（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 操作与探究.doc

1、操作与探究 1、（13 年北京 5 分 22）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为)2(aa的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形 MNPQ 的面积。小明发现：分别延长 QE，MF，NG，PH，交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝 隙，不 重 叠），则 这 个 新 的 正 方 形 的 边 长 为_；（2）求正方形 MNPQ 的面积。参考小明思考

2、问题的方法，解决问题：如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边RPQ，若33RPQS，则 AD 的长为_。解析：考点：操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）2、（2013 成都市）如图，ABC，为O 上相邻的三个n 等分点，弧 ABBC，点 E在弧 BC 上，EF 为O 的直径，将O 沿 EF 折叠，使点A 与A 重合，连接EB，EC，EA.设EBb，ECc，EAp.先探究,b c p 三者的数量关系：发现当3n 时，pbc.请继续探究,b c p 三者的数量关系：当4n 时，p _；当12n

3、时，p _.（参考数据：62sin15cos754oo，62cos15sin 754oo）答案：cb 2；cb21322或cb 226 解析：3、（2013 山西，21，8 分）（本题 8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上的一点，点 E 是 AC 的中点。（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。作DAC 的平分线 AM。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。【解析】解：作图正确，并有痕迹。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。（2）猜想与证明：试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。【解析】解：

4、AFBC 且 AF=BC 理由如下：AB=AC,ABC=CDAC=ABC+C=2C 由作图可知：DAC=2FAC C=FAC.AFBC.E 是 AC 的中点，AE=CE,AEF=CEB AEFCEB AF=BC.4、（13 年山东青岛、23）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图和图发现并验证了平方差公式和完全平方公式 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。【研究速算】提出问题：4743，5654，7971，是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以

5、 4743 为例：（1）画长为 47，宽为 43 的矩形，如图，将这个 4743 的 矩形从右边切下长 40，宽 3 的一条，拼接到原矩形的上面。（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，4743 的矩形面积或（4073）40 的矩形与右上角 37 的矩形 面积之和，即 4743（4010）403754100 372021 用文字表述 4743 的速算方法是：十位数字 4 加 1 的和与 4 相乘，再乘以 100，加上个位数字 3 与 7 的积，构成运算结果 bbaaabba第 23 题图第 23 题图4043473740第 23 题图归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10

6、 的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）_ _ 【研究方程】提出问题：怎么图解一元二次方程?)0(03522xxx 几何建模：（1）变形：35)2(xx（2）画四个长为2x，宽为 x 的矩形，构造图 （3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，2)2(xx或四个长2x，宽 x 的矩形之和，加上中间边长为 2 的小正方形面积 即：222)2(4)2(xxxx 35)2(xx 222354)2(xx 144)22(2 x 0 x 5x 归纳提炼：求关于 x 的一元二次方程)0.0,0()(cbxcbxx的解 要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标

7、注相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎么运用矩形面积表示)3)(2(yy与52 y的大小关系（其中0y）？几何建模：（1）画长3y，宽2y的矩形，按图方式分割（2）变形：)3()2(52yyy（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为)3)(2(yy；阴影部分面积可以表示为1)3(y，x+2xxx+2xx+2x+2x第 23 题图11y111y第 23 题图画点部分的面积可表示为2y，由图形的部分与整体 的关系可知：)3)(2(yy)3()2(yy，即)3)(2(yy52 y 归纳提炼：当2a，2b时，表示ab 与ba 的大小关系 根据题意，设ma 2，)0,0(2nmnb，要求参照上述研究

8、方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）解析：5、(2013 年江西省)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰ABC 中，AB=AC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 所示，其中 DFAB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）AF=AG=21 AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB 数学思考：在任意ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2 所

9、示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探索：在任意ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图 3 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断MED 的形状 答：【答案】解：操作发现：数学思考：答：MD=ME，MDME，、MD=ME；如图 2，分别取 AB，AC 的中点 F，G，连接 DF，MF，MG，EG，M 是 BC 的中点，MFAC，MF=21 AC 又EG 是等腰 RtAEC 斜边上的中线，EGAC 且 EG=21 AC，MF=EG 同理可证 DF=MG M

10、FAC，MFABAC=180 同理可得MGA+BAC=180，MFA=MGA 又EGAC，EGA=90 同理可得DFA=90，MFA+DFA=MGA=EGA，即DFM=MEG，又 MF=EG，DF=MG，DFMMGE（SAS），MD=ME 2、MDME；证法一：MGAB，MFA+FMG=180，又DFMMGE，MEG=MDF.MFA+FMD+DME+MDF=180，其中MFA+FMD+MDF=90，DME=90.即 MDME；证法二：如图 2，MD 与 AB 交于点 H，ABMG，DHA=DMG，又DHA=FDM+DFH,即DHA=FDM+90,DMG=DME+GME，DME=90 即 MDM

11、E；类比探究 答：等腰直角三解形【考点解剖】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高【解题思路】（1）由图形的对称性易知、都正确，DAB=DMB=45也正确；（2）直觉告诉我们 MD 和 ME 是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图 1DFMMGE 的启发，应想到取中点构造全等来证 MD=ME，证 MDME 就是要证DME=90，由DFMMGE 得EMG=MDF,DFM 中四个角相加为 180，FMG 可看成三个角的和，通过变形计算可得DME=90（3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.【

12、解答过程】略.【方法规律】由特殊到一般，形变但本质不变（仍然全等）【关键词】课题学习 全等 开放探究 6、（2013 山西，25，13 分）（本题 13 分）数学活动求重叠部分的面积。问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，将两块全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 叠放在一起，其中ACB=E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点 D 与边 AB 的中点重合，DE 经过点 C，DF 交 AC 于点 G。求重叠部分（DCG）的面积。（1）独立思考：请解答老师提出的问题。【解析】解：ACB=90D 是 AB 的中点,DC=DB=DA,B=DCBGEFCBAD（25 题（1）又ABC

13、FDE，FDE=B FDE=DCB,DGBCAGD=ACB=90DGAC 又DC=DA,G 是 AC 的中点,CG=12AC=128=4,DG=12BC=126=3 SDCG=12CGDG=1243=6（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF 绕点 D 旋转，使 DEAB 交 AC 于点 H，DF 交 AC 于点 G，如图(2)，你能求出重叠部分(DGH)的面积吗？请写出解答过程。【解析】解法一：ABCFDE,B=1321GHEFCBAD C=90,EDAB,A+B=90,A+2=90,B=2,1=2 GH=GD A+2=90,1+3=90 A=3,AG=GD，AG=GH 点 G

14、是 AH 的中点，在 RtABC 中，AB=10 D 是 AB 的中点，AD=12AB=5 在ADH 与ACB 中，A=A，ADH=ACB=90,ADHACB,ADAC=DHCB,58=6DH,DH=154,SDGH 12SADH 12 12DHAD=141545=7516（25 题（2）解法二：同解法一，G 是 AH 的中点，321GHEFCBAD 连接 BH，DEAB，D 是 AB 的中点，AH=BH，设 AH=x 则 CH-在 RtBCH 中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得 x=SABH=AHBC=12 2546=754 S=12SADH=12 12 SABH=

15、14 754=7516.321NMGHEFCBAD 解法三：同解法一，1=2 连接 CD，由（1）知，B=DCB=1，1=2=B=DCB，DGHBDC,作 DMAC 于点 M，CNAB 于点 N，D 是 AB 的中点，ACB=90 CD=AD=BD，点 M 是 AC 的中点，DM=12 BC=12 6=3 在 RtABC 中，AB=222286ACBC+=+=10，12ACBC=12ABCN，CN8 624105ACBCAB创=.DGHBDC,2DGHBCDCSDMSCN,2DGHBCDCDMSSCN=212DMBD CNCN （25 题（2）（25 题（2）231257552524164DG

16、HS （3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将DEF 绕点 D 旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将DEF 绕点 D 旋转，DE，DF 分别交 AC 于点 M，N，使 DM=MN 求重叠部分(DMN)的面积、任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出DMN 的面积是 请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。NMEFCBADNM EFCBAD 【答案】7516 注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得 1 分，画图正确得 1 分，重叠部分未涂

17、阴影不扣分。示例：如图，将DEF 绕点 D 旋转，使 DEBC 于点 M，DF 交 AC 于点 N，求重叠部分（四边形 DMCN）的面积。（25 题（3）（25 题（4）7、（2013 达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。FF 原题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF=45，连接 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由。（1）思路梳理 AB=CD，把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，可使 AB 与 AD 重合。ADC=B=90，FDG=180，点 F、D、G 共线。根据_SAS_，易证

18、AFG_AFE_，得 EF=BE+DF。（2）类比引申 如图 2，四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90点 E、F 分别在边 BC、CD 上，EAF=45。若B、D 都不是直角，则当B 与D 满足等量关系_互补_时，仍有 EF=BE+DF。（3）联想拓展 如图 3，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且DAE=45。猜想 BD、DE、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程。解：BD2+EC2=DE2 解析：(1)SAS(1 分）AFE(2 分）(2)B+D=180(4 分）(3)解：BD2+EC2=DE2.(5 分）AB=AC，把ABD 绕 A 点逆时

19、针旋转 90至ACG，可使 AB 与 AC重合.ABC 中，BAC=90.ACB+ACG=ACB+B=90,即ECG=90.EC2+CG2=EG2.(7 分）在AEG 与AED 中,EAG=EAC+CAG=EAC+BAD=90-EAD=45=EAD,又AD=AG，AE=AE，AEGAED.DE=EG.又CG=BD,BD2+EC2=DE2.(9 分）8、（2013 陕西压轴题）问题探究（1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点 M），使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决（3）

20、如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果 AB=a，CD=b，且ab，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由.考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。（1）问较易解决

21、，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。（2）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有这些知识的积累足够解决。（3）问中可以考虑构造（1）（2）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线构造全等三角形或者是平行四边形）二是中位线的应用。解：（1）如图所示（2）如图，连接 AC、BD 相交于点 O，作直线 OM 分别交 AD、BC 于 P、Q 两点，过点 O 作用 OM 的垂线

22、分别交 AB、CD 于 E、F 两点，则直线 OM、EF 将正方形 ABCD 的面积四等分.理由如下：点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，点 O 是正方形 ABCD 的对称中心 答图ABCDM（第 25 题答案图）答图OPQFE图图ABCDMB图ACDP（第 25 题图）AP=CQ，EB=DF，D 在AOP 和EOB 中，AOP=90-AOE，BOE=90-AOE AOP=BOE OA=OB，OAP=EBO=45AOPEOB AP=BE=DF=CQ AE=BQ=CF=PD 设点 O 到正方形 ABCD 一边的距离为d.dDFPDdCFCQdBQBEdAEAP)(21)(21)(21)(2

23、1 POFDCQOFBEOQAPOESSSS四边形四边形四边形四边形 直线 EF、PQ 将正方形 ABCD 面积四等分 另解：点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，点 O 是正方形 ABCD 的中心 OA=OB=OC=OD OAP=OBE=OCQ=ODF=45 PQEF，POD+DOF=90，POD+POA=90 POA=DOF 同理：POA=DOF=BOE=COQ AOPBOECOQDOF ABCDPOFDCQOFBEOQAPOESSSSS正方形四边形四边形四边形四边形41 直线 EF、PQ 将正方形 ABCD 面积四等分（3）存在.当 BQ=CD=b 时，PQ 将四边形 ABCD 面积

24、二等分.理由如下：如图，延长 BA 至点 E，使 AE=b，延长 CD 至点 F，使 DF=a，连接 EF.BECF，BE=CF 四边形 BCFE 为平行四边形，BC=BE=a+b，平行四边形 DBFE 为菱形 连接 BF 交 AD 于点 M，则MABMDF AM=DM.即点 P、M 重合.点 P 是菱形 EBCF 对角线的交点，在 BC 上截取 BQ=CD=b，则 CQ=AB=a.设点 P 到菱形 EBCF 一边的距离为 d CDPCQPQBPABPSSdCDCQdBQABSS)(21)(21 所以当 BQ=b 时，直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分.另解：存在.当 BQ

25、=CD=b 时，PQ 将四边形 ABCD 面积二等分.理由如下：如图，连接 BP 并延长 BP 交 CD 延长线于点 F，连接 CP 点 P 是 AD 的中点，PA=PD ABCD，ABP=DFP，APB=DPF APBDPF AB=DF，PB=PF，所以 CP 是CBF 的中线，CPFCPBSS AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，CBF=CFB ABP=DFPABP=CBP 即 PB 是角平分线.B答图ACDP（第 25 题答案图）MQFEB答图ACDP（第 25 题答案图）QF点 P 到 AB 与 CB 的距离相等，BQ=b，所以 CQ=AB=a CQPABPSS QCDPABQPSS四边形四边形 所以当 BQ=b 时，直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分.