2022版新高考数学一轮总复习学案：第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 WORD版含解析.doc

1、全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制12道小题，1道解答题，分值约占2024分2.考查内容(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.直线的倾斜角与斜率、直线的方程考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与

2、一次函数的关系1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距，斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点，斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐

3、标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)平面内所有直线都适用提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数1直线的斜率k和倾斜角之间的函数关系如图，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)2特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为xx1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为yy1；(3)y轴的方程为x0；(4)x轴的方程为y0.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(2)直线

4、的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知两点A(3，)，B(，1)，则直线AB的斜率是()AB CDDkAB，故选D.2过点(1,2)且倾斜角为30的直线方程为()A.x3y60Bx3y60C.x3y60Dx3y60A直线的斜率ktan 30.由点斜式方程得y2(x1)，即x3y60，故选A.3(多选)下面说法中错误的是()A经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y

5、y0k(xx0)表示B经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程xx0m(yy0)表示C经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示D经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示ABC对于A选项，该方程不能表示过点P且垂直于x轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A不正确；对于B选项，该方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，即该方程不能表示斜率为零的直线，所以B不正确；对于C选项，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C不正确；对于D选项，经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线

6、都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以D正确4已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_或设直线的倾斜角为，则|tan |1，tan 1. 又0，)，或. 考点一直线的倾斜角与斜率 斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可1若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于()A1B3 C0D2B由题意可知tan 1，解得y3.故选B.2若直线l的斜率k1,1，则直线l的倾斜角的范围是_当1

7、k0时，当0k1时，0.因此的取值范围是.3直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_(，1，)如图，kAP1，kBP，k(，1，)点评：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想注意区分含有90和不含90两种情况的讨论(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论 考点二直线方程的求法 求直线方程的两种方法典例1求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)直线经过点A(，3)，且倾斜角为直线xy10的倾斜角的一半；(3)在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC的中点M在

8、y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程解(1)（法一）设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(3,2)，1，a5，l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.（法二）由题意，所求直线的斜率k存在且k0，设直线方程为y2k(x3)，令y0，得x3，令x0，得y23k，由已知323k，解得k1或k，直线l的方程为y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.(2)由xy10得此直线的斜率为，所以倾斜角为120，从而所求直线的倾斜角为60，故所求直线的斜率为.又直线过

9、点A(，3)，所以所求直线方程为y3(x)，即xy60.(3)设C(x0，y0)，则M，N.因为点M在y轴上，所以0，所以x05.因为点N在x轴上，所以0，所以y03，即C(5，3)，所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为1，即5x2y50.点评：当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程解(1)因

10、为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过A(3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标为(0,2)所求直线方程为y22(x0)，即2xy20. 考点三直线方程的综合应用 处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能

11、够看出“动中有定”典例2已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程(1)证明：（法一）直线l的方程可化为k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2,1)（法二）方程kxy12k0可化为y1k(x2)，显然直线恒过定点(2,1)(2)解：由方程知，当k0时，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，)(3)

12、解：由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.点评：本例(3)在求解中常忽略条件，的书写，进而导致S最值的求解失误1已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当|取得最小值时，直线l的方程为_xy30设A(a,0)，B(0，b)，则a0，b0，直线l的方程为1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.2已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，当a时，四边形的面积最小，故实数a的值为.