2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题：习题课——空间向量在空间问题中的综合应用 WORD版含解析.docx

1、习题课空间向量在空间问题中的综合应用课后篇巩固提升1.在空间直角坐标系中,已知A(-1,0,3),B(2,-1,5),则|AB|=()A.6B.14C.14D.74解析在空间直角坐标系中,A(-1,0,3),B(2,-1,5),|AB|=(2+1)2+(-1-0)2+(5-3)2=14.故选B.答案B2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D1;A1M平面D1PQB1,则以上正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4解析因为A1M=A1A+AM=A1

2、A+12AB,D1P=D1D+DP=A1A+12AB,所以A1MD1P,由线面平行的判定定理可知,A1M平面DCC1D1,A1M平面D1PQB1,故正确.答案C3.已知空间向量a=(3,1,0),b=(x,-3,1),且ab,则x=()A.-3B.-1C.1D.2解析由题意知,空间向量a=(3,1,0),b=(x,-3,1),且ab,所以ab=0,所以3x+1(-3)+01=0,即3x-3=0,解得x=1.故选C.答案C4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:(AA1+AD+AB)2=3AB2;A1C(A1B1-A1A)=0;AD1与A1B的夹角为60;正方体的体积为|ABAA1

3、AD|.其中正确命题的序号是.解析(AA1+AD+AB)2=(AA1)2+(AD)2+(AB)2+2(AA1AD+ADAB+AA1AB)=3(AB)2,故正确;设正方体棱长为a,则A1C(A1B1-A1A)=(A1B1+A1D1+A1A)(A1B1-A1A)=a2-0+0-0+0-a2=0,故正确;AD1与A1B的夹角应为120,故错误;正方体的体积应为|AB|AD|AA1|,故错误.答案5.如图所示,空间四边形OABC中,点M为OB的中点,N为AC的中点.设OA=a,OB=b,OC=c,若以向量a、b、c为一组基底,则MN=.解析因为MN=ON-OM=12(OA+OC)-12OB=12(a-

4、b+c).故答案为12(a-b+c).答案12(a-b+c)6.如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且BAE=120,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点.(1)求证:直线DE与平面FGH平行;(2)若点P在直线GF上,且二面角D-BP-A的大小为4,试确定点P的位置.(1)证明取AD的中点M,连接MH,MG.G,H分别是AE,BC的中点,MHAB,GFAB,M平面FGH.又MGDE,且DE平面FGH,MG平面FGH,DE平面FGH.(2)解在平面ABE内,过A作AB的垂线,记为AP(图略),则AP平面ABCD.以A为原点,AP,AB,AD所在的直线分别为

5、x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(23,-2,0),G(3,-1,0),F(3,1,0).则GF=(0,2,0),BD=(0,-4,2),BG=(3,-5,0).设GP=GF=(0,2,0),则BP=BG+GP=(3,2-5,0).设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z),则n1BP=0,n1BD=0,3x+(2-5)y=0,-4y+2z=0.取y=3,得z=23,x=5-2,故n1=(5-2,3,23).又平面ABP的法向量为n2=(0,0,1),因此cos=n1n2|n1|n2|=23(5-2)2+3+12=22,

6、解得=1或=4.故GP=GF或GP=4GF(P(3,1,0)或P(3,7,0).7.如图,ABCD是边长为a的正方形,PA平面ABCD.(1)若PA=AB,点E是PC的中点,求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;(2)若BEPC且交点为E,BE=63a,G为CD的中点,线段AB上是否存在点F,使得EF平面PAG?若存在,求AF的长;若不存在,请说明理由.解(1)以A为原点,建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),Ea2,a2,a2,AE=a2,a2,a2,DC=(a,0,0),PD=(0,a,-a).设平面PCD的法向量

7、m=(x,y,z),则ax=0,ay-az=0.取m=(0,1,1),则cos=a2+a22a24+a24+a24=63.设直线AE与平面PCD所成角为,则sin =|cos|,所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为63.(2)Ga2,a,0,设P(0,0,c)(c0),则CP=(-a,-a,c).设CE=CP,则E(1-)a,(1-)a,c),BE=(-a,(1-)a,c).BE=63a,(-a)2+(1-)a2+(c)2=23.BEPC,a2-(1-)a2+c2=0.c2=1-2=a2.由解得=13,c=a,E23a,23a,13a,P(0,0,a).若存在满足条件的点F,可设AF=l(

8、0la),则F(l,0,0),EF=l-23a,-23a,-13a.设平面PAG的法向量为n=(s,t,p),则ap=0,12as+at=0,n=(-2,1,0).EF平面PAG,EFn=0.-2l+43a-23a=0,l=13a.存在满足条件的点F,且AF=13a.8.在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为梯形,ABCD,AB=2BC=2CD,DCFB,CF平面ABCD.(1)求BE与平面EAC所成角的正弦值;(2)线段BE上是否存在点M,使平面EAC平面DFM?若存在,求BMBE的值;若不存在,请说明理由.解(1)四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为梯形,ABC

9、D,DCFB,CF平面ABCD.以C为原点,CD,CB,CF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2BC=2CD=2,则B(0,1,0),D(1,0,0),E(1,0,1),A(2,1,0),C(0,0,0),F(0,0,1),BE=(1,-1,1),CA=(2,1,0),CE=(1,0,1),设平面EAC的法向量n=(x,y,z),则nCA=2x+y=0,nCE=x+z=0,取x=1,得n=(1,-2,-1),设BE与平面EAC所成角为,则sin =|BEn|BE|n|=236=23.BE与平面EAC所成角的正弦值为23.(2)设线段BE上存在点M(a,b,c),BM=BE,01,使平面EAC平面DFM,则(a,b-1,c)=(,-,),M(,1-,),DM=(-1,1-,),DF=(-1,0,1),设平面DMF的法向量m=(x,y,z),则mDM=(-1)x+(1-)y+z=0,mDF=-x+z=0,取x=1,得m=1,2-1-1,1,平面EAC平面DFM,平面EAC的法向量n=(1,-2,-1),mn=1-4-2-1-1=0,解得=12,线段BE上存在点M,使平面EAC平面DFM,此时,BMBE=12.