2023届数学一轮复习函数与导数：16-极值点偏移：判定定理.docx

1、 第16讲：极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略. 左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函

2、数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2.抽化模型答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单调递增.（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，

3、还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.1. 已知函数.（）求函数的单调区间与极值；（）若，且，证明：.解析：（）由，易得的单调增区间为，单调减区间为，函数在处取得极大值，且（）由，不妨设，则必有，构造函数，则 ，所以在上单调递

4、增，也即对恒成立.由，则，所以 ，即，又因为，且在上单调递减，所以，即证.2. 函数与直线交于、两点.证明：.解析：设，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，有，设，故单调递增区间为，又，所以当时，即时，又，又函数单调递减区间为，所以，即.3. 已知函数，若，且，证明：.解析：由题意，函数的定义域为，且，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，若，则必有，所以，而，令，则，所以函数在为减函数，所以，所以，即，所以，所以.4. 已知函数有两个零点.设，是的两个零点，证明：.解: 因为设，则，只有一个零点设，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又，取满足且，则，故存在两个零点设，由得或若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点不妨设，由以上情况讨论知，在单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时，从而，故