数学人教A版选修4-4学案：互动课堂 第一讲二　极坐标系 WORD版含解析.doc

1、互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.2.如图,极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做M的极径，叫做点M的极角，有序数对(,)就叫做M的极坐标.把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置.特别注意:(1)极点,极轴,长度单位,角度单位和它的正方向构成了极坐标系的四要素,缺一不可.(2)特别地,当M在极点时,它的极坐标=0,可以取任意值.极点O的坐标为(0,)(R).(3)一般地,不作特殊说明时,

2、0,可取任意实数.3.建立极坐标系后,给定(0)和,就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是:(1)由定射线.根据角确定点M所在的射线OM;(2)由取点.在射线OM上取|OM|=,点M的位置即可确定.4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(,)(0).特别注意:(1)一般地,极坐标(,)与(,+2k)(kZ)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.(2)如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.5.为完整起见,现作一补充:若0,我们规定点M(,)与点P(-,)关于极点对称.点M(,)(0)的位

3、置的确定方法是:(1)由定射线.先找出角的终边所在的射线,确定其反向延长线OM.(2)由取点.在射线OM上取|OM|=-,点M的位置即可确定,如图.进一步可以得出,极坐标(,)与(,+2k)(kZ)(-,+2k)(kZ)表示同一点.应当指出,若0,02).解：(1)点A的直角坐标为(-2,2).(2)=tan=-1,且点位于第四象限,(注意!)=,点B的极坐标为(2,).又x=0,y0),则P1P2两点距离|P1P2|=请同学们推导一下.【例2】在极坐标系中，若等边ABC的两个顶点是A(2,)、B(2,),那么顶点C的坐标可能是()A.(4,)B.(2,)C.(2,) D.(3,)解析:如图,

4、由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点.又|AB|=4，ABC为正三角形，|OC|=2，AOC=，C对应的极角=+=或=-=-，即C点极坐标为(23,)或(2,-).答案:B点评:在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合.【例3】在极坐标系中与点A(3,-)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是()A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,)解析:极坐标中的点(,)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(,2k-)(kZ),利用这一规律即可.答案:B点评:一般地,在极坐标系中点(,)关于极轴所

5、在的直线对称的点的极坐标为(,2k-)(kZ);点(,)关于极点对称的点的极坐标为(,2k+)(kZ);点(,)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(,2k+-)(kZ).【例4】(1)=的直角坐标方程是_；(2)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是_.解析:(1)根据极坐标的定义，tan=，tan=，即y=-x(x0).(2)将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同乘方程的两边得2=sin+2cos.化成直角坐标方程为x2+y2=y+2x,即(x-1)2+(y-)2=，这是以点(1,)为圆心，半径为的圆.答案:(1)y=-x(x0)(2)以点

6、(1,)为圆心，半径为的圆点评:当极坐标方程中含有sin、cos时,可将方程两边同乘以,凑成含有sin、cos的项，然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程，此法是常用技巧.【例5】 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0;(3)=;(4)cos2=1;(5)2cos2=4;(6)=.解:(1)将x=cos,y=sin代入y2=4x,得(sin)2=4cos,化简得sin2=4cos.(2)将x=cos,y=sin代入y2+x2-2x-1=0,得(sin)2+(cos)2-2cos-1=0,化简得2-2cos-1=0.(3)tan=,tan=,化简得

7、y=x(x0).(4)cos2 =1,=1,即+cos=2.+x=2,化简得y2=-4(x-1).(5)2cos2=4,2cos2-2sin2=4,即x2-y2=4.(6)=,2-cos=1.2,化简得3x2+4y2-2x-1=0.点评:在进行两种坐标间的互化时,我们要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在02范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形,否则,不是等价变形.