新教材2021-2022学年数学人教A版必修第一册学案：3-1-2 第1课时　函数的表示法 WORD版含解析.doc

1、3.1.2 函数的表示法【素养目标】1了解函数的三种表示法及各自的优缺点(数学抽象)2尝试作图并从图象上获取有用的信息(直观想象)3会用解析法及图象法表示分段函数(数学建模)4掌握求函数解析式的常见方法(数学运算)5能根据给出的分段函数，研究有关性质(数据分析)【学法解读】1函数的三种表示方法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中，应注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图”的相互转化，学生应从不同的侧面认识函数的本质2学习分段函数时，学生要注意结合实例体会概念，还要注意书写的规范第 1 课时 函数的表示法必备知识探新知基础知识 知

2、识点 函数的表示法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式图象法以自变量 x 的取值为横坐标，对应的函数值 y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数 yf(x)的图象，这种用_图象_表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出_表格_来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法思考：三种表示法的优缺点分别是什么？提示：表示法优点缺点解析法简明、全面地概括了变量之间的关系，不够形象直观，而且并不是所有函数都且利用解析式可求任一自变量对

3、应的函数值有解析式图象法能形象直观地表示变量的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值列表法不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值只能表示有限个数的自变量所对应的函数值基础自测 1已知 f(x)(xR)，则 f(2)等于(B)A2 BC D不确定解析 因为 2R，所以 f(2)2已知函数 yf(x)的图象如图，则 f(x)的定义域是(C)A(，1)(1，)BRC(，0)(0，)D(1,0)解析 由图象，知 x0，即 x(，0)(0，)3如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 ff(3)的值等于_2_解析 据图象，知

4、f(3)1，所以 ff(3)f(1)24已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211x123g(x)321则 fg(1)的值为_1_；当 gf(x)2 时，x_1_解析 由 g(x)对应表，知 g(1)3，所以 fg(1)f(3)由 f(x)对应表，得 f(3)1，所以 fg(1)f(3)1由 g(x)对应表，得当 x2 时，g(2)2，又 gf(x)2，所以 f(x)2又由 f(x)对应表，得 x1 时，f(1)2所以 x1关键能力攻重难题型探究 题型一 列表法表示函数例 1 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台数 x 与收款数 y之间的函数

5、关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来分析 函数的定义域是1,2,3，10，值域是3 000，6 000,9 000，30 000，可直接列表、画图表示分析题意得到表达 y 与 x 关系的解析式，注意定义域解析(1)列表法：x(台)12345678910y(元)3 0006 0009 0001200015000180002100024 00027 00030 000(2)图象法：如图所示：(3)解析法：y3 000 x，x1,2,3，10归纳提升 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示在应用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法

6、：必须注明函数的定义域(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征(3)图象法：是否连线【对点练习】某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要 y 元试用函数的三种表示法表示函数 yf(x)解析 这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5用解析法可将函数 yf(x)表示为 y5x，x1,2,3,4,5用列表法可将函数 yf(x)表示为笔记本数 x12345钱数 y510152025用图象法可将函数 yf(x)表示为如下图题型二 与函数图象有关的问题例 2 作出下列函数的图象并求出其值域(1)y2x1，x0,2；(2)y2x，x2，)；(3)yx22x，x

7、2,2分析(1)画函数的图象时首先要注意的是什么？(2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？解析(1)列表：x0121322y12345当 x0,2时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为1,5(2)列表x2345y1231225当 x2，)，图象是反比例函数 y2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1(3)列表x21012y01038画图象，图象是抛物线 yx22x 在2x2 之间的部分由图可得函数的值域是1,8归纳提升(1)常见函数图象的特征：一次函数 ykxb(k0)是一条直线；ykx(k0)是与坐标轴无限接近的双曲线；yax2bxc(a0)是顶点为(b2a，4acb24a)

8、，对称轴为 x b2a的抛物线(2)作函数图象时应注意以下几点：在定义域内作图；图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点还是空心点【对点练习】作出下列函数的图象，并指出其值域(1)yx2x(1x1)；(2)y2x(2x1，且 x0)解析(1)用描点法可以作出函数的图象如图 由图可知 yx2x(1x1)的值域为14，2(2)用描点法可以作出函数的图象如图由图可知 y2x(2x1，且 x0)的值域为(，12，)题型三 求函数解析式角度 1 待定系数法求解析式例 3(1)(2020湖北部分重点中学高一联

9、考)已知一次函数 f(x)满足 ff(x)4x6，则 f(x)的解析式为_f(x)2x2 或 f(x)2x6_(2)已知二次函数 f(x)满足 f(0)1，f(1)2，f(2)5，则该二次函数的解析式为_f(x)x21_分析 已知函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可解析(1)设 f(x)axb(a0)，则 ff(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x6，于是有a24，abb6，解得a2，b2或a2，b6，所以 f(x)2x2 或 f(x)2x6(2)设二次函数的解析式为 f(x)ax2bxc(a0)，由题意得c1，abc2，4a2bc5，解得a1，b0，c1，故

10、 f(x)x21角度 2 换元法(或配凑法)求解析式例 4(1)(2020广东六校教研协作体高一联考)已知 f(x1)x2 x，则 f(x)的解析式为_f(x)x21(x1)_(2)(2020湖北天门高一联考)已知函数 f(x1)x22x，则 f(x)的解析式为_f(x)x24x3_分析 已知 fg(x)求 f(x)有两种思路：一是将 g(x)视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含 g(x)的形式解析(1)方法一(换元法)令 t x1，则 x(t1)2，t1，所以 f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以函数的解析式为 f(x)x21(x1)方法二(

11、配凑法)f(x1)x2 xx2 x11(x1)21因为 x11，所以函数的解析式为 f(x)x21(x1)(2)方法一(换元法)令 x1t，则 xt1，tR，所以 f(t)(t1)22(t1)t24t3，即 f(x)x24x3方法二(配凑法)因为 x22x(x22x1)(4x4)3(x1)24(x1)3，所以 f(x1)(x1)24(x1)3，即 f(x)x24x3角度 3 方程组法求函数解析式例 5(1)(2020江西九校高一联考)已知函数 f(x)满足 f(x)2f(1x)x，则函数 f(x)的解析式为_f(x)x3 23x(x0)_(2)(2021武汉四校高一联考)已知 af(x)f(x

12、)bx，其中 a1，则函数 f(x)的解析式为_f(x)ba1x，a1_分析(1)求函数 f(x)的解析式，由已知条件知，必须消去 f(1x)，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去 f(1x)得 f(x)(2)类似于(1)的思路，利用 x 与x 的关系，再列一个方程，通过方程组求解解析(1)在已知等式中，将 x 换成1x，得 f(1x)2f(x)1x，与已知方程联立，得fx2f1xx，f1x2fx1x，消去 f(1x)，得 f(x)x3 23x(2)在原式中用x 替换 x，得 af(x)f(x)bx，于是得afxfxbx，afxfxbx，消去 f(x)，得 f(x)bxa1故 f(x)的解

13、析式为 f(x)ba1x，a1归纳提升 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(2)换元法：已知复合函数 fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)解方程组法：已知 f(x)与 f(1x)或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)【对点练习】(1)已知函数 f(x1)3x2，求 f(x)；(2)已知 f(x1x)x21x2，求 f(x)；(3)已知 2f(x)3f(1x)3x(x0)，求 f(x)解析(1)解法一(换元法)：令 x1t，xt1，f(t)3(t1)23t

14、1，f(x)3x1解法二(配凑法)：f(x1)3x23(x1)1，f(x)3x1(2)f(x1x)x21x2(x1x)22，令 tx1x，f(t)t22，f(x)x22(3)2f(x)3f(1x)3x，用1x代替 x 得 2f(1x)3f(x)3x，32 有 5f(x)9x6x，f(x)95x65x(x0)课堂检测固双基1如图，函数 f(x)的图象是折线段，其中点 A，B，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ff(2)(C)A0 B2C4D6解析 由图象可得 ff(2)f(0)42函数 yx22x 的定义域为0,1,2,3，那么其值域为(A)A1,0,3B0,1,2,3Cy

15、|1y3Dy|0y3解析 把 x0,1,2,3 分别代入 yx22x 中得 y 的值共三个为1,0,3，故值域为1,0,33学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的(A)解析 根据题意，易知 A 符合4一个面积为 100 cm2 的等腰梯形，上底长为 x cm，下底长为上底长的 3 倍，则它的高y 与 x 的函数关系为_y50 x(x0)_解析 由梯形的面积公式有 100 x3x2y，得 y50 x(x0)5(1)已知 f(x)是一次函数，且 ff(x)16x25，求 f(x)；(2)已知 f(x)为二次函数，且 f(x1)f(x1)2x24x，求 f(x)解析(1)设 f(x)kxb(k0)，则 ff(x)k(kxb)bk2xkbb16x25，k216，kbb25，k4，b5 或k4，b253，f(x)4x5 或 f(x)4x253(2)设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x，2a2，2b4，2a2c0，a1，b2，c1，f(x)x22x1