在y轴上,且|d|=b,由宝珠的轴截面以曲线x2+y2=4为边界可知,其形状是一个圆,半径R=2,可得|F1F2|=4,即有d2-c2=4,由F0F1F2为等边三角形可得|OF0|=23,则c=23,即有a2-b2=12,b2-12=4,即b=4,a=27,可得椭圆C1的离心率是2327=217,故A正确;由椭圆C2的离心率为16-124=12217,故B错误;椭圆C2的焦点在y轴上,故C正确;椭圆C2的长、短轴之比为23,椭圆C1的长、短轴之比为72,2390,所以直角三角形P0OF

15、2中,OP0F245,所以P0OOF2,即bc,所以a2-c2c2,即a222,又0e1,所以22e0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+23my-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),=16(m2+1)0恒成立,由韦达定理可得y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4,由MF2=3F2N得y1=-3y2,由可得m=22m=-22舍去.故直线l的方程为y=2x-6.19.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bxay=0,则点F2到渐近线距离为|bc0|b2+a2=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=43a,故所求双曲线的渐近线方

16、程是4x3y=0.(2)因为F1PF2=60,由余弦定理得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2.又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2,由式相减得|PF1|PF2|=4c2-4a2=4b2.根据三角形的面积公式得S=12|PF1|PF2|sin60=344b2=3b2=483,得b2=48.再由(1)中结论得a2=916b2=27,故所求双曲线方程是x227y248=1.20.(1)解抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,

17、0,准线为x=-p2,由抛物线的定义可得,|AF|=4+p2=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x.(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,判别式为16m2+640恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2=y124y224=16,即有x1x2+y1y2=0,则OAOB,则以AB为直径的圆必过坐标原点.21.解(1)依题意知点F1坐标为(-c,0),设M点坐标为(-c,y)(y0).若A点坐标为(-a,0),则B点坐标为(0,-b),则直线AB的斜率k=-ba当A点坐标为(a,0),B点坐标为(

18、0,b)时,同样有k=-ba.则有y-c=-ba,y=bca.又点M在椭圆x2a2+y2b2=1上,c2a2+y2b2=1.由得c2a2=12,ca=22,即椭圆的离心率为22.(2)当点Q与椭圆长轴的端点重合时,F1QF2=0.当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,设|QF1|=m,|QF2|=n,F1QF2=,则m+n=2a,|F1F2|=2c.在F1QF2中,cos=m2+n2-4c22mn=(m+n)2-2mn-2a22mn=a2mn-1a2m+n22-1=0.当且仅当m=n时,等号成立,故当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,0cos1,又(0,),0,2.综上,F1QF2的取值范围是0,2.2

19、2.(1)解由条件可得ca=22,4a2+2b2=1,解得a=22,b=2.所以椭圆的方程为x28+y24=1,“卫星圆”的方程为x2+y2=12.(2)证明当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=22或x=-22,当l1方程为x=22时,此时l1与“卫星圆”交于点(22,2)和(22,-2),此时经过点(22,2),(22,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,所以l1l2,同理,当l1方程为x=-22时,结论相同.所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=43.当l1,l2都有斜率时,设点P

20、(x0,y0),其中x02+y02=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,联立方程组y=tx+(y0-tx0),x28+y24=1,消去y,整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,所以=(64-8x02)t2+16x0y0t+32-8y02=0,所以t1t2=32-8y0264-8x02=32-8(12-x02)64-8x02=-1,所以t1t2=-1,满足条件的两直线l1,l2垂直.所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=43.综合知:因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“卫星圆”于点M,点N,且l1,l2垂直,所以线段MN为“卫星圆”x02+y02=12的直径,所以|MN|=43为定值.