2020-2021学年高中数学 第三章 概率 习题课 古典概型与几何概型习题（含解析）新人教A版必修3.docx

1、习题课古典概型与几何概型课后篇巩固提升1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.34解析从4张卡片中取2张共有6种取法,其中和为奇数的取法共4种,故所求概率为46=23.答案C2.将一个面积为24 cm2的正方形分成A,B,C,D四等份,再随机地向这个正方形投一粒沙子,并且沙子落在正方形内每一点都是等可能的,则该粒沙子落在A或B内的概率为()A.14B.12C.116D.18解析沙子落入A,B,C,D内的概率都是14,且“沙子落入A”与“沙子落入B”互斥,P(沙子落在A或B内)=24=12.答

2、案B3.已知A=-1,0,1,点P的坐标为(x,y),其中xA,yA,记点落在第一象限为事件M,则P(M)等于()A.13B.16C.19D.29解析点P的坐标可能为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(0,-1),(1,-1),(1,1),(1,0),共9种,其中落在第一象限的点为(1,1).则P(M)=19.答案C4.在集合A=2,3中随机取一个元素m,在集合B=1,2,3中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为()A.12B.13C.34D.25解析点P(m,n)的情况为(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(

3、3,2),(3,3),共6种,只有(2,1),(2,2)这两个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为26=13.答案B5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的点数分别为X,Y,则log2XY=1的概率为()A.16B.536C.112D.12解析设“log2XY=1”为事件A,则A包含的基本事件有3个,(1,2),(2,4),(3,6),故P(A)=336=112.答案C6.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为.解析依题意,记题中被污损的数字为x,若甲的平均成绩不超

4、过乙的平均成绩,则有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)0,x7,即此时x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为310=0.3.答案0.37.假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是.解析设A=黄豆落在阴影部分,因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的,因此P(A)=SABCS圆,设O的半径为r,因为ABC为等腰直角三角形,则AC=BC=2r,所以SABC=12ACBC=r2,SO=r2,所以P(A)=r2r2=1.答案18.九章算术是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾五步,股十二步.问勾中容方几

5、何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问其内接正方形边长为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则豆子落在其内接正方形内的概率是.解析如图,设RtABC的两直角边长分别为a,b,其内接正方形CEDF的边长为x,则由ADFABC,得AFAC=DFBC,即a-xa=xb,解得x=aba+b.从而内接正方形CEDF的面积为S正方形CEDF=aba+b2,又RtABC的面积为SABC=ab2,所以所求概率为aba+b2ab2=2ab(a+b)2=2512(5+12)2=120289.答案1202899.在区间0,4上随机地选择一个数p,则方程x2-px+3p-8=0有两个正根的概率

6、为.解析因为方程x2-px+3p-8=0有两个正根,所以=p2-4(3p-8)0,p0,3p-80,解得p8或83p4.又p0,4,所以所求概率为4-834=13.答案1310.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2017年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号分组频数14,5)225,6)836,7)747,83(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在7,8内的概率;(2)根据分组统计表

7、求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解法一(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2,从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共10个.其中,至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,共9个.故所求概率为910.(2)这20家“省级卫视新闻

8、台”的融合指数平均数等于4.5220+5.5820+6.5720+7.5320=6.05.解法二(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共10个.其中,没有1家融合指数在7,8内的基本事件是:B1,B2,共1个.故所求概率为1-110=910.(2)同解法一.11.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适

9、型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(1)求z的值;(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题

10、意得50n=10100+300,所以n=2000.则z=2000-(100+300)-(150+450)-600=400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,由题意4001000=a5,得a=2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个.事件E包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个.故P(E)=710,即所求概率为710.(3)样本平均数x=18(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个,所以P(D)=68=34,即所求概率为34.