2020届高考数学二轮教师用书：第五章第3节　等比数列及其前N项和 WORD版含解析.docx

1、第3节等比数列及其前n项和1等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：q(n2，q为非零常数)，或q(nN*，q为非零常数)(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.推广：当q0,1时，an是等比数列SnAqnA(

2、A为常数且A0)3等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和(1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qN*，特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rN*.(2)等比数列an的单调性当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递减数列；当q1时，数列an是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.等比数列的主要性质设数列an是首项为a1，公比

3、是q的等比数列，Sn是其前n项和1若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列2SmnSnqnSmSmqmSn.3若a1a2anTn，则Tn，成等比数列4若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.5等比数列an的单调性当或时，an为递增数列，当或时，an为递减数列思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列( )(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.( )(3)满足an1qan(nN*，q为常数)的

4、数列an为等比数列( )(4)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列( )(5)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1已知等比数列an的公比为正数，且公比a2a69a4，a21，则a1的值为( )A3B3C D.解析：Dan是公比为正数的等比数列，设公比为q，则a2a6a，a9a4，a49.q29.q3.a1.故选D.2(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层

5、灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A1盏 B3盏C5盏 D9盏解析：B设顶层灯数为a1，q2 ，S7381，解得a13.3(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8C4 D2解析：C应用等比数列前n项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错设正数的等比数列an的公比为q，则，解得，a3a1q24，故选C.4(教材改编)在等比数列an中，已知a11，a464，则q_，S4_.答案：4515设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k_.解析：设等比数列an公比为q，由已知a11，a34，得q

6、24，又an的各项均为正数，q2.而Sk63，2k163，解得k6.答案：6考点一等比数列的基本运算(自主练透)题组集训1已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7( )A21B42C63 D84解析：B设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.2(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a11，S3，则S4_.解：设an的公比为q，则1qq2，解得q，S41.答案：3(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.解析：由题意

7、可得，解得则a4a1q38.答案：8 解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.提醒：运用等比数列的前n项和公式时，必须对q1与q1分类讨论考点二等比数列的判定与证明(师生共研)逻辑推理等比数列判定与证明中的核心素养根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否是等比数列作出判断与证明，是从一般到特殊的推理，使学生学会有逻辑地思考问题，形成合乎逻

8、辑的思维品质，是高中生必须具备的最基础又应用最广的一种核心素养典例(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式思维导引(1)由数列an满足a11，nan12(n1)an，的递推关系式先求出a2，a3，再利用bn求b1，b2，b3；(2)定义法判定并证明数列bn为等比数列；(3)先求出数列bn的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公

9、比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两

10、种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可跟踪训练(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解析：(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.考点三等比数列的性质及应用(师生共研)典例1已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2a120，数列

11、bn是等比数列，且b7a7，则b3b11等于( )A16B8 C4 D2解析A由等差数列性质得a2a122a7，所以4a7a0，又a70，所以a74，b74，由等比数列性质得b3b11b16，故选A.2在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，答案143已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.解析由题意，得解得所以q2.答案2等比数列性质应

12、用中的常见题型与求解策略：题型求解策略求基本量的值在解决等比数列的有关问题时，利用性质“若mnpq，则amanapaq”可以减少运算量，提高解题速度要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用确定单调性利用数列相邻两项的大小关系或求出公比，从而判断单调性求最大(小)值或比较大小根据题目条件，认真分析，确定首项与公比，发现具体的变化特征，利用等比数列的单调性或基本不等式求解.跟踪训练1在各项均为正数的等比数列an中，(a1a3)(a5a7)4a，则下列结论中正确的是()A数列an是递增数列B数列an是递减数列C数列an是常数列D数列an有可能是递增数列也有可能

13、是递减数列解析：C各项均为正数的等比数列an中，因为(a1a3)(a5a7)4a成立，即a1a5a1a7a3a5a3a74a成立利用等比数列的定义和性质化简可得aaaa4a，进一步化简得aa2a.设公比为q，则得aq4aq82aq6，化简可得1q42q2，即(q21)20，所以q21，故q1(由于各项均为正数的等比数列，故q1舍去)故此等比数列是常数列故选C.2等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_.解析：由，a11知公比q1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.答案：1(2020石家庄市模拟)在等比数列an中，a2

14、2，a516，则a6( )A28B32C64 D14解析：B设等比数列an的公比为q，a22，a516，a1q2，a1q416，解得a11，q2.则a62532.2(2020沈阳市模拟)已知数列an为等比数列，且a2a3a4a64，则tan ( )A. BC D解析：B数列an为等比数列，且a2a3a4a64a，则a34，a78根据等比数列的性质可得a78舍去，a78，a4a6a3a732，tan tan tan tan .3(2020淮北市一模)已知等比数列an中，a53，a4a745，则的值为( )A3 B5C9 D25解析：D根据题意，等比数列an中，a53，a4a745，则有a615，

15、则q5，则q225.4已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1( )A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析：Ca22，a5，a14，q.anan1aq2n1242n18n1，a1a2a2a3anan1(14n)5(2020大庆市一模)数列an为正项递增等比数列，满足a2a410，a16，则loga1loga2loga10等于( )A45 B45C90 D90解析：D因为an为正项递增等比数列，所以anan10，公比q1.因为a2a410 ，且a16a3a3a2a4由解得a22，a48.又因为a4a2q2，得q2或q2(舍)则得a516，a63

16、2，因为loga1loga2loga105loga5a65log163259log2452log90.6已知等比数列an的前n项和为Sn，且Snm2n13，则m_.解析：a1S1m3，当n2时，anSnSn1m2n2，a2m，a32m，又aa1a3，m2(m3)2m，整理得m26m0，则m6或m0(舍去)答案：67(2020漳州市模拟)等比数列an中，a11，an0，其前n项和为Sn，若a2是a3，a4的等差中项，则S6的值为_.解析：假设公比为q，则可列方程2qq2q3，解得q0或2或1，其中满足条件的公比只有2.则S663.答案：638已知数列an是等比数列，a1，a2，a3依次位于表中第

17、一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an_(nN*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即an是首项为2，公比为3的等比数列，an23n1.答案：23n19(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解：(1)a54a3，q24，q2.当q2时，an2n1当q2时，an(2)n1an的通项公式为an2n1或an(2)n1.(2)当q2时，Sm63，解得m6.当q2时，Sm63.无解m6.10已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)又a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n，则an12an53n，an13n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2为首项，2为公比的等比数列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n(nN*)