2022届高考数学一轮复习 第4章 4.7 正弦定理、余弦定理的应用举例核心考点 精准研析训练（含解析）新人教B版.doc

1、第4章核心考点精准研析考点一测量距离问题1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC=()A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m2.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为()A.60 kmB.60 km C.30 kmD.30 km3.(2019衡阳模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8

2、,CD=3,DA=5,且B与D互补,则AC的长为世纪金榜导学号()A.7 kmB.8 kmC.9 kmD.6 km4.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15,若此小船不改变航行的方向继续前行2(-1)海里,则离小岛C的距离为()世纪金榜导学号A.8(+2)海里 B.2(-1)海里C.2(+1)海里D.4(+1)海里【解析】1.选C.记气球在地面的投影为D,在RtABD中,cos 15=,又cos 15=cos (60-45)=,所以AB=.在ABC中,由正弦定理得=,所以BC=AB=120(-1)(m).2.选A.

3、画出图形如图所示,在ABC中,BAC=30,AC=415=60,B=45,由正弦定理得=,所以BC=60,所以船与灯塔的距离为60 km.3.选A.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即AC2=25+64-258cos B=89-80cos B.在ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D,即AC2=25+9-253cos D=34-30cos D.因为B与D互补,所以cos B=-cos D,所以-=,解得AC=7(km).4.选C.BC=4所以离小岛C的距离为=2(+1)(海里).距离问题的常见类型及解法1.类型:测量距离问题常分为

4、三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.2.解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.【秒杀绝招】直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在RtACD中,tan 60=,所以CD=60,在RtABD中,因为tan 15=,tan 15=tan(60-45)=2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).考点二测量高度问题【典例】1.一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,则塔高为()A. mB. mC. mD. m2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔A

5、A1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_;塔BB1的高为_m.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60”,想到作图,建立数学模型2由“60 m”“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍”“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角”,想到A1ACCBB1【解析】1.选A.如图所示.在RtACD中,CD=BE,在ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,

6、DE=BC=200-=(m).2.设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为,则AA1=60tan m,BB1=60tan 2 m.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以A1ACCBB1,所以=,所以AA1BB1=900,所以3 600tan tan 2=900,所以tan =(负值舍去),所以tan 2=,BB1=60tan 2=45(m).答案:45求解高度问题的关注点1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. (2019宜春模拟)某工厂实施煤改电

7、工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得BCD=75,BDC=60,CD=40米,并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30,且CE=1米,则烟囱高AB=_米.【解析】CBD=180-BCD-BDC=45,在CBD中,由正弦定理得BC=20(米),所以AB=1+tan 30CB=1+20(米).答案:(1+20)考点三测量角度问题 命题精解读考什么:航行方向问题,航行时间、速度问题等.怎么考:考查运用正弦定理、余弦定理解决航向、时间、速度等实际问题.新趋势:运用正弦定理、余弦定理解决实际问题.学霸好方法1.不要搞错各种角的含义,不要把这

8、些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时可以画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样将空间几何问题转化为平面几何问题,处理起来既清楚又不容易出现错误.方向问题【典例】如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东80D.南偏西80【解析】选D.由条件及题干图知,CAB=CBA=40,又BCD=60,所以CBD=30,所以DBA=10,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.解决测量角度问题时有哪些注意事项?提示:1.测量角度时,首

9、先应明确方位角及方向角的含义.2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.3.在解应用题时,要由已知正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点.时间、速度问题【典例】如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45方向600 km A处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A.14 hB.15 hC.16 hD.17 h【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达点B位置,在OAB中,OA=600 km

10、,AB=20t km,OAB=45,由余弦定理得OB2=6002+400t2-220t600,令OB24502,即4t2-120t+1 5750,解得t,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h).如何求解码头将受到热带风暴影响的时间?提示:已知热带风暴速度,所以将时间问题转化为路程问题,即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度.运用解三角形知识求解即可.1.如图所示,已知两座花坛A和B与教学楼C的距离相等,花坛A在教学楼C的北偏东40的方向上,花坛B在教学楼C的南偏东60的方向上,则花坛A在花坛B的_的方向上.【解析】由已知,ABC=(180-80)=50,所以花坛A在花坛B的北偏

11、西10的方向上.答案:北偏西102.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30,风速是20 km/h;水的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_,大小为_km/h.【解析】如图AOB=60,由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120=1 200,故OC=20,COY=30+30=60.答案:6020如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30B.45 C.60 D.75【解析】选B.由已知,AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD=,又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.