2022版新教材数学必修第二册人教A版学案：6-3-5 平面向量数量积的坐标表示 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。63.5平面向量数量积的坐标表示平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便若己知向量a与b的坐标，则其数量积是唯一确定的【问题1】已知两个向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，则a，b如何用i，j表示？【问题2】能用a，b的坐标表示ab吗？【问题3】|a|，|b|分别用坐标怎样表示？【问题4】向量ab及a，b的夹角能用坐标表示

2、吗？1平面向量数量积的坐标表示条件向量a(x1，y1)，b(x2，y2)坐标表示abx1x2y1y2文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和对数量积的坐标表示的理解(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多2平面向量数量积的坐标表示的结论条件结论a(x，y)|a|表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)向量a(x1

3、，y1)，b(x2，y2)abx1x2y1y20a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角cos 对向量模长公式的理解(1)模长公式是数量积的坐标表示abx1x2y1y2的一种特例，当ab时可得|a|2xy.(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，所以|，它的实质是A，B两点的距离或线段AB的长已知向量a，则与a共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么？ 提示：与a共线的单位向量是a0，则a0a，其中正号、负号分别表示与a同向和反向；易知b和a垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标是.1若O为坐标原点，点A的坐标为(x，y)，则|成立吗？

4、2若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足ab，则x1y2x2y10成立吗？3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab0，则a与b的夹角为钝角吗？提示：1.成立.2.不成立.3.不一定通过教材第34页例10，思考：将本例条件“A(1，2)”改为“点A在y轴上”，若ABC是直角三角形，试求点A的坐标提示：设点A的坐标为(0，m)，则，.(1)若角A为直角，则4m28m110，解得m4或4，所以点A的坐标为或.(2)若角B为直角，则820，解得m1，所以点A的坐标为.(3)若角C为直角，则820，解得m9，所以点A的坐标为.1已知a(2，1)，b(2，3)，则ab_，|ab|_【解析

5、】 ab22(1)31，ab(4，2)，|ab|2.答案：122(教材练习改编)已知向量a(2，2)，b(8，6)，a与b的夹角为，则cos 【解析】cos .答案：基础类型一数量积的坐标运算(数学运算)1(2021沈阳高一检测)若向量a(1，1)，b(2，5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c24，则x等于()A6 B2 C4 D32(2021北京高一检测)已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则_3如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_【解析】1.选B.由题意得8ab(6，3)，c(3，x)，所以(8ab)c183x24，解得x2.

6、2由已知得，所以1130.答案：03以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1).可设F(x，2)，因为(，0)(x，2)x，所以x1，所以(，1)(1，2).答案：关于向量数量积的运算(1)进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系(2)向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法，另一种是坐标法，两者相互补充如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法基础类型二平面向量模的问题(数学运算)【典例】1.(2021乐山高一检测)已知(5，4)，(3，

7、2)，BC边的中点为D，则AD的长为()A B1 C2 D2已知|a|2，b(2，3)，若ab，求ab的坐标及|ab|.【解析】1.选D.因为(5，4)，(3，2)，则()(1，1)；所以AD的长为：.2设a(x，y)，则由|a|2，得x2y252.由ab，解得2x3y0.联立，解得或所以a(6，4)或a(6，4).所以ab(8，1)或ab(4，7)，所以|ab|.向量模的问题(1)字母表示下的运算，利用|a|2a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算(2)坐标表示下的运算，若a(x，y)，则|a|.设平面向量a(1，2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A4 B5 C3 D4【解

8、析】选D.由ab得y40，所以y4，b(2，4)，所以2ab(4，8)，所以|2ab|4.【加固训练】 已知|a|2，b(3，2)，若ab，求ab的坐标及|ab|.【解析】设a(x，y)，则由|a|2，得x2y252.由ab，可知2x3y0，解方程组得或所以a(6，4)或a(6，4)，所以ab(3，2)或ab(9，6)，所以|ab|或|ab|3. 综合类型平面向量的夹角、垂直和平行问题(数学运算)平面向量的夹角问题【典例】已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求实数的取值范围【解析】因为a(1，1)，b(，1)，所以|a|，|b|，ab1.因为a，b的夹角为钝角，所以即即所以0且

9、cos 1，所以ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向得2.所以实数的取值范围为(2，).利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式cos 求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值微提醒：向量夹角的取值范围是，当0时，两个向量同向；当时，两个向量反向【加固训练】 已知向量a(1，1)，b(3，4).(1)求的值；(2)求向量a与ab夹角的余弦值【解析】(1)因为ab(4，3)，所以|ab|5；(2)由(1)知a(ab)1411，|ab|5，所以cos

10、a，ab.平面向量的垂直和平行问题【典例】已知向量a(2，1)，b(m，1)，且b(2ab)，则|b|为_已知向量a(2，1)，b(m，1)，且b(2ab)，则|b|为_【解析】2ab(4m，3)，因为b(2ab)，所以m30，即m1或3，则|b|或|b|.答案：或2ab(4m，3)，因为b(2ab)，所以3m4m0，即m2，则|b|.答案：点拨：两道题的区别在于考查垂直的坐标表示，考查平行的坐标表示，应注意两者的区别涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助ababx1x2y1y20来解决【加固训练】 已知向量a，b，向量xkab，ya3b.(1)求向量x，y的坐标；(2)若xy，求实数k的值【

11、解析】(1)因为a，b，所以xkabk，ya3b3.(2)因为xy，所以xy0，即100，解得k.【知识拓展】1线段垂直的坐标关系设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是坐标平面内的三个点，则(x3x1)(x2x1)(y3y1)(y2y1)0.2向量共线的条件由cos 可知，若0或180，则cos 1，则有x1x2y1y2，利用此结论也可以判断两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)是否共线 创新拓展向量法解代数问题(逻辑推理)【典例】求函数f(x)125的最大值【解析】设a(12，5)，b(，)，则ab125，因为a(12，5)，b(，)，所以|a|13，|b|3，又因为|a

12、b|a|b|，所以|ab|13339，当且仅当a，b共线时，等号成立，即1250，解得x，当x时，ab的最大值为39，即函数f(x)125的最大值为39.向量法巧解代数问题向量是代数和几何的完美结合，尤其是解决代数问题时具有独到的优势，解题的关键在于观察问题的结构，挖掘代数结构的向量模型，把原有问题转化为向量问题，再借助向量有关知识解决问题创新题型新背景新定义问题(数学运算)【典例】已知是平面内的一个基底，O为内的定点，对于内任意一点P，当xe1ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标若点A、B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是()A线段AB的中点的

13、广义坐标为BA、B两点间的距离为C向量平行于向量的充要条件是x1y2x2y1D向量垂直于的充要条件是x1x2y1y20【解析】选AC.由已知得x1e1y1e2，x2e1y2e2，则线段AB的中点C满足e1e2，所以点C的广义坐标为，故A正确；e1e2，由于e1e20不一定成立，所以不一定成立，故B错误；若向量平行于向量，则存在实数，使得，x1e1y1e2(x2e1y2e2)，因为e1，e2不共线，所以x1x2且y1y2，所以x1y2x2y1，故C正确；向量垂直于的充要条件是(x1e1y1e2)(x2e1y2e2)0，x1x2ee1e2y1y2e0，显然不是x1x2y1y20，故D不正确用向量线

14、性运算坐标表示解题的策略(1)根据图形的垂直关系和对称关系建立恰当的平面直角坐标系；(2)利用向量线性运算的坐标表示【加固训练】 “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，如图，在矩形ABCD中，ABC满足“勾3股4弦5”，且AB3，E为AD上一点，BEAC.若，则的值为() A B C D1【解析】选B.由题意建立如图所示直角坐标系，因为AB3，BC4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，(0，3)，(4，3)，设(a，3)，因为BEAC，所以4a90，解得a.由，得(0，3)(4，3)，所以解得所以.1已知向量a(1，

15、1)，b(1，2)，则(2ab)a()A1 B0 C1 D2【解析】选C.因为a(1，1)，b(1，2)，所以(2ab)a(1，0)(1，1)1.2已知A(2，1)，B(6，3)，C(0，5)，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形【解析】选A.根据已知，有(8，4)，(2，4)，(6，8)，因为82(4)40，所以，即BAC90.故ABC为直角三角形3a(4，3)，b(1，2)，则2|a|23ab_【解析】因为a(4，3)，所以2|a|22()250.ab41322.所以2|a|23ab503244.答案：444已知a(3，4)，b(5，12)，则a与b夹角的余弦值为_【解析】因为ab3541263，|a|5，|b|13，所以a与b夹角的余弦值为.答案：5已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.【解析】(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.故a(1，0)，b(3，0)，或a(1，2)，b(1，2)，故ab(2，0)，|ab|2，或ab(2，4)，|ab|2.综上，|ab|2或2.关闭Word文档返回原板块