2022高考数学文人教A版一轮复习学案：9-2　点与直线、两条直线的位置关系 WORD版含解析.docx

1、9.2点与直线、两条直线的位置关系必备知识预案自诊知识梳理1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括三种情况.(1)两直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2.当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1l2.(2)两条直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=-1.当直线l1,l2中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1l2.(3)由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B120);l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B220)l1与

2、l2平行的充要条件A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10)l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2相交的充要条件A1B2-A2B10l1与l2重合的充要条件A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0(或A1C2-A2C1=0)2.两条直线的交点直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组A1x+B1y+1=0,A2x+B2y+C2=0的解.相交方程组有;平行方程组;重合方程组有.3.三种距离点点距点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=点线距点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=线线距两条平

3、行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=1.三种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+C0=0(CC0);(2)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+C0=0;(3)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R,这个直线系不包括直线l2,解题时,注意检验l2是否满足题意,以防漏解).2.四种常见的对称(1)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(2)点(x,y)关于直

4、线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(3)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(4)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.()(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为|kx1+b|1+k2.()(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离

5、.()(5)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0.()2.设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2020全国3,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.24.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为()A.52B.25C.510D.1055.已知倾斜角为的直线l与直线m:x-2y+3=0垂直,则cos 2=.关键能力学案突破考点两直线的位置关系

6、(多考向探究)考向1判断两直线的位置关系【例1】(2020天津静海区联考)“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件考向2由两直线的位置关系求参数【例2】(1)(2020安徽芜湖四校联考)若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m的值为()A.1B.0C.2D.-1或0(2)(2020陕西宝鸡中学二模)若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则实数m的值为()A.1B.-2C.1或-2D.-32考向3由两直线的位置关系求直线方程【例3】经

7、过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为.解题心得利用直线方程的一般式判断两直线的平行或垂直时可避免讨论直线斜率不存在的情况,但要注意由A1B2-A2B1=0不能推出两直线平行.根据两直线平行求参数时,要注意检验求得的参数值是否满足题意.对点训练1(1)求满足下列条件的直线方程.过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0;已知A(1,2),B(3,1),线段AB的垂直平分线.(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.当l1l2时,求a的值;当l1l2时,求a的值.考点两条直线的交点和距离问题【

8、例4】(1)(2020广东广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为.(2)(2020福建厦门模拟)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c的值是.解题心得利用距离公式应注意(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.对点训练2(1)已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图象上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A.4B.3C.2D.1(2)已知直线l过点P(-1,2),且点A

9、(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为.考点对称问题(多考向探究)考向1点关于点的对称【例5】过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.考向2点关于线的对称【例6】如图,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.210B.6C.33D.25考向3线关于线的对称【例7】直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是()A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+

10、1=0D.x+2y-1=0解题心得1.中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M(x0,y0)及N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得x=2a-x0,y=2b-y0,进而求解.(2)直线关于点对称:先在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式得到所求直线方程.先在已知直线上取一点,求出它关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)对称,则由方程组Ax1+x2

11、2+By1+y22+C=0,B(x2-x1)-A(y2-y1)=0,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标.(2)直线关于直线对称:一般转化为点关于直线的对称来解决.对点训练3(1)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c=.(2)设光线l从点A(-4,3)出发,经x轴反射后经过点B0,33,则光线l与x轴交点的坐标为,若该光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为.(3)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求点A关于直线l的对称点A的坐标;求直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m的方程;求直

12、线l关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.1.对于两条直线的位置关系的判断或求解:(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有l1l2k1=k2.(2)若直线斜率均存在,则一定有l1l2k1k2=-1.2.中心对称问题(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点的坐标,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.3.轴对称问题(1)点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,一般由方

13、程组A(x1+x22)+B(y1+y22)+C=0,y2-y1x2-x1(-AB)=-1可得到点P1关于直线l的对称点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).(2)直线关于直线的对称,若两直线平行,则可用距离公式解决;若两直线不平行,则转化为点关于直线的对称问题.1.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两个方程中x,y的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的.2.在讨论直线的位置关系过程中,当涉及含参数直线方程时,一定不要遗漏斜率不存在、斜率为0等特殊情形.3.“l1l2A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂直的直线.9.2点与直线、两条直线的位置关系必备

14、知识预案自诊知识梳理1.平行、相交、重合2.唯一解无解无数个解3.(x2-x1)2+(y2-y1)2|Ax0+By0+C|A2+B2|C1-C2|A2+B2考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.A当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0的斜率都是-12,截距不相等,所以两直线平行,故前者是后者的充分条件.若两直线平行,则a1=2a+1-14,解得a=1,或-2,所以后者不能推出前者.故a=1是两直线平行的充分不必要条件.3.B直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(0,-1)到直线y=k

15、(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选B.4.C点B(2,10)关于x轴的对称点为B(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB|=(-3-2)2+5-(-10)2=510.故选C.5.-35直线m:x-2y+3=0的斜率是12,lm,直线l的斜率是-2,故tan=-2,223,cos=-55,cos2=2cos2-1=2-552-1=-35.关键能力学案突破例1A设直线l1:ax+2y-8=0,直线l2:x+(a+1)y+4=0.若l1与l2平行,则a(a+1)-2=0,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.当a=-2时,直线l

16、1的方程为-2x+2y-8=0,即x-y+4=0,直线l2的方程为x-y+4=0,此时两直线重合,故a-2.当a=1时,直线l1的方程为x+2y-8=0,直线l2的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.故选A.例2(1)D(2)A(1)由题意可知m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故选D.(2)由题意可知2-m(1+m)=0,解得m=-2或m=1.经检验,当m=-2时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=1时,符合题意.故m的值为1.故选A.例34x-3y+9=0(方法1)由2x+3y+1=0,

17、x-3y+4=0,解得x=-53,y=79.故交点的坐标为-53,79,因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以所求直线的斜率为43.所以所求直线的方程为y-79=43x+53,即4x-3y+9=0.(方法2)由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0.由2x+3y+1=0,x-3y+4=0,可解得交点的坐标为-53,79.将点-53,79的坐标代入4x-3y+m=0,得m=9,故所求直线的方程为4x-3y+9=0.(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+(x-3y+4)=0,即(2+)x+(3-3)y+1+4=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2

18、+)+4(3-3)=0,解得=2.所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.对点训练1解(1)设所求直线方程为x-2y+c=0(c3),将P(-1,3)的坐标代入直线方程,得c=7.故所求直线方程为x-2y+7=0.由已知得线段AB的中点的坐标为2,32,直线AB的斜率kAB=2-11-3=-12,故线段AB的垂直平分线的斜率k=2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y-5=0.(2)依题意,a(a-1)-12=0,a(a2-1)-160,即a2-a-2=0,a(a2-1)6,解得a=-1.故a的值为-1.依题意,a+2(a-1)=0,解得a=23.故a的值为23

19、.例4(1)0,10(2)2或-6(1)由题意得,点P到直线的距离为|44-3a-1|16+9=|15-3a|5.由|15-3a|53,即|15-3a|15,得0a10.所以a的取值范围为0,10.(2)依题意,63=a-2c-1,解得a=-4,c-2,则直线方程6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0.又两平行线之间的距离为21313,所以c2+132+(-2)2=21313,解得c=2或c=-6.对点训练2(1)A(2)x+3y-5=0或x=-1(1)设点C(t,t2).由已知得直线AB的方程为x+y-2=0,|AB|=22,则点C到直线AB的距离d=|t+t2-2|2.因为ABC的面

20、积为2,所以1222|t2+t-2|2=2,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.解方程可知t的值有4个,故满足题意的点C有4个.(2)(方法1)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13.所以直线l的方程为x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.故直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当ABl时,直线l的斜率k=kAB=-13,则直线l的方程为y-2=-13(x

21、+1),即x+3y-5=0.当直线l过AB的中点(-1,4)时,又直线l过点P(-1,2),所以直线l的方程为x=-1.故直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.例5x+4y-4=0设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.例6A易得直线AB的方程为x+y=4,则点P关于直线AB的对称点为P1(4,2),点P关于y轴的对称点为P2(-2,0).依题意,光线所经过的路程为P1(4,2)与P

22、2(-2,0)之间的距离,即|P1P2|=(4+2)2+(2-0)2=210.例7A设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P(x0,y0),由x+x02-y+y02+2=0,x-x0=-(y-y0),得x0=y-2,y0=x+2.因为点P(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直线方程为x-2y+3=0.对点训练3(1)-10(2)(-1,0)-3(1)在直线l1:2x+y+2=0上取点M(-1,0),N(0,-2),则点M,N关于点P(1,0)的对称点分别为M1(3,0),N1(2,2).因为点M

23、1(3,0),N1(2,2)在直线l2:4x+by+c=0上,所以12+c=0,8+2b+c=0,解得c=-12,b=2,所以b+c=-10.(2)点A(-4,3)关于x轴的对称点为A(-4,-3),则直线AB的方程为y=33x+33,直线AB与x轴交于点(-1,0),故光线l与x轴的交点的坐标为(-1,0).易知入射角为60,则折射角为30,且折射光线经过点(-1,0),故折射光线所在直线方程为y=-3x-3,所以折射光线所在直线的纵截距为-3.(3)解设A(x,y),依题意,y+2x+123=-1,2x-12-3y-22+1=0,解得x=-3313,y=413.所以A-3313,413.在直线m上取点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设M(a,b),则2a+22-3b+02+1=0,b-0a-223=-1,解得a=613,b=3013.故M613,3013.设直线m与直线l的交点为N,则由2x-3y+1=0,3x-2y-6=0,得N(4,3).又m经过点M613,3013,所以直线m的方程为9x-46y+102=0.设P(x,y)为l上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y).因为点P在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.所以直线l的方程为2x-3y-9=0.