新教材2021-2022学年数学人教A版必修第一册学案：1-4 第2课时　充要条件 WORD版含解析.doc

1、第2课时充要条件必备知识探新知基础知识知识点 充要条件1定义：若pq且qp，则记作_pq_，此时p是q的充分必要条件，简称_充要条件_2条件与结论的等价性：如果p是q的_充要条件_，那么q也是p的_充要条件_3概括：如果_pq_，那么p与q互为_充要条件_思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？提示：充分必要条件(充要条件)，即pq且qp；充分不必要条件，即pq且qp必要不充分条件，即pq且qp既不充分又不必要条件，即pq且qp基础自测1下列命题中是真命题的是(A)“x3”是“x4”的必要条件；“x1”是“x21”的必要条件；“a0”是“ab0”的必要条件ABC D解析x4x3，故是

2、真命题；x1x21，x21x1，故是假命题；a0ab0，ab0a0，故是假命题2“x0”是“x20”的(D)A充分条件B必要条件C既不是充分条件也不是必要条件D既是充分条件又是必要条件解析因为当x0时x20，当x20时，x0，所以“x0”是“x20”的充要条件3点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(B)Ax0，y0 Bx0，y0Cx0，y0 Dx0，y0解析P(x，y)在第二象限，等价于x0，y04设p：x3，q：1x3，则p是q的(C)A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析因为x|1x3x|x3，所以p是q的必要不充分条件5从“充分不必要条件”“必要不充

3、分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空(1)“x210”是“|x|10”的_充要条件_(2)“x5”是“x3”的_必要不充分条件_解析(1)设Ax|x2101,1，Bx|x|101,1，所以AB，“x210”是“|x|10”的充要条件(2)设Ax|x5，Bx|x3，因为AB，所以“x5”是“x3”的必要不充分条件关键能力攻重难题型探究题型一充要条件的判断与探究例1(1)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？在ABC中，p：AB，q：BCAC；若a，bR，p：a2b20，q：ab0；p：|x|3，q：x29(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条

4、件，那么：s是q的什么条件？r是q的什么条件？p是q的什么条件？解析(1)在ABC中，显然有ABBCAC，所以p是q的充要条件若a2b20，则ab0，即pq；若ab0，则a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要条件由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件(2)q是r的必要条件，rqs是r的充分条件，sr，srq，又q是s的充分条件，qss是q的充要条件由rq，qsr，知r是q的充要条件p是r的必要条件，rp，qrpp是q的必要条件归纳提升判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假(2)集合法：即利用集合的包含关系判断(3)

5、等价法：即利用pq与qp的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性【对点练习】 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(D)Aab0Bab0Ca2b20 Da2b20(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(A)A丙是甲的充分不必要条件B丙是甲的必要不充分条件C丙是甲的充要条件D丙是甲的既不充分又不必要条件(3)设集合Ax|2a1x3a5，Bx|3x22，则A(AB)的充要条件为_a9_；一个充分不必要条件为_6a9(答案不唯一)_解析(1)a2b20

6、，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20(2)如图所示，甲是乙的必要条件，乙甲又丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，丙乙，但乙丙综上，有丙乙甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(3)A(AB)AB，Bx|3x22若A，则2a13a5，解得a6；若A，则AB6a9综上可知，A(AB)的充要条件为a9；一个充分不必要条件可为6a9题型二充要条件的证明例2设x，yR，求证：|xy|x|y|成立的充要条件是xy0分析解析充分性：如果xy0，则有xy0和xy0两种情况，当xy0时，不妨设x0，得|xy|y|，|x|y|y|，所以等式成立当xy0，即x0，y0或x0，y0

7、时，又当x0，y0时，|xy|xy，|x|y|xy，所以等式成立当x0，y0时，|xy|(xy)，|x|y|xy(xy)，所以等式成立总之，当xy0时，|xy|x|y|成立必要性：若|xy|x|y|且x，yR，则|xy|2(|x|y|)2，即x22xyy2x2y22|x|y|，所以|xy|xy，所以xy0综上可知，xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件归纳提升充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚

8、充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论【对点练习】 证明：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc，这里a，b，c是ABC的三条边解析(1)充分性(由a2b2c2abacbcABC为等边三角形)：因为a2b2c2abacbc，所以2a22b22c22ab2ac2bc，即(ab)2(ac)2(bc)20，所以ab，ac，bc，即abc，故ABC为等边三角形；(2)必要性(由ABC为等边三角形a2b2c2abacbc)：因为ABC为等边三角形，所以abc，所以a2b2c23a2，abacbc3a2，故a2b2c2abacbc综上可知，结论得证题型三根据充分条件、必要条件求参

9、数的取值范围例3已知p：4xa4，q：(x2)(x3)0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为(B)A(1,6)B1,6C(，1)(6，)D(，16，)分析可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围解析设q，p表示的范围分别为集合A，B，则A(2,3)，B(a4，a4)因为q是p的充分条件，则有AB，即所以1a6故选B归纳提升根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：(1)记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：条件类别集合M与N的关系p是q的

10、充分不必要条件MNp是q的必要不充分条件MNp是q的充要条件MNp是q的充分条件MNp是q的必要条件MN(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)(4)解不等式(组)求出参数的取值范围【对点练习】 (1)(2021重庆七校高二期末)已知p：1x3，q：1xm1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_m|m2_(2)(2021上海徐汇区高一联考)已知xR，p：x2x，q：xa0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_a|a1_解析(1)由题意，p：1x3，q：1xm1，因为q是p的必要不充分条件，即x|1x3x|1xm1，则m13，解得m2，即实数m的取值范围是

11、m|m2(2)由x2x，得x(x1)0，得0x1由xa0，得xa设Ax|0x1，Bx|xa，p是q的充分不必要条件，AB，a1故实数a的取值范围是a|a1误区警示误将充分条件当作充要条件例4给出下列各组条件：p：ab0，q：a2b20；p：xy0，q：|x|y|xy|；p：m0，q：方程x2xm0有实根；p：x2或x1，q：x1其中p是q的充要条件的有(A)A1组 B2组C3组 D4组错解因为ab0a0或b0，所以pq，故p不是q的充要条件因为xy0，所以x，y是同号或者为0，故pq，所以p是q的充要条件14m，当m0时1，方程x2xm0有实根，所以pq，所以p是q的充要条件p：x2或x1，p

12、q，p不是q的充要条件综上，p是q的充要条件的有2组，故选B错因分析误将充分条件当作充要条件，当pq时，我们只能判断p是q的充分条件，只有pq与qp同时成立，才能称p是q的充要条件正解对于由pq知，p一定不是q的充要条件对于，由|x|y|xy|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy0，故是充要条件对于，方程x2xm0有实数解，判别式14m0，即m，所以qp，p是q的充分不必要条件对于，因为pq，所以p不是q的充要条件，故只有是，故选A方法点拨对于两个条件A，B，若AB成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若BA成立，则A是B的必要条件，B

13、是A的充分条件；若AB，则A，B互为充要条件解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性学科素养充分条件、必要条件的证明充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点例5(2021江苏连云港高二检测)已知ab0，求证：ab1的充要条件是a3b3aba2b20解析(1)必要性：因为ab1，所以ab10所以a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2)(ab1)(a2abb2)0(2)充分性：因为a3b3aba2b20，即(ab1)(a2abb2)0，又ab0，所以a0且b0因为a2abb2(a)2b20

14、所以ab10，即ab1综上可得，当ab0时，ab1的充要条件是a3b3aba2b20归纳提升充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性()，也可以直接证明充要性课堂检测固双基1设p：a，b都是偶数，q：ab是偶数，则p是q成立的(B)A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不

15、必要条件解析a，b都是偶数可推出ab是偶数；当ab是偶数时，a，b可以都是奇数，所以p是q的充分不必要条件2若“xa”是“x3或x1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(B)Aa3 Ba1C1a3 Da3解析因为“xa”是“x3或x1”的充分不必要条件，故a13“x1”是“x22x10”的(A)A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件解析当x1时，x22x10成立；当x22x10时，即(x1)20，解得x1，所以x1是x22x10的充要条件4若“x2”是“xm”的必要不充分条件，则m的取值范围是_m2_解析因为“x2”是“xm”的必要不充分条件，所以(m，)是(2，)的真子集，所以m25求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0解析先证必要性：方程ax2bxc0有一个根为1，x1满足方程ax2bxc0，则a12b1c0，即abc0再证充分性：abc0，cab，代入方程ax2bxc0中，可得ax2bxab0，即(x1)(axab)0，故方程 ax2bxc0有一个根为1因此，关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0