新教材2020-2021学年人教A版数学选择性必修第一册学案：1-1-1　空间向量及其线性运算 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算素养目标定方向 课程标准学法解读1了解空间向量的概念2掌握空间向量的线性运算1了解空间向量的概念(数学抽象)2经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程(逻辑推理)3掌握空间向量线性运算的法则和运算律(数学运算)4掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面(数学抽象)必备知识探新知 知识点1 空间向量的概念1定义：在空间，具有_大小_和_方向_的量叫做空间向量2长度或模：向量的_大小_3表示方法：(1)几何表示法：空间向量用_有向线段_表示；(2)字母表示法：用字

2、母a，b，c，表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或|4几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量_长度为0_的向量叫做零向量记为0单位向量_模为1_的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度_相等_而方向_相反_的向量，叫做a的相反向量，记为a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量规定：对于任意向量a，都有0a相等向量方向_相同_且模_相等_的向量叫做相等向量思考1：单位向量都相等吗？提示：不一定单位向量的模虽然都为1，但是方向各异知识点2 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法ab减法ab数乘当0时，

3、a；当0时，a；当0时，a0运算律交换律：abba；结合律：a(bc)(ab)c，(a)()a；分配律：()aaa，(ab)ab思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变思考3：由数乘a0，可否得出0?提示：不能a00或a0知识点3 共线向量1空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得_ab_2直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把_与向量a平行的非零向量_称为直线l的方向向量思考4：对于空间向量a，b

4、，c，若ab且bc，是否可以得到ac?提示：不能若b0，则对任意向量a，c都有ab且bc思考5：怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？提示：只需证明向量，(不唯一)共线即可知识点4 共面向量1共面向量如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面平行于同一个平面的向量，叫做共面向量2向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_pxayb_思考6：空间中的两个向量是不是共面向量？提示：是空间中的任意两个向量都可以平移到同一个

5、平面内，成为同一平面内的两个向量关键能力攻重难 题型探究题型一空间向量及相关概念的理解典例1给出下列命题：在同一条直线上的单位向量都相等；只有零向量的模等于0；在正方体ABCDA1B1C1D1中，与是相等向量；在空间四边形ABCD中，与是相反向量；在三棱柱ABCA1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个其中正确命题的序号为_解析错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；正确，与的模相等，方向相同；错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；错误，在三棱柱ABCA1B1C1中，与的模一定相

6、等的向量是，一共有5个规律方法空间向量概念的辨析(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的【对点训练】给出下列命题：两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp；空间中任意两个单位向量必相等其中不正确

7、的命题的个数是(C)A1B2C3D4解析当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故错；根据向量相等的定义知不仅需要模相等，而且需要方向相同，故错；根据正方体ABCDA1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，必有，故正确；命题显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错题型二空间向量的线性运算典例2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：；分析根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解解析ab

8、cacbabc规律方法空间向量线性运算的技巧和思路(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果(2)化简空间向量的常用思路分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和走边路：灵活运用空间向量的加法、减

9、法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)【对点训练】(2020山东潍坊学年高二期末)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，设a，b，c，则(B)AabcBabcCabcDabc解析如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，a，b，c，则()abc故选B题型三空间共线向量定理及其应用典例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A1D1上，且2，点F在对角线A1C上，且求证：E，F，B三点共线分析可通过证明与共线来证明E，F，B三点共线证明设a，b，c因为2，所以，所以b，()()abc所以abc又bcaabc，又与有公共点E，E，F，B三点共线规律方法1判

10、断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：ab，b0，则存在唯一实数使ab；若存在唯一实数，使ab，b0，则ab(2)判断向量共线的关键是找到实数2证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线(1)存在实数，使成立(2)对空间任一点O，有t(tR)(3)对空间任一点O，有xy(xy1)【对点训练】如图所示，ABCDABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？解析M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，又，22()2，即与共线题型四空间向量共面定理及其应用典例4已知A，B，C三点不共线，平面

11、ABC外的一点M满足(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内分析要证明三个向量，共面，只需证明存在实数x，y，使xy，证明了三个向量共面，即可说明点M就在平面内解析(1)因为，所以632，所以33(22)()，因此322故向量，共面(2)由(1)知向量，共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内规律方法1证明点P在平面ABC内，可以用xy，也可以用xy，若用xyz，则必须满足xyz12判定三个向量共面一般用pxayb，证明三线共面常用xy，证明四点共面常用xyz(其中xyz1)【对点训练】正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A

12、1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面解析令a，b，c，M、N、P、Q均为棱的中点，ba，ac，abc令，则abc()abc，2，因此向量、共面，四点M、N、P、Q共面易错警示混淆平面向量与空间向量致错典例5已知非零空间向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，那么下列结论正确的是(B)AA，B，C，D四点共线 BA，B，C，D四点共面CA，B，C，D四点不共面 D无法确定错解e1e2，5e15e25，A，B，C，D四点共线故选A辨析在平面向量中，若ab(b0)，则a与b共线；在空间向量中，若abc(b与c不共线)，则a，b，c共面正解由错解知，则，共面从而A，B，C，D四点共面- 9 - 版权所有高考资源网