2020版数学（文）新攻略总复习课标通用练习：第九章 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 WORD版含解析.docx

1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础题组1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定答案B因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b21,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=|a0+b0-1|a2+b2=1a2+b21.故直线与圆O相交.2.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为()A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0答案B过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,点(3,1)在圆(x-1)2+

2、y2=r2上,圆心与切点连线的斜率k=1-03-1=12,切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故选B.3.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为()A.-1或3B.1或3C.-2或6D.0或4答案D因为圆(x-a)2+y2=4,所以圆心为(a,0),半径为2,圆心到直线的距离d=|a-2|2,则d2+2222=4,解得a=4或0.故选D.4.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a0).因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.圆心O1到直线AB的距离d=|r2-

3、14|42,由d2+22=6,得(r2-14)232=2,所以r2-14=8,r2=6或22.故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.6.过点A(3,1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是.答案0,3解析当直线l的斜率不存在时,直线l的方程是x=3,此时直线l与圆相离,没有公共点,不符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0.因为直线l和圆有公共点,所以圆心到直线的距离小于或等于半径,则|-3k+1|k2+11,解得0k3,所以直线l的倾斜角的取值范围是0,3.7.若直线

4、l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是.答案x-y+1=0解析直线l:y=kx+1过定点P(0,1).圆C:x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4.故圆心C(1,0),半径r=2.则易知定点P(0,1)在圆内,由圆的性质可知当PCl时,直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,因为kPC=1-00-1=-1,所以直线l的斜率k=1,则直线l的方程是x-y+1=0.8.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为.答案0或6解析由x2+y2+2x

5、-4y-4=0,得(x+1)2+(y-2)2=9,圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为3.由ACBC,知ABC为等腰直角三角形,所以C到直线AB的距离d=322,即|-1-2+a|12+(-1)2=322,所以|a-3|=3,即a=0或a=6.9.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73k0)上恒有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值

6、范围是()A.(2+1,+)B.(2-1,2+1)C.(0,2-1)D.(0,2+1)答案A计算得圆心到直线l的距离为22=21,如图,直线l:x-y-2=0与圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2+1.3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=

7、(2-x,2-y).由题设知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,则|PM|=4105,所以POM的面积为165.4.如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且|MN|=3

8、.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN为定值.解析(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2),所以可设圆心C的坐标为(m,2)(m0),则圆C的半径为m,又|MN|=3,所以m2=4+322=254,解得m=52,所以圆C的方程为x-522+(y-2)2=254.(2)证明:由(1)知M(1,0),N(4,0),当直线AB的斜率为0时,易知kAN=kBN=0,即kAN+kBN=0.当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=1+ty,将x=1+ty代入x2+y2-4=0,并整理得,(t2+1)y2+2ty-3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-2tt2+1,y1y2=-3t2+1,则kAN+kBN=y1x1-4+y2x2-4=y1ty1-3+y2ty2-3=2ty1y2-3(y1+y2)(ty1-3)(ty2-3)=-6tt2+1+6tt2+1(ty1-3)(ty2-3)=0.综上可知,kAN+kBN为定值.