新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6-2-4 第2课时　向量的数量积的运算律 WORD版含解析.doc

1、第2课时向量的数量积的运算律目标 1.了解数量积的运算律；2.会用向量数量积的公式解决相关问题重点 会用向量数量积的公式解决相关问题难点 会用向量数量积的公式解决相关问题 要点整合夯基础 知识点一向量的数量积的运算律填一填已知向量a，b，c和实数，有：(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.答一答1对于向量a，b，c，等式(ab)c(bc)a一定成立吗？提示：不一定成立若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而(bc)a0时，其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一定相同，故该等式不一定成立2若abac(a0)，则一定有bc吗？提示：不一定可能有 a(bc)成立

2、知识点二向量的数量积的综合应用填一填设a、b都是非零向量，它们的夹角是，则(1)cos；(2)abab0；(3)|a|.答一答3对于向量a，b，等式|ab|一定成立吗？提示：成立. 典例讲练破题型 类型一向量的数量积的运算律例1已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，试求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(2ab)(a3b)分析根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可解(1)ab|a|b|cos12023()3.(2)(ab)(ab)a2ababb2a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a26abab3b22|a|25ab3|b|224

3、533934.求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.变式训练1已知向量a与b的夹角为，且|a|，|b|2，则a(2ab)等于2.解析：a(2ab)2a2ab422.类型二向量的模例2已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|1，则|a3b|_.分析利用模的公式和数量积的运算律进行求解解析因为ab0，|a|1，|b|1，所以|a3b|.答案(1)要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.(2)已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求

4、目标的方程求解.变式训练2已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos，若向量a3e12e2，则|a|3.解析：因为a2(3e12e2)29232cos49，所以|a|3.类型三向量的夹角例3已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A.B.C. D.分析利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解解析设a，b夹角为，由题意，得a(2ab)2a2ab0，即ab2a2，所以cos，所以.答案C变式训练3设两个向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由向量2te17e2与e1te2的

5、夹角为钝角，得cos0，(2te17e2)(e1te2)0，化简得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角设2te17e2(e1te2)，0，则.所求实数t的取值范围是(7，)(，)类型四向量垂直的判定例4已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？分析利用向量垂直的性质，由(kab)(a2b)0可求出解(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0，ka2(2k1)ab2b20，k52(2k1)54cos602420，k，即k为时，向量kab与向量a2b垂直解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a

6、b,ab0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.变式训练4P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的(D)A外心B内心C重心D垂心解析：由得()0，即0，PBCA.同理PABC，PCAB，P为ABC的垂心类型五向量数量积的综合应用例5在ABC中，c，a，b，且abbcca，试判断ABC的形状分析易知abc0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方后选取两个等式相减，即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系解在ABC中，易知0，即abc0，因此acb，abc，从而两式相减可得b22abc22acc2b2，则2b22(abac)2c2，因为a

7、bcaac，所以2b22c2，即|b|c|.同理可得|a|b|，故|，即ABC是等边三角形依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向.变式训练5若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状为(B)A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：2，于是|，所以|2|2，即0，从而ABAC，故ABC为直角三角形. 课堂达标练经典 1对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是(B)A若ab0，则a0或b0B若a0，则0

8、或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc解析：A中，若ab0，则a0或b0或ab，故A错；C中，若a2b2，则|a|b|，C错；D中，若abac，则可能有ab，ac，但bc，故只有选项B正确，故选B.2若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则|a|(C)A2 B4C6 D12解析：(a2b)(a3b)72，a2ab6b272.|a|2|a|b|cos606|b|272.|a|22|a|240.又|a|0，|a|6.3已知平面上三点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值等于(A)A25 B20C15 D10解析：0，|2|2|2|2222916252()0，2

9、5.4设a与b的模分别为4和3，夹角为60，则|ab|.解析：|ab|.5已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)cd；(2)|c2d|.解：(1)因为向量a与b的夹角为60.|a|2，|b|1，所以ab|a|b|cos601，因为c2ab，da2b，所以cd(2ab)(a2b)2a23ab2b22|a|2312|b|222232129.(2)因为c2d(2ab)2(a2b)4a3b，(c2d)2(4a3b)216a224ab9b216|a|22419|b|216222419197，所以|c2d|297，所以|c2d|.本课须掌握的三大问题1数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，两者一般不同2在实数中，若ab0则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos有可能为0.3在实数中，若abbc，b0则ac，在向量中abbc，b0/ ac.