（新课标人教版A）数学必修一：1-3-2-1函数的基本性质课件.ppt

1、1.3.2 奇偶性第 1 课时 函数奇偶性的概念【课标要求】1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2掌握判断函数奇偶性的方法3了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系【核心扫描】1对函数奇偶性概念的理解(难点)2根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性(重点)自学导引1函数奇偶性的概念设函数 f(x)的定义域为 D，(1)偶函数：对任意 xD，都有，则 f(x)为偶函数(2)奇函数：对任意 xD，都有，则 f(x)为奇函数想一想：若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)等于什么？提示 f(0)0.f(x)f(x)f(x)f(x)2奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于对称(2)奇函数的图象关

2、于对称想一想：奇函数、偶函数的图象有何特征？提示(1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数(2)若一个函数是偶函数，则其图象关于 y 轴对称，反之，若一个函数图象关于 y 轴成轴对称，则其必为偶函数y轴原点名师点睛1正确理解函数奇偶性的概念(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质(3)函数 f(x)c(c 是常数)是偶函数，当 c0 时，该函数既

3、是奇函数又是偶函数提醒 判断函数的奇偶性，应先看其定义域是否关于原点对称哟！2用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(1)要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件)，然后再确定 f(x)与 f(x)的关系：若 f(x)f(x)，则此函数为奇函数；若 f(x)f(x)，则此函数为偶函数；若 f(x)f(x)，同时 f(x)f(x)，则此函数为既奇又偶函数(

4、2)在判断 f(x)与 f(x)的关系时，可以从 f(x)开始化简，也可以去考虑 f(x)f(x)或 f(x)f(x)是否为 0，当 f(x)不等于 0 时也可考虑，fxfx 与 1 或1 的关系题型一 判断函数的奇偶性【例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3xx23；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x)2x22xx1.思路探索 确定完函数的定义域后，再严格按照函数奇偶性的定义来判断解(1)f(x)的定义域是 R，又 f(x)3xx23 3xx23f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是 R，又 f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数(3)函数

5、f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数规律方法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断 f(x)是否等于f(x)，或判断 f(x)f(x)是否等于 0，从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对称，则函数为偶函数【变式 1】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)|x1|x1|；(2)f(x)13 x2；(3)f(x)x1 1x.解(1)f(x)定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)|x1|x1|x1|x1|f

6、(x)，f(x)为奇函数(2)f(x)定义域为x|x0，关于原点对称，又 f(x)13 x2 13 x2f(x)，故 f(x)为偶函数(3)由x10，1x0，得：x1 且 f(1)0，表示点(1,0)，故 f(x)为非奇非偶函数题型二 分段函数的奇偶性【例 2】已知函数 f(x)x22x3 x0，试判断 f(x)的奇偶性思路探索 本题可根据奇偶性的定义判断，同时要注意对 x 所属区间的讨论也可利用图象判断解 法一 f(x)的定义域为 R.当 x0，f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)；当 x0 时，有 f(x)f(x)0.当 x0 时，x0 x0 x0的奇偶性解 函数 f(x)的定义域

7、是 R，关于原点对对称，当 x0，f(x)x1(x1)f(x)；另一方面，当 x0 时，x0，f(x)x1(x1)f(x)，而 f(0)0，f(x)是奇函数题型三 奇偶函数的图象及应用【例 3】(12 分)如图所示，已知 f(x)1x21在区间0，)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定义域内的图象，并说明你的作图依据审题指导 先判断 f(x)的奇偶性，再利用奇偶性作出图象规范解答 由 f(x)1x21，知 f(x)的定义域为 R，(3 分)任意 xR，都有 f(x)1x211x21f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，(6 分)故函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，其图象如图所

8、示(12 分)【题后反思】若知道一个函数的奇偶性，则只需把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得到函数在一部分上的性质和图象，利用图象的对称性就可以推出函数在另一部分上的性质和图象【变式 3】设奇函数 f(x)的定义域为5,5，当 x0,5时，函数 yf(x)的图象如图所示，则使函数值 y0 的 x 的取值集合为_解析 由原函数是奇函数，所以 yf(x)在5,5上的图象关于坐标原点对称，由 yf(x)在0,5上的图象，得它在5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为(2,0)(2,5)答案(2,0)(2,5)误区警示 判断函数奇偶性时，因忽略定义域而出错【示例】判断函数 f(x)(x1)1x1x的奇偶性错解 f(x)1x21x1x 1x1x 1x2，f(x)1x2 1x2f(x)，f(x)为偶函数错解中没有判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性正解 函数 f(x)的定义域为x|1x1，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论单击此处进入 活页限时训练