新教材2020-2021学年人教B版数学必修第四册学案：11-4-2 平面与平面垂直 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。11.4.2平面与平面垂直新课程标准学业水平要求1.借助长方体,通过直观感知,了解平面与平面垂直的关系,并归纳出面面垂直的判定与性质定理.2.能运用直观感觉、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的命题.水平一1.能够了解用数学语言表达的面面垂直的判定与性质定理.(数学抽象)2.了解面面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系.(逻辑推理)3.掌握一些基本命题的证明,并有条理地表述论证过程.(逻辑推理)水平二对于一些基本命题,能选择合适的论证方法表述论证过程,能

2、够通过举反例说明某些数学结论不成立.(逻辑推理)必备知识自主学习导思1.二面角、二面角的平面角是怎样定义的?怎么求二面角的大小?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?3.两平面垂直的性质定理是什么?1.二面角(1)二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.(2)图示与记法图示记法二面角-l-或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q(3)二面角的平面角定义图示在二面角-l-的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角(1)在二面角的定义中,根据“从一条直线出

3、发的两个半平面”,想一想,能否用运动的观点定义二面角?提示:二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.(2)二面角的平面角的定义中,“棱l上”、“在半平面和内”、“垂直于棱”可以缺少一个吗?提示:这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不可.实际上,二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.2.平面与平面垂直(1)两个平面垂直的定义如果两个平面与所成角的大小为90,则称这两个平面互相垂直,记作.(2)画法:两个互

4、相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.(3)面面垂直的判定定理判定定理符号表示图示如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直如果l,l,则(4)面面垂直的性质定理性质定理符号表示图示如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面如果,=m,AO,AOm,则AO(1)由面面垂直的定义中“直二面角”可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系?提示:作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直,反之,由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化.(2)由面面垂直的判定定理中“l,l

5、”,可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系?提示:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此证明面面垂直可转化为证明线面垂直.(3)性质定理中若去掉在一个平面内即“AO”,定理是否成立?提示:不一定成立,如图,a,这时也有al,但a与不垂直.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.()(3)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直.()(4)如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线,则.()提示:(1).由二面角的定义:从一

6、条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以(1)不对,实质上它共有四个二面角.(2).对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.(3).不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.(4).如图所示,长方体中平面内有一条直线l垂直于平面内的一条直线m,但是平面与平面不垂直.2.空间四边形ABCD中,若ADBC,BDAD,那么有()A.平面ABC平面ADCB.平面ABC平面AD

7、BC.平面ABC平面DBCD.平面ADC平面DBC【解析】选D.因为ADBC,ADBD,BCBD=B,所以AD平面BCD.又因为AD平面ADC,所以平面ADC平面DBC.3.(教材二次开发:例题改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,二面角C1-BD-C的大小为.【解析】如图,连接AC交BD于点O,连接C1O.因为C1D=C1B,O为BD中点,所以C1OBD.因为ACBD,所以C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在RtC1CO中,C1C=,可以计算出C1O=2,所以sinC1OC=.所以C1OC=30.答案:30关键能力合作学习类型一二面角的概念及大小的计算(

8、数学运算、直观想象)【典例】如图所示,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.【思路导引】一方面借助侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为,求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,并解直角三角形求正切值.【解析】取AD中点M,连接MO,PM,因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OD,所以OMAD,因为PO底面ABCD,所以POA=POD=90,所以POAPOD,所以PA=PD,所以PMAD,所以PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角

9、的平面角,因为PO底面ABCD,所以PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角,所以tanPAO=,设正方形ABCD的边长为a,则AO=a,所以PO=AOtanPAO=a=a,所以tanPMO=,所以PMO=60.故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是60.将本例的条件“侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为”改为“底面边长为a,E是PC的中点.若二面角E-BD-C为30”,求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】取OC的中点F,连接EF,OE,如图所示,因为E为PC的中点,所以EF为POC的中位线,所以EFPO,因为PO底面ABCD,所以EF底面ABCD,BD平面ABCD,所以EFBD,因为OF

10、BD,EFBD,OFEF=F,所以BD平面EOF,OE平面EOF,所以BDOE,所以EOF为二面角E-BD-C的平面角,所以EOF=30,因为OF=OC=AC=a,所以在RtEOF中,EF=OFtan 30=a,所以OP=2EF=a,故VP-ABCD=a2a=a3.1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.2.作二面角的平面角的方法方法一:(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,AOB为二面角-a-的平面角.方法二:(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图

11、所示,AFE为二面角A-BC-D的平面角.方法三:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图所示,AOB为二面角-l-的平面角.提醒:二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值.【解析】取A1C1的中点O,连接B1O,BO.由题意知B1OA1C1,又BA1=BC1,O为A1C1的中点,所以BOA1C1,所以BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角.因为BB1平面A1B1C1D1,OB1平面A1B

12、1C1D1,所以BB1OB1.设正方体的棱长为a,则OB1=a,在RtBB1O中tanBOB1=.所以二面角B-A1C1-B1的正切值为.2.如图所示,在ABC中,ABBC,SA平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.【解析】因为E为SC的中点,且SB=BC,所以BESC.又DESC,BEDE=E,所以SC平面BDE,所以BDSC.又SA平面ABC,可得SABD,因为SCSA=S,所以BD平面SAC,从而BDAC,BDDE,所以EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=AB=1,在ABC中,因为ABBC,所以SB=BC

13、=,AC=,所以SC=2.在RtSAC中,DCS=30,所以EDC=60,即二面角E-BD-C为60.【补偿训练】1.如图所示的二面角可记为()A.-lB.M-l-NC.l-M-ND.l-【解析】选B.根据二面角的记法规则可知B正确.2.如图,AC平面BCD,BDCD,AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.【解析】因为AC平面BCD,BD平面BCD,所以BDAC.又因为BDCD,ACCD=C,所以BD平面ACD.因为AD平面ACD,所以ADBD,所以ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在RtACD中,AC=AD,所以ADC=30.即平面ABD与平面BCD所成的

14、二面角的大小为30.类型二平面与平面垂直的判定(逻辑推理、直观想象)【典例】1.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有.2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,证明:平面BDD1B1平面A1C1CA.【思路导引】1.分这两点的连线与平面之间的关系讨论,得出不同的结论.2.依据题目条件,要证平面BDD1B1平面A1C1CA,只要证BD平面A1C1CA.【解析】1.设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与垂直,此时有无数个平面与垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一一个平面与垂直.答案:1个或无

15、数个2.由于四边形BB1D1D是矩形,所以BDB1B.又A1AB1B,所以BDA1A.又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,所以BDAC.因为ACA1A=A,所以BD平面A1C1CA.因为BD平面BDD1B1,所以平面BDD1B1平面A1C1CA.证明平面与平面垂直的两个常用方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:找出两相交平面的平面角;证明这个平面角是直角;根据定义,这两个相交平面互相垂直.(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:1.已知直线l

16、平面,则经过l且和垂直的平面()A.有一个B.有两个C.有无数个D.不存在【解析】选C.经过l的任一平面都和垂直.2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)DE平面A1C1F.(2)平面B1DE平面A1C1F.【证明】(1)因为D,E分别是AB,BC的中点,所以DEAC,又ACA1C1,所以DEA1C1,又因为A1C1平面A1C1F,且DE平面A1C1F,所以DE平面A1C1F.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1平面A1B1C1,所以AA1A1C1.又因为A1C1A1B1,且AA

17、1A1B1=A1,AA1,A1B1平面AA1B1B,所以A1C1平面AA1B1B,所以A1C1B1D,又A1FB1D,A1FA1C1=A1,所以B1D平面A1C1F,又因为B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.【补偿训练】1.如图所示,在四面体ABCS中,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.求证:平面ABC平面SBC.【证明】方法一:(利用定义证明)因为BSA=CSA=60,SA=SB=SC,所以ASB和ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则A

18、DBC,SDBC,所以ADS为二面角A-BC-S的平面角.在RtBSC中,因为SB=SC=a,所以SD=a,BD=a.在RtABD中,AD=a,在ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以ADS=90,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC平面SBC.方法二:(利用判定定理)因为SA=SB=SC,且BSA=CSA=60,所以SA=AB=AC,所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心.因为SBC为直角三角形,所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点,所以AD平面SBC.又因为AD平面ABC,所以平面ABC平面SBC.2.如图所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC平面ABCD,E是P

19、A的中点,求证:平面BDE平面ABCD.【证明】连接AC,设ACBD=O,连接OE.因为O为AC中点,E为PA的中点,所以EO是PAC的中位线,所以EOPC.因为PC平面ABCD,所以EO平面ABCD.又因为EO平面BDE,所以平面BDE平面ABCD.类型三面面垂直性质定理的应用(逻辑推理、直观想象)【典例】1.如图,在多边形PABCD中,ADBC,ABAD, PA=AB=AD=2BC,PAD=60,M是线段PD上的一点,且DM=2MP,若将PAD沿AD折起,得到几何体P-ABCD.(1)证明:PB平面AMC.(2)若BC=1,且平面PAD平面ABCD,求三棱锥P-ACM的体积.2.如图,在四

20、棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD.(1)求证:DC平面PAD.(2)求证:平面PAB平面PCD.【思路导引】1.(1)用线面平行的判定定理证明.(2)一方面要注意由平面PAD平面ABCD推出BA平面PAD;另一方面要注意VP-ACM=VC-PAM.2.(1)依据平面PAD平面ABCD和ADDC证明;(2)转化为证明PA平面PCD.【解析】1.(1)连接BD,交AC于点O,连接MO.因为ADBC,所以BCO DAO, 因为AD=2BC ,所以DO=2BO,因为DM=2MP , 所以PBMO,因为PB 平面AMC,MO平面AMC,所以PB 平面AMC.(2)

21、因为 平面 PAD平面ABCD,平面PAD 平面 ABCD=AD ,AB 平面ABCD, ABAD ,所以BA平面PAD.因为BCAD ,BC 平面PAD, AD 平面PAD,所以BC平面PAD,则三棱锥 C-PAM 的高等于点B到平面PAD的距离,即BA=2 ,因为SPAM=SPAD=APADsin60=,所以VP-ACM=VC-PAM=SPAMBA=.2.(1)因为底面ABCD是矩形,所以ADDC,又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,且DC平面ABCD,所以DC平面PAD.(2)由(1)得DC平面PAD.又因为PA平面PAD,所以DCPA,又因为PAPD,DCPD=

22、D,所以PA平面PCD,又PA平面PAB,所以平面PAB平面PCD.1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直.(2)三个注意点:两个平面垂直,是前提条件;直线必须在其中一个平面内;直线必须垂直于它们的交线.2.证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理;(3)若ab,a,则b(a,b为直线,为平面);(4)若a,则a(a为直线,为平面).3.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发

23、生变化,这是解决这类问题的关键.(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况,注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.如图,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB底面ABCD,又VB平面VAD.求证:平面VBC平面VAC.【证明】因为平面VAB平面ABCD,且BCAB,平面VAB平面ABCD=AB,BC平面ABCD.所以BC平面VAB,又VA平面VAB,所以BCVA,又VB平面VAD,所以VBVA,又VBBC=B,所以VA平面VBC,因为VA平面VAC,所以平面VBC平面VAC.【补偿训练】如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,平面PAB平

24、面PBC.求证:BCAB.【证明】如图,在平面PAB内,作ADPB于点D.因为平面PAB平面PBC,且平面PAB平面PBC=PB,ADPB,AD平面PAB,所以AD平面PBC.又BC平面PBC,所以ADBC.又因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,又因为PAAD=A,所以BC平面PAB.又AB平面PAB,所以BCAB.备选类型垂直关系的综合应用(逻辑推理、直观想象)【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,N是PB的中点,过A,D,N三点的平面交PC于M,E为AD的中点.求证:(1)EN平面PDC;

25、(2)BC平面PEB;(3)平面PBC平面ADMN.【思路导引】(1)证明ENDM;(2)由ADBC可证AD平面PEB;(3)利用(2)可证PB平面ADMN.【证明】(1)因为ADBC,BC平面PBC,AD平面PBC,所以AD平面PBC.又因为平面ADMN平面PBC=MN,所以ADMN.又因为BCAD,所以MNBC.又因为N是PB的中点,所以点M为PC的中点.所以MNBC且MN=BC,又因为E为AD的中点,所以MNDE,且MN=DE.所以四边形DENM为平行四边形.所以ENDM,且EN平面PDC,DM平面PDC.所以EN平面PDC.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,且BAD=60,所以

26、BEAD.又因为侧面PAD是正三角形,且E为AD中点,所以PEAD,因为BEPE=E,所以AD平面PBE.又因为ADBC,所以BC平面PEB.(3)由(2)知AD平面PBE,又PB平面PBE,所以ADPB.又因为PA=AB,N为PB的中点,所以ANPB,且ANAD=A,所以PB平面ADMN.又因为PB平面PBC,所以平面PBC平面ADMN.线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直,转化为证线面垂直;证线面垂直转化为证线线垂直.(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由

27、此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,AB=BC,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC.【证明】(1)因为PAAB,PABC,ABBC=B,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,又ACPA=A,所以BD平面PAC.因为BD平面BDE,所以平面BDE平面PAC.课堂检测素养达标1.下列说法中,错误的是()A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平

28、行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】选D.如果平面平面,那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面,其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直,故D错误.2.如图,AB是圆的直径,PAAC,PABC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为()A.PACB.CPAC.PCAD.CAB【解析】选C.因为AB为圆的直径,所以ACBC.因为PABC,ACPA=A,所以BC平面PAC.所以BCPC.所以PCA为二面角P-BC-A的平面角.3.(教材

29、二次开发:练习改编)下列四个说法中,正确的序号有.,则;,则;,则;,则. 【解析】不正确,如图所示,但,相交且不垂直.答案:4.如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是.【解析】如图,因为OAOB,OAOC,OB,OC且OBOC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA.又OA,根据面面垂直的判定定理,可得.答案:面面垂直的判定定理5.如图所示,三棱锥P-ABC中,已知ABC是等腰直角三角形,ABC=90,PAC是直角三角形,PAC=90,平面PAC平面ABC.求证:平面PAB平面PB

30、C.【证明】因为平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PAAC,所以PA平面ABC.又BC平面ABC,所以PABC.又因为ABBC,ABPA=A,AB平面PAB,PA平面PAB,所以BC平面PAB.又BC平面PBC,所以平面PAB平面PBC.课时素养评价十九平面与平面垂直(15分钟30分)1.对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是()A.mn,m,nB.mn,nC.mn,n,mD.mn,m,n【解析】选C.因为n,mn,所以m,又m,由面面垂直的判定定理,得.2.如图所示,四边形ABCD是矩形,PA平面ABCD,则图中互相垂直的平面共有()A.3对B.4对C.5对D.6对【解析】

31、选D.因为PA平面ABCD,且PA平面PAB,PA平面PAD,PA平面PAC,所以平面PAB和平面PAC和平面PAD都与平面ABCD垂直,又ADPA,ADAB,所以AD平面PAB,又AD平面PAD,所以平面PAB平面PAD,同理可证平面PBC平面PAB,平面PCD平面PAD.3.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则【解析】选D.A中,m,n可能为平行、垂直、异面直线;B中,m,n可能为异面直线;C中,m应与中两条相交直线垂直时结论才成立.4.矩形ABCD的两边AB=3,AD=4

32、,PA平面ABCD,且PA=,则二面角A-BD-P的度数为()A.30B.45C.60D.120【解析】选A.过A作AEBD,连接PE,则AEP为所求角.由AB=3,AD=4知BD=5.又ABAD=BDAE,所以AE=,所以tanAEP=.所以AEP=30.5.如图所示,平面平面,在与交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面和内,ACAB,BDAB,AC=3,BD=12,则CD=.【解析】连接BC.因为BDAB,=AB,所以BD.因为BC,所以BDBC,所以CBD是直角三角形.在RtBAC中,BC=5.在RtCBD中,CD=13.答案:136.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中

33、,E为棱CC1上的动点.(1)求证:A1EBD.(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD平面EBD.【解题指南】(1)欲证A1EBD,只需证明BD垂直A1E所在平面即可.(2)要证平面A1BD平面EBD,只需求出二面角为直二面角即可,或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面.【证明】连接AC,设ACDB=O,连接A1O,OE,(1)因为AA1底面ABCD,所以BDA1A,又BDAC,A1AAC=A,所以BD平面ACEA1,因为A1E平面ACEA1,所以A1EBD.(2)在等边三角形A1BD中,BDA1O,因为BD平面ACEA1,OE平面ACEA1,所以BDOE,所以A1OE为二面角A

34、1-BD-E的平面角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设棱长为2a,因为E为棱CC1的中点,由平面几何知识,得EO=a,A1O=a,A1E=3a,满足A1E2=A1O2+EO2,所以A1OE=90,即平面A1BD平面EBD.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是()A.l,m,且lmB.l,m,n,且lm,lnC.m,n,mn,且lmD.l,lm,且m【解析】选D.A选项,l,m,且lm,如图1,不垂直;B选项,l,m,n,且lm,ln,如图2,不垂直;C选项,m,n,mn,且lm,直线l没有确定,则,的关

35、系也不能确定;D选项,l,lm,且m,则必有l,根据面面垂直的判定定理知,.2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将ABE,DCE翻折,使得点A,D重合于F,此时二面角E -BC -F的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.取BC的中点O,连接OE,OF,因为BA=CD,所以BF=FC,即三角形BFC是等腰三角形,则FOBC,因为BE=CE,所以BEC是等腰三角形,所以EOBC,则FOE是二面角E -BC -F的平面角,因为EFCF,BFEF,所以EF平面BCF,EFFO,则直角三角形EFO中,OE=AB=2,EF=DE=,所以OF=,则cos

36、FOE=.3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是AB,AD,AA1的中点,又P,Q分别在线段A1B1,A1D1上,且A1P=A1Q=m(0ma),设平面MEF平面MPQ=l,则下列结论中不成立的是()A.l平面BDD1B1B.lMCC.当m=时,平面MPQMEFD.当m变化时,直线l的位置不变【解析】选C.因为A1P=A1Q=m,所以PQB1D1,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD,所以PQEF,因为平面MEF平面MPQ=l,所以PQEFl.选项A,D显然成立;因为BDEFl,BD平面ACC1A1,所以l平面ACC1A1,因为MC平面ACC1A1,所以

37、lMC,所以B选项成立;易知AC1平面MEF,A1C平面MPQ,而直线AC1与A1C不垂直,所以C项不成立.4.如图,AB是圆锥SO的底面圆O的直径,D是圆O上异于A,B的任意一点,以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:SAC为直角三角形;平面SAD平面SBD;平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.因为SO底面圆O,所以SOAC,C在以AO为直径的圆上,所以ACOC,因为OCSO=O,所以AC平面SOC,ACSC,即SAC为直角三角形,故正确;假设平面SAD平面SBD,在平面SAD中过A作AHSD交

38、SD于H,则AH平面SBD,所以AHBD,又因为BDAD,所以BD平面SAD,又COBD,所以CO平面SAD,所以COSC,又在SOC中,SOOC,在一个三角形内不可能有两个直角,故平面SAD平面SBD不成立,故错误;连接DO并延长交圆于E,连接PO,SE,因为P为SD的中点,O为ED的中点,所以OP是SDE的中位线,所以POSE,即SE平面APB,即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行,故正确.故正确的是.【补偿训练】如图,BC为圆O的直径,D为圆周上异于B,C的一点,AB垂直于圆O所在的平面,BEAC于点E,BFAD于点F.给出以下命题:BFDE;BECD;平面ABD平面ACD;平面BEF

39、平面ACD.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由题可知,AB平面BCD,则有ABCD,且CDBD,可得CD平面ABD,又CD平面ACD,得:平面ABD平面ACD,故正确;由CD平面ABD,得CDBF,又BFAD,得BF平面ACD,又DE平面ACD,所以BFDE,故正确;由BF平面ACD,BF平面BEF,得平面BEF平面ACD,故正确;不正确的是BECD.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知直线l,m,平面,且l,m,下列四个命题中正确命题是()A.若,则lmB.若lm,则C.若,则lmD.若lm,则【解析】选

40、AD.A选项,若,因为l,则l,又因为m,所以lm.故A正确;B选项,举反例,当=m时,满足l,m,lm,故B错;C选项,举反例,当=m时,满足l,m,则lm,故C错;D选项,若lm,则m,因为m,所以,D正确.【补偿训练】 (多选题)已知两条直线l,m及三个平面,下列条件中能推出的是()A.l,lB.l,m,lmC.,D.l,m,lm【解析】选ABC.由如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A正确;选项B显然正确;由如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面,那么另一个平面也垂直这个平面知选项C正确;D选项与可能平行.6.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E

41、,F分别是D1B,A1C上不重合的两个动点,下列四个结论中正确的是()A.CED1FB.平面AFD平面B1EC1C.AB1EFD.平面AED平面ABB1A1【解析】选CD.A选项,如图,在D1B,A1C上分别取点E,F,因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,则四边形A1BCD1为矩形,因为FD1C+ECD1A1D1C+BCD1=180,所以CE与D1F不平行,故A错误;B选项,不妨取F与A1重合,E与O重合,此时平面AFD与平面B1EC1相交,故B错误;C选项,AB1A1B,AB1BC,且A1BBC=B,则AB1平面A1BCD1,则AB1EF,故C正确;D选项,AD平面ABB1A1,而AD平

42、面AED,则平面AED平面ABB1A1,故D正确.【补偿训练】(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下面四个结论中正确的是()A.BC平面AGFB.EG平面ABFC.平面AEF平面BCDD.平面ABF平面BCD【解析】选ABD.如图所示.A选项,因为F,G分别是CD,DB的中点,所以GFBC,则BC平面AGF,故A正确;B选项,因为E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,所以CDAF,CDBF,即CD平面ABF,因为EGCD,所以EG平面ABF,故B正确;D选项,因为CD平面ABF,CD平面BCD,所以平面ABF平面BCD,故D正确;只有C错误.三、填空题(每

43、小题5分,共10分)7.已知正方形ABCD的边长为1,将ADC沿对角线AC折起,若折叠后平面ACD平面ACB,则此时AC与BD所成角的大小是,点B,D之间的距离是.【解析】如图所示,取AC的中点O,连接OB,OD.因为DA=DC,BA=BC,O为AC的中点,所以DOAC,BOAC,又DOBO=O,所以AC平面BOD,又BD平面BOD,所以ACBD,即此时AC与BD所成的角是90.因为平面ACD平面ACB,平面ACD平面ACB=AC,DOAC,所以DO平面ABC,所以DOOB,又OB=OD=AC=,所以BD=1.答案:901【补偿训练】如图所示,A,B,C,D为空间四点,在ABC中,AB=2,A

44、C=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB平面ABC时,CD=.【解析】取AB的中点E,连接DE,CE.因为ADB是等边三角形,所以DEAB.当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABC=AB,且DEAB,所以DE平面ABC,故DECE.由已知可得DE=,EC=1,在RtDEC中,CD=2.答案:28.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足条件BMDM,DMPC,BMPC中的时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).【解析】因为PA底面ABCD,所以PABD,因为底面各边都相等,所以AC

45、BD,因为PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC,所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:(或)四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC,设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点.(1)求证:DF平面ABC.(2)求证:AFBD.(3)求平面BDF与平面ABC所成的较小二面角的大小.【解析】(1)如图所示,取AB中点G,连接CG,FG.因为EF=FB,AG=GB,所以FGEA,且FG=EA,又DCEA,且DC=EA,所以FGDC,且FG=DC,所以四边形CDF

46、G为平行四边形,所以DFCG,因为DF平面ABC,CG平面ABC,所以DF平面ABC.(2)因为 EA平面ABC,所以EACG.又ABC 是正三角形,G是AB的中点,所以CGAB.又EAAB=A,所以CG平面AEB.又因为DFCG,所以DF平面AEB.所以DFAF.因为AE=AB,EF=FB,所以AFBE,又BEDF=F,所以AF平面BED, 所以AFBD.(3)延长ED交AC延长线于G,连接BG.由DCEA,且DC=EA知,D为EG的中点,所以FDBG.又CG平面ABE, FDCG,所以BG平面ABE.所以EBA为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB中,可得EBA=45.所以平面BDE

47、与平面ABC所成的较小二面角是45.10.已知BCD中,BCD=90,BC=CD=1,AB平面BCD,ADB=60,E,F分别是AC,AD上的动点,且=(01).(1)求证:不论为何值,总有平面BEF平面ABC;(2)当为何值时,平面BEF平面ACD.【解析】 (1)因为AB平面BCD,所以ABCD.因为CDBC,且ABBC=B,所以CD平面ABC.又=(01),所以不论为何值,恒有EFCD,所以EF平面ABC,又EF平面BEF,所以不论为何值,恒有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知,EFBE,又平面BEF平面ACD,所以BE平面ACD,所以BEAC.因为BC=CD=1,BCD=90,AD

48、B=60,AB平面BCD,所以BD=,AB=tan 60=,所以AC=,由AB2=AEAC得AE=,所以=,故当=时,平面BEF平面ACD.【补偿训练】 (2018全国卷)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.【解析】(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)

49、存在,AM的中点即为符合题意的点P.证明如下:取AM的中点P,连接AC,BD交于点N,连接PN.因为四边形ABCD是矩形,所以N是AC的中点,在ACM中,点P,N分别是AM,AC的中点,所以PNMC,又因为PN平面PBD,MC平面PBD,所以MC平面PBD,所以,在线段AM上存在点P,即AM的中点,使得MC平面PBD.1.如图所示,在直角梯形BCEF中,CBF=BCE=90,A,D分别是BF,CE上的点,ADBC,且AB=DE=2BC=2AF(如图).将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图).在折起的过程中,则下列表述:AC平面BEF;四点B,C,E,F可能共面;若EFCF,则

50、平面ADEF平面ABCD;平面BCE与平面BEF可能垂直.其中正确的是.【解析】对于,连接AC,BD交于点M,取BE的中点N,连接MN,FN,如图所示.则AF=DE且AFDE,四边形ABCD是矩形,且ACBD=M,所以M为BD的中点,因为N为BE的中点,所以MNDE且MN=DE,所以MNAF且MN=AF,所以四边形AFNM为平行四边形,所以AMFN,即ACFN,因为AC平面BEF,FN平面BEF,所以AC平面BEF,正确;对于,因为BCAD,BC平面ADEF,AD平面ADEF,所以BC平面ADEF,若四点B,C,E,F共面,则这四点可确定平面,则BC,平面平面ADEF=EF,由线面平行的性质定

51、理可得BCEF,则EFAD,但四边形ADEF为梯形且AD,EF为两腰,AD与EF相交,矛盾.所以错误;对于,连接DF,CF,设AD=AF=a,则DE=2a,在RtADF中,AD=AF=a,DAF=,则ADF为等腰直角三角形,且AFD=ADF=,DF=a,所以EDF=,且DE=2a,由余弦定理得EF2=DE2+DF2-2DEDFcosEDF=2a2,所以DF2+EF2=DE2,所以DFEF,又因为EFCF,DFCF=F,所以EF平面CDF,因为CD平面CDF,所以CDEF,因为CDAD,AD,EF为平面ADEF内的两条相交直线,所以,CD平面ADEF,因为CD平面ABCD,所以平面ADEF平面A

52、BCD,正确;对于,假设平面BCE与平面BEF垂直,过点F在平面BEF内作FGBE,因为平面BCE平面BEF,平面BCE平面BEF=BE,FGBE,FG平面BEF,所以FG平面BCE,因为BC平面BCE,所以BCFG,因为ADAB,ADAF,BCAD,所以BCAB,BCAF,又因为ABAF=A,所以BC平面ABF,因为BF平面ABF,所以BCBF.因为FGBF=F,所以BC平面BEF,因为EF平面BEF,所以BCEF.因为ADBC,所以EFAD,显然EF与AD不垂直,错误.答案:【补偿训练】如图,在梯形ABCD中,ADBC,AD=AB=1,ADAB,BCD=45,将ABD沿对角线BD折起.设折

53、起后点A的位置为A,并且平面ABD平面BCD.给出下面四个结论:ADBC;三棱锥A-BCD的体积为;CD平面ABD;平面ABC平面ADC.其中正确的序号是.【解析】因为ADBC,AD=AB=1,ADAB,所以ADB=ABD=45,又因为BCD=45,所以CDBD,又因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,所以CDAD,若ADBC,则AD平面BCD,显然不成立,故错误,正确.因为AD=AB=1,所以BD=,CD=BD=,所以VA-BCD=VC-ABD=SABDCD=11=,故错误.因为CD平面ABD,所以CDAB,又ABAD,ADCD=D,所以AB平面CDA,又

54、AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC,故正确.答案:2.中秋节即将到来,为了做好中秋节商场促销活动,某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰SEE,SFF,SGG,SHH,再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH,其中A,B,C,D重合于点O,E与E重合,F与F重合,G与G重合,H与H重合(如图所示).(1)求证:平面SEG平面SFH.(2)已知AE=,过点O作OMSH交SH于点M,求cosEMO的值.【解析】(1)连接SO.因为折后A,B,C,D重合于一点O,所以拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形,所以底面EFGH是正方形,故EGFH,因为在原平面图形中,SEESGG,所以SE=SG,所以EGSO,又因为FHSO=O,FH平面SFH,SO平面SFH,所以EG平面SFH,又因为EG平面SEG,所以平面SEG平面SFH.(2)依题意,当AE=时,即OE=OH=,RtSHO中,SH=,SO=5,所以OM=,在RtEMO中,EM=,所以cosEMO=.关闭Word文档返回原板块