2022届高考数学一轮复习 核心素养测评 第5章 5.3 平面向量的数量积及平面向量的应用（含解析）新人教B版.doc

1、核心素养测评 二十七平面向量的数量积及平面向量的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若ab=1,则x=()A.-1B.-C.D.1【解析】选D.ab=12+(-1)x=2-x=1,所以x=1.2.(2020十堰模拟)若夹角为的向量a与b满足|b|=|a-b|=1,且向量a为非零向量,则|a|=()A.-2cos B.2cos C.-cos D.cos 【解析】选B.因为|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-2ab+b2,a2=2ab,|a|2=2|a|b|cos ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cos =2cos .3

2、.(多选)在直角坐标平面上,=(1,4),=(-3,1),且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等,则直线l的斜率k的值为()A.-B. C. - D.【解析】选BC.设直线l的一个方向向量为v=(1,k),由题意可得=,所以|1+4k|=|-3+k|,解得k=或-.4.(2019广州模拟)已知非零向量a,b的夹角为60,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于()A.4B.2C.D.1【解析】选D.因为|a-2b|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4ab+4b2=4,4-42|b|cos 60+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.(2020山东新高考模拟)设向量a=(1

3、,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-b)c,则=()A.3B.2C.-2D.-3【解析】选A.由题,得a-b=(1+,1-3),由(a-b)c,从而2(1+)+1(1-3)=0,解得=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则ab+bc+ac=_.【解析】因为=120,|a|=|b|=|c|=1,所以ab=bc=ac=11cos 120=-,ab+bc+ac=-.答案:-7.已知向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m(m+n),则向量m与n的夹角为_.世纪金榜导学号【解析】设m,n的夹角为,因为m(m+n),所以m(m+n)=m

4、2+mn=1+12cos =0,所以cos =-,又,所以=.答案:【变式备选】已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为_.【解析】设a与b的夹角为.由已知a2-2b2+ab=-2,4-8+4cos =-2,cos =,又0,所以=,即a与b的夹角为.答案:8.设e1,e2为单位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影为2,则ab=_,e1与e2的夹角为_.【解析】设e1,e2的夹角为,因为a在b上的投影为2,所以 =2e1e2+|e2|2=2|e1|e2|cos +1=2,解得cos =,则=.ab=(2e1+e2)e2=2e1e

5、2+|e2|2=2|e1|e2|cos +1=2.答案:2【变式备选】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_.【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则=(t,-1),=(0,-1),所以=(t,-1)(0,-1)=1.因为=(1,0),所以=(t,-1)(1,0)=t1,的最大值为1. 答案:11三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.世纪金榜导学号(1)计算:|a+b|,|4a-2b|.(2)当k

6、为何值时,(a+2b)(k a-b).【解析】由已知ab=48=-16.(1)因为|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,所以|a+b|=4.因为|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=768,所以|4a-2b|=16.(2)因为(a+2b)(ka-b),所以(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0,即16k-16(2k-1)-264=0,k=-7,所以当k=-7时,a+2b与ka-b垂直.10.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边

7、的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.世纪金榜导学号【解析】(1)由已知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.所以所求的两条对角线的长分别为4,2.(2)由已知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-.(15分钟35分)1.(5分)(2020潮州模拟)已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为+1,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.设向量a与b的夹角为,因为向量a、b为单位向量,a+b在

8、a的方向上的投影为+1,所以(a+b)a=|a|,变形得1+ab=+1,即ab=11cos =cos =,又由0,则=,故选A.2.(5分)(2019开封模拟)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当m=2时,a=(1,1),b=(2,-2),所以ab=2-2=0,所以充分性成立;当ab时,ab=m(m-1)-2=0,解得m=2或m=-1,必要性不成立.综上,“m=2”是“ab”的充分不必要条件.3.(5分)在RtABC中,B=90,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在

9、斜边AC上,若=2,则=_.【解析】如图,以B为原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),=(-1,2).因为D为BC的中点,所以D(0,1),因为=2,所以E,=,所以=(-1,2)=-+=.答案:4.(10分)(2020郑州模拟)已知向量m=(2sin x,cos2x-sin2x),n=(cos x,1),其中0,xR.若函数f(x)=mn的最小正周期为.(1)求的值.(2)在ABC中,若f(B)=-2,BC=,sin B=sin A,求的值.世纪金榜导学号【解析】(1)f(x)=mn=2sin xcos x+cos2x-

10、sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin.因为f(x)的最小正周期为,所以T=,又0,所以=1.(2)由(1)知f(x)=2sin.设ABC中角A,B,C所对边分别是a,b,c.因为f(B)=-2,所以2sin=-2,即sin=-1,又0B,解得B=.因为BC=,即a=,又sin B=sin A,所以b=a,b=3.由正弦定理得,=,解得sin A=.又0A,解得A=,所以C=,c=a=,所以=cacos B=cos =-.5.(10分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|=1,且AOC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求

11、|+|的最小值.(2)若x,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求mn的最小值及对应的x值.世纪金榜导学号【解析】(1)设D(t,0)(0t1),当x=时,可得C,所以+=,所以|+|2=+(0t1),所以当t=时,|+|2取得最小值为,故|+|的最小值为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m=(cos x+1,sin x),则mn=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因为x,所以2x+.所以当2x+=,即x=时,mn=1-sin取得最小值1-,所以mn的最小值为1-,此时x=.1.已知向量a,b,c

12、共面,且均为单位向量,ab=0,则|a+b-c|的取值范围是()A.-1,+1 B.1,C., D.-1,1【解析】选A.因为ab=0,所以|a+b|2=a2+2ab+b2=2,所以|a+b|=.所以|a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2(a+b)c=3-2(a+b)c.当c与(a+b)同向时,(a+b)c最大,|a+b-c|2最小,此时(a+b)c=|a+b|c|cos 0=,|a+b-c|2=3-2=(-1)2,所以|a+b-c|min=-1;当c与(a+b)反向时,(a+b)c最小,|a+b-c|2最大,此时(a+b)c=|a+b|c|cos =-,|a+b-c|2=3+2=(+1)2,所以|a+b-c|max=+1.所以|a+b-c|的取值范围为-1,+1.2.已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足=(1,),=(-,1),则凸四边形ABCD的面积为_;的取值范围是_.【解析】由=(1,),=(-,1)得,且|=2,|=2,所以凸四边形ABCD的面积为22=2;因为ABCD为凸四边形,所以AC与BD交于四边形内一点,记为M,则=(-)(-)=+-,设=,=,则,(0,1),且=-,=(1-),=-,=(1-),所以=-4(1-)-4(1-)-2,0),所以有=时,取到最小值-2.答案:2 -2,0)