小题压轴题专练17—立体几何（外接球2）—2022届高三数学一轮复习.doc

1、小题压轴题专练17立体几何（外接球2）一单选题1已知四面体中，是的中点，则四面体的外接球的表面积为ABCD2阿基米德多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的阿基米德多面体，且该阿基米德多面体的表面积为，则该阿基米德多面体外接球的体积为ABCD3已知，四点都在某个球表面上，与都是边长为1的正三角形，二面角的大小为，则该球的表面积为ABCD4正三棱锥底面边长为2，为的中点，且，则三棱锥外接球的体积为ABCD5已知在三棱锥中，侧棱平面，则三棱锥外接球的表面

2、积为ABCD6四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为ABCD7如图，三棱台中，平面平面，则该三棱台外接球的体积为ABCD8在四面体中，则该四面体外接球的表面积为ABCD二多选题9已知中，为边上的高，且，沿将折起至的位置，使得，则A平面平面B三棱锥的体积为8CD三棱锥外接球的表面积为10将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则AB四面体的表面积为C四面体的外接球的体积为D过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为11直三棱柱中，点是线段上的动点（

3、不含端点），则以下正确的有A平面B三棱锥的外接球的表面积为C的最小值为D一定是锐角12半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则A平面B该二十四等边体的体积为C该二十四等边体外接球的体积为D平面平面三填空题13如图，直三棱柱，为等腰直角三角形，且，分别是，的中点，为的中点，则四棱锥的外接球表面积为 14若在三棱锥中，平面，且直线与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球的表面积为 15如图，已知边长为1的正方形与正方形所在平面

4、互相垂直，为的中点，为线段上的动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 16在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的体积为 小题压轴题专练17立体几何（外接球2）答案1解：如图，四面体的外接球为球，连接，因为，则为所在小圆的直径，又因为，且，则，又是的中点，所以，又因为，则或，设球的半径为，则，在中，由余弦定理可知，则（不合题意，舍去），又，则，则，解得，所以球的表面积为故选：2解：由题意，可得阿基米德多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为，则其表面积为，阿基米德多面体的表面积为，得因此原正四面体的底面三角形的高为，原正四面体的高为，由题意知，原正四面体外接球的球心就是该

5、阿基米德多面体外接球的球心，设该阿基米德多面体外接球的半径为，球心为，根据正四面体的特征可知，到该阿基米德多面体正六边形侧面的距离为正四面体内切球的半径原正四面体的体积为，则；又阿基米德多面体每个正六边形侧面的外接圆的半径，则该阿基米德多面体外接球的体积为故选：3解：取线段的中点，连结，由题意得，是二面角的平面角，则，由题意得平面，分别取，的外心，过点，分别作两平面的垂线，两直线的交点为，则为三棱锥外接球的球心，连结，则球半径，由题意知，连结，在中，球的表面积为，故选：4解：如图，设，则，而，由勾股定理可得，即，则，由对称性可知，三棱锥外接球的球心在高上，由，得，设，则，解得三棱锥外接球的体积

6、为故选：5解：如图，平面，在中，得，又，平面，则、都是以为斜边的直角三角形，取中点，连接、，可得，则为三棱锥的外接球的球心，则三棱锥的外接球的半径为三棱锥的外接球的表面积为故选：6解：当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，设正四面体的棱长为，高为，内切球的半径为，如图，设底面正三角形的中心为，则，正四面体的表面积，由等体积法得，即，解得故选：7解：将三棱台补形为三棱锥，平面平面，可得球心在外接圆与外接圆的圆心连接上，且底面，和都是直角三角形，其外接圆的半径在斜边中点上，外接圆半径为3，外接圆的半径为4，由，由球心到球面距离都等于半径，设球心到的距离为，那么球心到的距离为，可得，

7、解得，那么；该三棱台外接球的体积；故选：8解：由，可知为等腰直角三角形，为等边三角形，将四面体可补形成正方体，如图所示即为外接球直径，则，从而外接球表面积故选：9解：选项，平面，平面平面，故正确；选项，由题可知，故错误；选项，由余弦定理可知，即，故正确；选项，平面，满足侧棱底面，可转化为直棱柱外接球求解，设外接圆半径为，锥高，设球的半径为，则由，可得，外接球面积，故正确；故选：10解：选项，如图，取中点为原点，建立空间直角坐标系，坐标如下，0，与不垂直，故错误；选项，四面体的表面积，故正确；选项，外接圆半径，锥高，外接球半径满足，解得，四面体外接球体积为，故正确；选项，如图，分别取，中点，四边

8、形为平行四边形，平面，平面，平面，由选项可知，为矩形，面积，故正确，故选：11解：如图，平面，平面，平面，而平面与平面重合，故正确；把直三棱柱补形为正方体，则三棱锥的外接球即正方体的外接球，外接球的半径为，外接球的表面积，故错误；把平面沿翻折，使平面与平面重合在处），可得的最小值为，故正确；设，则，且时取等号），由时取等号），则，可得一定为锐角，故正确故选：12解：对于，假设平面，于是，即，由对称性可知，六边形为正六边形，矛盾，故错误；对于，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，故正确；对于，取正方形对角线交点，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其体积，故正确；对于

9、，分别取、的中点、，连接、，则为平面与平面所成二面角的平面角，又平面平面，所以为平面与平面所成二面角的平面角，由已知可得，不满足，即平面与平面不垂直，故错误故选：13解：如图所示：直三棱柱，为等腰直角三角形，且，分别是，的中点，为的中点，取的中点，过作，所以，过作于点，所以：，所以点为四棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径为，所以：故答案为：14解：如图，取中点，连结、，又面，面，过作于，可得面，就是直线与平面所成角，相互垂直，以，为棱的长方体的外接球就是三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为故答案为：15解：，结合图象，当与重合时，的面积最大，三棱锥的体积最大在中，所以，所以设的外接圆半径为，由正弦定理有，所以因为平面，所以外接球半径满足，所以表面积为故答案为：16解：如图，平面，又，平面，则、都是以为斜边的直角三角形，取中点，连接、，可得，则为三棱锥的外接球的球心，则三棱锥的外接球的半径为1三棱锥的外接球的体积为故答案为：声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/24 14:55:40；用户：尹丽娜；邮箱：13603210371；学号：19839377第16页（共16页）