新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修二学案：第五章 5-3-2 第2课时 函数的最大（小）值 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时函数的最大(小)值必备知识自主学习导思1.函数的极小(大)值与函数的最小(大)值有何关系？2如何求函数在某一闭区间上的最小(大)值？函数yf(x)在闭区间a，b上取得最值的条件如果在闭区间a，b上的函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(1)在闭区间a，b上的连续函数yf(x)有极值一定有最值，反之成立吗？提示：反之不成立，在闭区间a，b上的连续函数yf(x)有极值一定有最值，但有最值不一定有极值(2)函数的极值与最值有什么区别？提示：

2、函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最值是函数在给定区间的整体概念函数极值只能在区间内部取得，函数最值可能在区间端点取得1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值()(2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值()(3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值()(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值. ()提示：(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值(2)闭区间上的连续的单调函数只

3、有最值，没有极值.(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2函数f(x)x24x7在x3，5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3) Bf(3)，f(5)C.f(2)，f(5) Df(5)，f(3)【解析】选B.因为f(x)2x4，所以当x3，5时，f(x)0，故f(x)在3，5上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).3(教材例题改编)函数yx44x3在区间2，3上的最小值为()A.72 B36 C12 D0【解析】选D.因为yx44x3，所以y4x34.令y0，解得x1.当x1时，y1时，y0，函数单调递增，

4、所以函数yx44x3在x1处取得极小值0.而当x2时，y27，当x3时，y72，所以当x1时，函数yx44x3取得最小值0.关键能力合作学习类型一求函数的最值(数学抽象、数学运算)1函数f(x)x33x(|x|1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值【解析】选D.f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)0，所以f(x)在(1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值2函数f(x)在区间2，4上的最小值为()A.0 B C D【解析】选C.f(x)，当x2，4时，f(x)0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增

5、，无极值，也无最值求函数最值的四个步骤第一步，求函数f(x)的定义域第二步，求f(x)，解方程f(x)0.第三步，列出关于x，f(x)，f(x)的变化情况表第四步，求极值、端点值，确定最值警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较【补偿训练】1.函数y3x4x3在区间0，2上的最大值是()A.1 B2 C0 D1【解析】选A.设f(x)3x4x3，所以f(x)12x233(12x)(12x).因为x0，2，所以当x时，f(x)0.又f(0)0，f1，f(2)26，所以函数y3x4x3在区间0，2上的最大值是1.2已知函数f(x)x312x8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm

6、的值为()A16 B12 C32 D6【解析】选C.因为f(x)3x2123(x2)(x2)，由f(3)17，f(3)1，f(2)24，f(2)8，可知Mm24(8)32.类型二含参数的最值问题(数学抽象、数学运算)【典例】已知函数f(x)ln xax(aR).(1)求函数f(x)的单调区间(2)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值四步内容理解题意条件：已知函数f(x)ln xax(aR).结论：(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值思路探求(1)求导，求单调区间(2)讨论函数在1，2上的单调性，求最值书写表达(1)f(x)a(x0)，当a0时，

7、f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，).当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a.书写表达所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0a0得x2，由f(x)0得0x2，所以f(x)在2，0上为增

8、函数，在0，2上为减函数，所以f(x)maxf(0)m3，所以f(x)2x36x23.又f(2)37，f(2)5，所以f(x)min37.2已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值【解析】f(x)3x23a3(x2a).若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，有最大值f(0)0.若a0，则令f(x)0，解得x.因为x0，1，则只考虑x的情况(1)若01，即0a1，则当x时，f(x)有最大值f()2a.(如表所示)(2)若1，即a1，则当0x1时，f(x)0，函数f(x)在0，1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知，当a0，x0时，f(

9、x)有最大值0；当0a1，x时，f(x)有最大值2a；当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.类型三与最值有关的综合问题(数学运算、逻辑推理)角度1求参数的范围【典例】若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_【思路导引】利用函数的最小值点与区间的关系求范围【解析】函数f(x)2x2ln x，x(0，)，所以f(x)4x，令f(x)0得，x，由题意可知：解得1k，所以实数k的取值范围是：1k.答案：本例中的函数不变，试求函数在区间上的最小值【解析】函数f(x)2x2ln x，x(0，)，所以f(x)4x，令f(x)0得，x.所以当0x时

10、，f时，f0，函数单调递增所以当a时，函数有最小值fminf2a2ln a；当a时，函数有最小值fminfln 2.角度2证明不等式【典例】当x0时，证明：不等式ln (x1)xx2.【思路导引】利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f(x)ln (x1)xx2.因此要证明原不等式，即证f(x)0在x0时恒成立【证明】设f(x)ln (x1)xx2，则f(x)1x.当x(1，)时，f(x)0，且仅当x0时f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数于是当x0时，f(x)f(0)0，所以当x0时，不等式ln (x1)xx2成立1关于与最值有关的参数问题一般从单调区间对参数的影响

11、，最值的大小对参数的影响两个方面讨论关键是弄清函数的单调性，函数的单调性决定了函数的单调区间及最值的取值2证明不等式f(x)g(x)，x(a，b)的步骤(1)将要证明的不等式f(x)g(x)移项可以转化为证明f(x)g(x)0；(2)构造函数F(x)f(x)g(x)，研究F(x)的单调性；(3)若f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是增函数只需保证F(a)0；(4)若f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是减函数只需保证F(b)0.1函数f(x)x22ax1在0，1上的最小值为f(1)，则a的取值范围为_【解析】f(x)2x2a，f(x

12、)在0，1上的最小值为f(1)，说明f(x)在0，1上单调递减，所以当x0，1时，f(x)0恒成立，即2x2a0.所以ax.所以a1.答案：(，12设af(a)，又f(1)f(1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(1)与f(a)的大小因为f(0)f(1)a10，所以f(x)的最大值为f(0)b，所以b1.又因为f(1)f(a)(a1)2(a2)0，所以f(x)的最小值为f(1)1aba，所以a.所以a.故所求函数的解析式是f(x)x3x21.3证明不等式xsin xtan xx，x.【证明】令f(x)tan x2xsin x，x，则f(x)(2x)(sin x)2cosx.因为x，所以1co

13、sx0，cos xsin2x0，所以f(x)0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)f(0)0，即tanx2xsin x0，即xsin xtan xx.课堂检测素养达标1下列结论正确的是()A若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定在xa和xb时取得D若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值【解析】选D.函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2如图所示，函数f(

14、x)导函数的图象是一条直线，则()A函数f(x)没有最大值也没有最小值B函数f(x)有最大值，没有最小值C函数f(x)没有最大值，有最小值D函数f(x)有最大值也有最小值【解析】选C.由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)【解析】选A.令F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)，又f(x)g(x)，故F(x)0，所以F(x)在a，b上单调递减，所以F(x)m

15、axF(a)f(a)g(a).4(教材练习改编)函数f(x)x33x29xk在区间4，4上的最大值为10，则其最小值为_【解析】f(x)3x26x93(x3)(x1).由f(x)0得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.则f(x)maxk510，得k5，所以f(x)mink7671.答案：715求函数f(x)sin 2xx，x的最值【解析】f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得cos 2x，又因为x，所以2x，.所以2x.所以x.所以函数f(x)在上的两个极值分别为f，f.又f，f.比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min.【补偿训练】求函数yf(x)x42x25在区间2，2上的最大值与最小值【解析】先求导数，得y4x34x.令y0，即4x34x0，解得x11，x20，x31.x变化时，y，y的变化情况以及f(2)，f(2)的值如表：从表格知，当x2时，函数有最大值13；当x1时，函数有最小值4.关闭Word文档返回原板块