2022年新教材高中数学 课时检测42 事件的相互独立性（含解析）新人教A版必修第二册.doc

1、事件的相互独立性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.若A与B是相互独立事件,则下列结论中正确的是()A.A与B是对立事件B.A与B是互斥事件C.与不相互独立D.A与是相互独立事件【解析】选D.相互独立与互斥、对立没有必然联系.2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为()A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85【解析】选B.事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生,依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.850.74= 0.629.

2、3.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为()A.0.64B.0.32C.0.56D.0.48【解析】选B.设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,则“两人各射击一次,恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(即A),另一种是甲未击中、乙击中(即B),根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为P=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B)=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.32.故选B.4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录

3、取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为()A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88【解析】选D.由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)(1-0.7)=0.12,故至少有一人被录取的概率为1-0.12=0.88.5.某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为,则p=()A.B.C.D.【解析】选B.因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).故选B.6.假日期间,甲去黄山的概率是,乙

4、去黄山的概率是,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.设甲、乙去黄山分别为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,所以甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是P=1-P( )=1-=.【补偿训练】如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是相互独立的,灯亮的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.记A,B,C,D这4个开关闭合分别为事件A,B,C,D,又记A与B至少有一个不闭合为事件,则P()=P(A)+P(B)+P()=,则灯亮的概率为P=1-P( )=1-P()P()P()=1-=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.加

5、工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为_.【解析】加工出来的零件的正品率是=,因此加工出来的零件的次品率为1-=.答案:8.甲、乙两人投球命中率分别为,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为_.【解析】事件“甲投球一次命中”记为A,“乙投球一次命中”记为B,“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C,则C=AB且A与B互斥,P(C)=P(AB)=P(A)P()+P()P(B)=+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为.(1)求恰有

6、一名同学当选的概率;(2)求至多有两人当选的概率.【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,则有P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)因为事件A,B,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A )+P( B )+P( C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=+=.(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-=.10.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题

7、答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率;(2)求这名同学至少得300分的概率.【解析】记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.(1)这名同学得300分的概率P1=P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.80.30.6+0.20.70.6=0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.80.70.6=0.564.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共

8、20分)1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率P1=;第二类,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.2.抛掷一枚骰子一次,A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是()A.互斥事件B.相互独立事件C.既互斥又相互独立事件D.既不互斥又不相互独立事件【解析】选B.A=2,4,6,B=3,6,AB=6,所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=

9、.所以A与B是相互独立事件.3.端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.甲、乙、丙回老家过节分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=, P(C)=,所以P()=,P()=,P()=.由题知A,B,C为相互独立事件,所以三人都不回老家过节的概率P( )=P()P()P()=,所以至少有1人回老家过节的概率P=1-=.4.有一个电路,如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,若其闭合的概率都是,且每个开关闭合与否是相互独立的,则灯亮的概率是()A.B.C.

10、D.【解析】选B.设事件T为开关A,B中至少有一个不闭合,事件R为开关E,F中至少有一个不闭合,则P(T)=P(R)=1-=.设事件M,N分别为开关C,D不闭合,则P(M)=P(N)=.所以灯不亮的概率为=.所以灯亮的概率为1-=.二、填空题(每小题5分,共20分)5.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=_, P(B)=_.【解析】由题意可得解得P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P(B)=P()P(B)=.答案:6.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为_.【解析】分别

11、记汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=, P(C)=,停车一次为事件BC+AC+AB发生,故概率为+=.答案:7.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗预报准确的是_.【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两

12、颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥且独立.所以至少两颗预报准确的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.80.70.1+0.80.30.9+0.20.70.9+0.80.70.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.9028.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,两小时以上且不超过

13、三小时还车的概率分别是,两人租车时间都不会超过四小时.则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为_.【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=+=.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,且三个项目是否成功互相独立.(1)求恰有两个项目成功的概率;(2)求至少有一个项目成功的概率.【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为=,只

14、有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为=,只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为=,所以恰有两个项目成功的概率为+=.(2)三个项目全部失败的概率为=,所以至少有一个项目成功的概率为1-=.10.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.【解析】记事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,由已知得P(A1)=,P(A2)=,P(A3

15、)=,P(A4)=.(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=.(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,则P(C)=P(A1A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=+=.11.在女子十米跳台比赛中,已知甲、乙两名选手发挥正常的概率分别为0.9,0.85,求(1)甲、乙两名选手发挥均正常的概率;(2)甲、乙两名选手至多有一名发挥正常的概率;(3)甲、乙两名选手均出现失误的概率.【解析】令事件A,B分别表示甲、乙两名选手发挥正常,由题意可知,事件A,B相互独立,且P(A)=0.9,P(B)=0.85.(1)两名选手发挥均正常的概率P=P(AB)=P(A)P(B)=0.90.85=0.765.(2)所求事件的对立事件为“甲、乙两名选手发挥均正常”,故所求事件的概率P=1-P(AB)=1-0.765=0.235.(3)依题意可知,所求事件的概率P=P( )=P()P()=(1-P(A)(1-P(B)=(1-0.9)(1-0.85)=0.015.