湖北省应城一中合教中心2020-2021学年高二下学期周测数学试题（5） WORD版含答案.doc

1、学校考号姓名班级 应城一中高二年级数学学科周测试卷（5）内容：2-1,2-2,2-3 一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若是虚数单位，则z的共轭复数为 A. B. C. D. 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为A. B. C. D. 3. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：若，则若，则若，则若，则其中真命题的序号为 A. B. C. D. 4. 三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为 A. 144B. 72C. 36D. 125. 等于A. 1B. C. D. 6. 从1，2，3，4

2、，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则A. B. C. D. 7. 动圆M经过双曲线的左焦点且与直线相切，则圆心M的轨迹方程是 A. B. C. D. 8. 已知奇函数在R上的导数为，当时，有，则使得不等式成立的x的取值范围为A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为 A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点E，F，且，以下结论正确的有 A. B. 异面直线AE，BF所成的角为定值 C. 点A到平面BEF的距离为定

3、值 D. 三棱锥的体积是定值11. 下列结论正确的有A. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是C. 若随机変量X服从二项分布，则D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12 12. 定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是 A. 存在有两个及两个以上对称中心的

4、三次函数B. 函数的对称中心也是函数的一个对称中心C. 存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D. 若函数，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 甲，乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制当一人先赢3局时获胜，比赛结束棋局以红棋和黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走假设甲执红棋时取胜的概率为，执黑棋时获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且没有和局若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3：2获胜的概率为_14. 从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是的有_对15. 我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉

5、三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，记作数列，若数列的前n项和为，则_16. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则实数m的取值范围为 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点若函数有两个相异的不动点，求实数m的取值集合在中的条件下，设不等式的解集为N，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围 18. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2求n的值；求含的项的系数；求展开式中系数最大的项为第几项，并写出该项 19. 三棱柱中，侧面为菱

6、形，求证：面面；在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 20. 某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计考生成绩均不低于90分，满分150分，将成绩按如下方式分为六组，第一组如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率； 以此样本的频率当作概率，现随机在高三学生中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望 21.

7、 已知椭圆C：的短轴长为，离心率为求椭圆的方程；求过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线，被椭圆截得的弦长；若直线l：与椭圆C相交于A，B两点B不是左右顶点，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标22. 已知函数 若曲线在处的切线与直线平行，求k的值；若对于任意且，都有恒成立，求实数k的取值范围；若对于任意，都有成立，求整数k的最大值应城一中合教中心2019级高二下学期数学周测试题（五）命题人：骆江涛审题人：李继中测试时间： 2021.3.31一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若是虚数单位，则z的共轭复数为 A. B. C. D. 【答案】C【解析

8、】【分析】本题考查复数的运算和共轭复数，属基础题根据四则运算法则化简为标准形式，写出共轭复数即可【解答】解：，故选C2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查求出双曲线的渐近线方程与已知渐近线方程对比，即可求出m的值【解答】解：由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得故选：D3. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：若，则若，则若，则若，则其中真命题的序号为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线、

9、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题熟练掌握线线、线面、面面平行和垂直的判定和性质是解题的关键，对四个命题逐项判断即可【解答】解：若，则m与n的位置关系不能确定，所以命题错误；若，则，命题正确；若两平面垂直于同一条直线，则这两平面平行，所以命题正确；两直线同时平行于一个平面，这两条直线的位置关系不能确定，所以命题错误4. 三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为 A. 144B. 72C. 36D. 12【答案】B【解析】【分析】本题考查排列与排列数公式的实际应用，属于基础题先将三位老师排好，再将3名学生排在靠左的3个空里或靠右的3个空

10、里，即可得解【解答】解：先将三位老师排好，共有种排法，再将3名学生排在靠左的3个空里或靠右的3个空里，共有种排法，所以不同的排法总数共有种不同的排法故选B5. 等于A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题由题意得原式【解答】解：逆用二项式定理，将1看成公式中的a，看成公式中的b，可得原式故选C6. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了条件概率的求法，属于中档题解法一：根据公式求解即可关键是

11、的求法，所包含的基本事件数分两类，第一类第一次取到的是1，5，7之一，第二次从3，6，9中取；第二类第一次取到3，9之一，第二次从剩余的一个和6中任意取，利用组合数的公式和乘法原理得到解法二：利用求解，其中的求法参考解法一【解答】解法一：由题意，解法二：解：由题意可得，故选B7. 动圆M经过双曲线的左焦点且与直线相切，则圆心M的轨迹方程是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的概念及标准方程、圆有关的轨迹问题的相关知识，试题难度一般由题意圆心M到点F的距离和到直线的距离相等，转化为抛物线方程求解【解答】解：双曲线的左焦点为，动圆M经过F且与直线相切，则圆心M到点F

12、的距离和到直线的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是焦点为F，准线为的抛物线，其方程为8. 已知奇函数在R上的导数为，当时，有，则使得不等式成立的x的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系，以及函数导数求解不等式，属于较难题由题可知，令，判断的单调性、奇偶性，再分情况讨论当时，等价于，当时，等价于，求解即可知x的取值范围【解答】解：因为当时，即，令，则定义域为，是奇函数，且当时，则当时，单调递减，所以在上是减函数，易知当时，当时，所以当时，等价于，解得，当时，等价于，解得，综上，x的取值范围是故选：C二、多项选择题（本大题共4小题，

13、共20.0分）9. 已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】本题考查椭圆、双曲线的方程以及简单性质，并且考查了等比数列的性质，也考查分类讨论的数学思想方法，是中档题由已知求得a值，然后分类讨论求得圆锥曲线的离心率【解答】解：三个数1，a，9成等比数列，则，当时，曲线方程为，表示椭圆，则长半轴长为，半焦距为1，离心率为；当时，曲线方程为，表示双曲线，则实半轴长为，半焦距为，离心率为故选BC10. 如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点E，F，且，以下结论正确的有A. B. 异面直线AE，BF所成的角为定值C. 点A到平面BEF的距离为定值D

14、. 三棱锥的体积是定值【答案】ACD【解析】解：因为，可证平面，从而，故A正确取特例，当点E与点重合时，F是，AE即平行，异面直线AE，所成的角是，当F与重合时，E是，BF即，异面直线，BF所成的角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不是定值，故B错误连接BD交AC于O，平面，点A到平面的距离是，也即点A到平面BEF的距离是，故C正确为三棱锥的高，又，故三棱锥的体积为为定值，故D正确，故选：ACD因为，由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理可得，即可判断A是否正确取特例，异面直线AE，所成的角是，异面直线，BF所成的角不相等，即可判断B是否正确由平面，推出点A到平面的距离是，即可

15、判断C是否正确先求三棱锥的高，再求，进而可得三棱锥的体积，即可判断D是否正确，本题考查立体几何问题，直线与平面的位置关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题11. 下列结论正确的有A. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是C. 若随机変量X服从二项分布，则D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了分步乘法原理和古典概型，考查了利用二项分布求概率和平

16、均数、中位数，众数的应用，属于中档题利用分步乘法原理判断A，利用古典概型判断B，利用二项分布求概率判断C，利用平均数、中位数，众数进行讨论求解判断D【解答】解：对于A，根据题意，公共汽车沿途5个车站，则每个乘客有5种下车的方式，则10位乘客共有种下车的可能方式，故A错误；对于B，两位男生和两位女生站成一排照相，基本事件总数，两位女生不相邻包含的基本事件个数，两位女生不相邻的概率，故B正确；对于C，若随机変量X服从二项分布，则，故C正确；对于D，设丢失的数据为x，则七个数据的平均数为，众数是3由题意知，这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，若，则中位数为3，此时平均数，解得；若则中位数为

17、x，此时，解得；若，则中位数为5，此时，解得综上，丢失数据的所有可能的取值为，4，18，三数之和为故D正确故选BCD12. 定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是 A. 存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B. 函数的对称中心也是函数的一个对称中心C. 存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D. 若函数，则【答案】BCD【解析】【分析】本题考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属

18、于较难题利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断A，C；分别求出函数与函数的对称中心判断B；求出函数的对称中心，可得，进一步求得，判断D【解答】解：对于设三次函数，易知是一次函数，任何三次函数只有一个对称中心，故A不正确；对于由，得，由，得，函数的对称中心为，又由，得，的对称中心是函数的一个对称中心，故B正确；对于设三次函数，所以联立得，即当时，存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心，故C正确对于，令，得，函数的对称中心是，设，所以所以，故D正确故选BCD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 甲，乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制当一人先赢3局时获胜，比赛结束棋局以红棋和

19、黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走假设甲执红棋时取胜的概率为，执黑棋时获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且没有和局若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3：2获胜的概率为_【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率，分类加法计数原理，属于中档题甲以3：2获胜，则第5局甲胜，前四局为平局，甲两胜两负，根据规则，甲执红旗开局，则前四局甲执棋顺序是“红黑红黑”，第5局甲执红棋，前四局甲取胜的可能的情况是：甲2次执红棋胜；甲2次执黑棋胜；甲一次执红棋胜，一次执黑棋胜由此能求出甲以3：2获胜的概率【解析】解：甲以3：2获胜，则第5局甲胜，前四局为平局，甲两胜两负，根据规则，甲执红旗开

20、局，则前四局甲执棋顺序是“红黑红黑”，第5局甲执红棋，前四局甲取胜的可能的情况是：甲2次执红棋胜；甲2次执黑棋胜；甲一次执红棋胜，一次执黑棋胜甲以3：2获胜的概率为：故答案为：14. 从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是的有_对【答案】48【解析】【分析】本题主要考查了异面直线所成角，组合和组合数公式，属于中档题利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果【解答】解：正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成角相对两面上的4条对角线组成的对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有对

21、，所以成角的有对故答案为4815. 我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，记作数列，若数列的前n项和为，则_【答案】2048【解析】【分析】本题考查了杨辉三角、二项式系数的和、等比数列的前n项公式的应用属较难题目解决问题的关键是弄清在杨辉三角中第几行第几列【解答】解：分析知第k行最后项在数列中的项数为，设位于第行，则，解得，且第11行最后一项在数列中的项数为，所以位于杨辉三角数阵的第12行第1个，而第一行各项和为，第二行各项和为，第

22、三行各项的和为，依此类推，第k行各项的和为，因此，故答案为204816. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则实数m的取值范围为 【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，由函数零点及方程根的关系即可解答本题【解答】解：由题意，当时，函数，此时，令，解得，所以当，单调递增，当时，单调递减，当时，函数在上无零点，又因为在上是二次函数，最多只有两个零点，所以不合题意，舍去当时，函数在上存在一个零点，此时，22有2个零点，将代入得，解得，由函数定义域得不合题意，舍去当时，函数在上存在两个零点，此时，有一个零点，即方程在有1个根，因为方程开口向上，对称轴或解得：综上，m的取值范围为故

23、答案为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点若函数有两个相异的不动点，求实数m的取值集合在中的条件下，设不等式的解集为N，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】解：由题意知方程，即有两个相异的实根，所以，解得或，即丨或因为“”是“”的充分不必要条件，所以N真包含于M解不等式，当时，；则等号不同时取到，解得； 当时，；则等号不同时取到，解得； 当时，不合题意，舍去综上可得实数a的取值范围是或【解析】本题主要考查函数与方程的综合应用，恒成立问题及命题的充分条件、必要条件，属于中档题函数总有两个相异的不动点，则方程有两个相异

24、的实根，再利用判别式，解不等式即可得到m的范围根据题目条件，解不等式，根据a的取值范围，分别求出N，综合可得实数a的取值范围18. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2求n的值；求含的项的系数；求展开式中系数最大的项为第几项，并写出该项【答案】解：， 设的展开式的通项为，则， 令得，含的项的系数为； 设展开式中系数最大的项为，则，解得，又， 展开式中系数最大的项为【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题根据第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2可解出根据通项公式，令可解；设展开式中系数最大的项为，则，解出r即

25、可求出19. 三棱柱中，侧面为菱形，求证：面面；在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【答案】证明：取BC中点O，连AO，又，又，面，面，面，面ABC，面面C.建立如图空间直角坐标系，则0，0，0，设，0，设平面的法向量为y，则取，又0，是面的一个法向量，即存在一点M满足条件，且【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题先由线面垂直的判定定理得出面，再由面面垂直的判定定理得出即可；建立空间直角坐标系，再由二面角为，即可求出的值20. 某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计考生成绩均不

26、低于90分，满分150分，将成绩按如下方式分为六组，第一组如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；以此样本的频率当作概率，现随机在高三学生中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望【答案】解：设第四、五组的频率分别为x，y，则，解得，频率分布直方图如下，；依题意可得：第四组人数为：，故；依题意可得：样本总人数为：，成绩不低于120分的人数为：，故在样本

27、中任选1人，其成绩不低于120分的概率为由已知的可能取值为0，1，2，3，的分布列如下0123P故 E【解析】利用频率分布直方图的性质即可得出依题意可得：第四组人数为：，可得依题意可得：样本总人数为：，成绩不低于120分的人数为：，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率由已知的可能取值为0，1，2，3，即可得出本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21. 已知椭圆C：的短轴长为，离心率为求椭圆的方程；求过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线，被椭圆截得的弦长；若直线l：与椭圆C相交于A，B两点B不是左右顶点，且以AB为

28、直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【答案】解：由题意可知：，解得，椭圆C的方程为：；椭圆C的方程为：，椭圆的右焦点坐标为，直线的方程为：，即，联立方程，消去y得：，设直线与椭圆的两个交点，即直线被椭圆截得的弦长为；设，联立方程，消去y得：，为直径的圆过椭圆C的右顶点，设椭圆C的右顶点为点P，则，整理得：，即，又直线l：不过右顶点P，直线l的方程为：，直线l过定点，故直线l过定点，该定点的坐标为【解析】根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可求得椭圆C的方程；先求出直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线被椭圆截得的弦长；设，由得，即，

29、联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理代入上式化简得到，又直线l：不过右顶点P，所以，所以，即，从而得到直线l的方程为：，直线l过定点本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题22. 已知函数 若曲线在处的切线与直线平行，求k的值；若对于任意且，都有恒成立，求实数k的取值范围；若对于任意，都有成立，求整数k的最大值【答案】解：由题意得：，又曲线在处的切线与直线平行，所以解得 因为，所以，记，又因为且，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，记，所以，令，解得，因为当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取到极小值，唯一的极小值为最小值，最小值为，所以 若对于任意，都有成立，所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 令，所以，再令，所以在恒成立，所以在上单调递增，又，所以必存在唯一的解，使得，即，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取到极小值，唯一的极小值为最小值，因为，所以，又因为，所以的最大整数为，所以整数k的最大值为【解析】本题考查导数的几何意义以及导数在恒成立问题中的应用，属难题求出导函数令，解得k的值即可由已知条件构造函数，转化为在上单调递增，则恒成立，分离出k，求出最值即可由题意转化为对于任意恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值的取值范围，即可得到k的值