专题28.13 解直角三角形的应用（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题28.13 解直角三角形的应用（巩固篇）（专项练习）一、单选题1数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m参考数据：，）A28mB34mC37mD46m2如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是20米，梯坎坡长是12米，梯坎坡度，则大楼的高度约为（精确为0.1米，参考数据：，）（）A39.4B37.9C32.1D30.63为做好疫情防控工作，确保师生生

2、命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（）A米B米C10米D米4如图，在A处测得点P在北偏东60方向上，在B处测得点P在北偏东30方向上，若AP=6千米，则AB两点的距离为（）千米A4BC2D65如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30的方向航行10km到A处然后右转40再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（）A北偏东20B北

3、偏东30C北偏东35D北偏东406如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是（）米（结果保留根号）ABCD7如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道若点A的高AEa米，水平赛道BCb米，赛道AB，CD的坡角均为，则点D与点A的水平距离DE为()A米B( b)米C(a-b)sin米D(ab)cos米8如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角是45，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米

4、，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i1：，则大楼AB的高度为()（精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.45）A30.4B36.4C39.4D45.49如图，已知窗户高米，窗户外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板米，当太阳光线与水平线成角时，光线刚好不能直接射入室内，则的关系式是（）An=mtan-0.2Bn=mtan+0.2Cm=ntan-0.2Dm=ntan+0.210如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点的距离是4米，折断部分与地面成的夹角，那么原来这棵树的高度是（）A米B米C米D米二、填空题11东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环小亮在如意桥上

5、看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面的A处测得在C处的游艇俯角为；他登高到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为，则两次观测期间游艇前进了_米（结果精确到，参考数据：）12某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60，则旗杆的高度约为_m（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）13如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80方向的B岛直线行驶测得C岛在A岛的北偏东50方向，在B岛的北偏西40方向A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是_n

6、mile（参考数据：，）14喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为_米（结果保留整数，参考数据：）15太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i1：，BECA60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FEAB于点E.点A到地面的垂

7、直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是_cm.（结果保留根号）16如图，小明在P处测得A处的俯角为15，B处的俯角为60，PB30m若斜面AB坡度为，则斜坡AB的长是_m17如图，楼和树都垂直于水平地面，若楼高米，楼与树之间的距离米，则树高为_米18如图1是劳动课上同学们组装的一个智能机器臂水平操作台为l，底座AB固定，AB长度为24cm，连杆BC长度为30cm，手臂CD长度为28cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内如图2，转动连杆BC和手臂CD，当，时，端点D离操作台l的高度DE为_cm三、解答题19如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做

8、成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m(1)求点B距水平而AE的高度BH(2)求宣传牌CD的高度（结果精确到0.1米参考数据：1.414 ,1.732 ）20为保护师生健康，深圳某中学在校门安装了测温门，如图为该“测温门”示意图身高1.7米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的

9、仰角为60如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，1.73，最后结果精确到0.1米）21小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60方向(1)求C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离（结果保留根号）22如图，某渔船沿正东方向以10海里小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁参考数据：，(1

10、) B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2) 如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？23小华同学在数学实验活动中是测量自己学校门口前路灯的高度，如图，校门E处，有一斜坡EB，斜坡EB的坡度i=12.4；从E点沿斜坡行走了4.16米到达斜坡顶的B处在B处看路灯顶端O的仰角为35，再往前走3米在D处，看路灯顶端O的仰角为65，则路灯顶端O到地面的距离约为（）tan350.7，tan652.1A5.5米B4.8米C4.0米D3.2米24如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，且，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面已知山坡的坡角，量得树干倾

11、斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，米(1) 求的度数；(2) 求这棵大树折断前的高度结果保留根号25如图是某种自动卸货时的示意图，时水平汽车底盘，是液压举升杠杆，货车卸货时车厢与底盘夹角为，举升杠杆与底盘夹角为，已知举升杠杆上顶点离火车支撑点的距离为米试求货车卸货时举升杠杆的长26如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角BAC30，投影屏幕高BCm固定投影仪的吊臂AD0.5m，且ADDE，ADEF，ACB45，求(1) AC的长（结果保留根号）；(2) 屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE（结果精确到0.1m）（选用数据1.4，1.7）参考答案1C【分析】在RtABD中，解直角三角形求出，

12、在RtABC中，解直角三角形可求出AB解：在RtABD中，tanADB，在RtABC中，tanACB，解得：m，故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键2D【分析】延长AB交DC于H，作EGAB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在RtBCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度解：依题意得：DEC=90，如图延长AB交DC于H，过E作EGAB于G， GHG=EGH=90，四边形HDEG

13、是矩形.GH=DE=15米，EG=DH，梯坎坡度i=1：，BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在RtBCH中，x=6，BH=6米，CH=6米，BG=GHBH=156=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），=45，EAG=9045=45，AG=EG=6+20（米），AB=AG+BG=6+20+9=（6+29）39.4米故选：D【点拨】此题考查了解直角三角形的应用坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键3B【分析】先证明，在中， 米，由即可求解解：由题意可知，米，（米），在中，米，（米），（米）故选：B【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定及

14、解直角三角形的应用，掌握特殊角的三角函数是解题的关键4D【分析】证明AB=PB，在中，求出PC=千米，在中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案解：由题意知：， 在中，千米千米，在中， 千米千米故选：D【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义及方向角是解题关键5C【分析】连接BC，由锐角三角函数定义得AC=PA= km，则AC=AB，再由等腰三角形的性质得ACB=ABC=35，即可得出结论解：如图，连接BC，由题意得：ACP=ACD=90，PAC=30，PA=10km，BAE=40，AB=km，BAC=180PACBAE=1803040=110，cosPAC=cos30

15、= ，AC=PA=10= km，AC=AB，ACB=ABC=（180BAC）=（180110）=35，即B处在C处的北偏东35方向，故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC的长是解题的关键6B【分析】作BCAC于点D，在中利用三角函数求得AD的长，在中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得解：如图，作BDAC于点D，在中，(米)，在中，（米），则(米)故选：B【点拨】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形

16、的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角定理：直角三角形中所对直角边是斜边的一半7B【分析】如图，过B作，过C作，解直角三角形，根据进行计算即可解：过B作，过C作由题意得：，故选B【点拨】本题考查解直角三角形的应用解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形8C【分析】延长AB交DC于H，作EGAB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在RtBCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大楼AB的高度解：如图，延长AB交DC于H，作E

17、GAB于G，则GHDE15米，EGDH，梯坎坡度i1：，BH：CH1：，设BHx米，则CHx米，在RtBCH中，BC12米，由勾股定理得：x2+（x）2122，解得：x6，BH6米，CH6米，BGGHBH1569（米），EGDHCH+CD（6+20）（米），45，EAG904545，AEG是等腰直角三角形，AGEG（6+20）（米），ABAG+BG6+20+939.4（米）；故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键9C【分析】根据CB=CA+AB求出CB的长，再利用三角函数求出m的值即可解：窗子高AB=m米，窗子外

18、面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=n米，CB=CA+AB=（m+0.2）米，光线与水平线成角，BDC=，tanBDC=，CB=ntan，m=ntan-0.2，故选：C【点拨】本题主要考查三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键10B【分析】通过解直角三角形即可求得解：在中，故原来这棵树的高度为：(米)，故选：B【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键1136【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出BDO=50，ACO=23，OA=30m，AB=12m，在RtBOD中，解直角三角形求得OD的长度，在RtAOC中，解直角

19、三角形求出DC的长度即可解：设BA与CD的延长线交于点O，根据题意易得：BDO=50，ACO=23，OA=30m，AB=12m，在RtBOD中，解得：，在RtAOC中，答：两次观测期间龙舟前进了米【点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法1212.7【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DEAB，交直线AB于点E设DE=x m，在RtBDE中，进而求得，在RtADE中，求得，根据CD=CE-DE可得出答案解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DEAB，则CE=30m，AB=20m，EAD=30，EBD=60，设D

20、E=x m，在RtBDE中，解得则m，在RtADE中，解得m，CD=CE-DE故答案为：12.7【点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键1334【分析】作与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离，设，表示出，利用，解得：解：作与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离，由图可知：，设，则，解得：C岛到航线AB的最短距离是34 nmile故答案为：34【点拨】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解CF为C岛到航线AB的最短距离，求出，利用求解1487【分析】过点作，垂足为，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再根据米，列

21、出关于的方程，进行计算即可解答解：过点作，垂足为，设米，在中，（米），在中，（米），米，米，点到赛道的距离约为87米，故答案为：87【点拨】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键15【分析】延长BA交直线DF于点G，过点A作AHGF于H，根据坡度的概念求出G30，根据直角三角形的性质求出AG，进而求出EG，根据正切的定义计算，得到答案解：延长BA交直线DF于点G，过点A作AHGF于H，由题意可知，CDGF，AH50cm，AB坡度i1：，tanG，G30，AG2AH100cm，CGAC+AG160cm，EGAB+AGBE320+10060

22、360（cm），在RtGEF中，tanG，则，解得：EF120（cm），故答案为：120.【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形1630【分析】根据斜面AB坡度为，求出，再利用角之间的关系求出，进一步得到解：斜面AB坡度为，即，在P处测得A处的俯角为15，B处的俯角为60，故答案为：30【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键1715【分析】过点C作于点E，结合题意易得四边形BDCE是矩形，进而求出，再利用锐角三角函数的定义求出AE的长度，最后用来求解解：过点C作于点E，如下图楼和树都

23、垂直于水平地面，米，四边形BDCE是矩形，（米），（米），（米）故答案为：15【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义和矩形的判定和性质，角三角函数的定义是解答此题的关键18【分析】作CFDE于F，BGDE于G，CHAE于H交BG于K，易得四边形BAEG是矩形，四边形CKGF是矩形，分别解RtBCK和RtDCF求出CK和DF即可解决问题解：如图，作CFDE于F，BGDE于G，CHAE于H交BG于K，则CHDE，CFBG，ABAE，AEDE，BGDE，四边形BAEG是矩形，GEAB24cm，ABG90，CBG1359045，CHDE，CFBG，四边形CKGF是平行四边形，BGF90，平行四边形C

24、KGF是矩形，BKCCKG90，CKFG，CKBCsin4530cm，即FGcm，BCF4590135，DCF16513530，DF，端点D离操作台l的高度DEDFFGGE1424cm，故答案为：【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线构造出直角三角形是解题的关键19(1)点B距水平面AE的高度BH是2米(2)广告牌CD的高度约为2.1米【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在RtABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点B作BFCE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在RtADE中，利用锐角三角函数的定义求

25、出DE的长，再在RtBFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答（1）解：在RtABH中，BH：AH=1:3，设BH=a,则AH=3a，AB=2，由勾股定理得BH=2，答:点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在RtABH中, BH=2，AH =6，在RtADE中, tanDAE=.，即DE=tan60 AE=8 ，如图,过点B作BFCE ,垂足为F，BF= AH + AE=6+8 =14，DF= DE- EF= DE- BH =82，在RtBCF中,C=CBF=45， CF= BF= 14, CD=CF- DF =14（82）= 148+22.1答：广告牌CD的高

26、度约为2.1米【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键20测温门顶部A距地面的高度约为2.6米【分析】延长BC交AD于点E，构造直角ABE和矩形EDMB，设AE=x米通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据BC=BE-CE得到1.73x-0.58x=1，解得即可求得AE 进而即可求得解：延长BC交AD于点E，设AE=x米，（米），（米），BC=BE-CE=1.73x-0.58x=1（米）解得x0.87，AE0.87（米），AD=AE+ED0.87+1.72.6（米）答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6

27、米【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键21(1)(2)米【分析】（1）过点A作交于点，根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果（2）过点B作BGAD于G，则有，可得，可求得，再根据可得结果解：（1）如图示，过点A作交于点，且且；（2）过点B作BGAD于G在中，在中，答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键22(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见分析(2)没有触礁危险，证明见分析【分析】（1）过C作于O，通过证明，即可求出CB的长；

28、判断C到AB的距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；（2）过C作交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断解：（1）过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，在A处测得岛C在北偏东的方向，又B处测得岛C在北偏东方向，（海里），如果渔船继续向东航行，有触礁危险；（2）过C作交BF于D，交BO于E，没有触礁危险【点拨】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决23B【分析】过点O作OFEC于点F，交BD延长线于点G，可得矩形ABDC和矩形CDGF，斜坡EB的坡度i=1：2.4，EB=4.1

29、6，根据勾股定理可得，AB=1.6，AE=3.84，然后根据锐角三角函数即可求出DG和OG的长，进而可得路灯顶端O到地面的距离解：如图，过点O作OFEC于点F，交BD延长线于点G，可得矩形ABDC和矩形CDGF，斜坡EB的坡度i=1：2.4，EB=4.16，即AB：AE=1：2.4，AE=2.4AB，根据勾股定理可得：，解得AB=1.6，AE=3.84，根据题意可知：AC=BD=3，FG=CD=AB=1.6，在RtBOG中，tanOBG= ，即tan350.7= ，在RtODG中，tanODG= ，即tan652.1= ，OG=2.1DG，0.7= ，解得DG=1.5OG=2.1DG3.15，

30、OF=OG+GF=3.15+1.64.754.8（米）所以路灯顶端O到地面的距离约为4.8米故选：B【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形求解24(1)(2)米【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据平角的定义计算，求出；（2）过点A作，垂足为M，根据正弦的定义求出、根据余弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，根据正弦的定义求出，结合图形计算，得到答案（1）解：在中，；（2）过点A作，垂足为M，在中，米，（米），（米），在中，（米），（米），米，答：这棵大树折断前高为米【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问

31、题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键25米【分析】过点作于点，先根据三角形的外角性质可得，设米，则米，再在中，解直角三角形可得米，米，然后在中，解直角三角形可得的值，由此即可得解：如图，过点作于点，设米，则米，米，米，在中，解得，经检验，是所列分式方程的解，米，答：货车卸货时举升杠杆的长为米【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键26(1)AC（+1）m(2)屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE为2.4m【分析】（1）过B作BHAC于H，过点A作APEF，垂足为P，分别计算CH、AH的长，就可以计算出AC；（2）在（1）的基础上，在等腰直角三角形ACP中，求出PC的长即可解决问题解：（1）过B作BHAC于H，过A作APEF于P，四边形ADEP是矩形，PEAD0.5m，在RtBCH中，BCm，ACB45，BHHC1m，在RtABH中，BAH30，AB=2m，AHm，AC（+1）m（2）在等腰直角三角形ACP中，AC（+1）m，PC（+1）m，CEPC+PE（+1）+0.52.4（m）答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE约为2.4m【点拨】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型