2021-2022学年新教材高中数学 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 测评（含解析）湘教版必修第一册.docx

1、第4章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数是()A.f(x)=x2B.f(x)=2xC.f(x)=log2xD.f(x)=eln x答案C解析f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y).2.(2021江苏扬中校级期末)函数f(x)=(1-log2x+(2x-3)0的定义域是()A.(-,2)B.(-,log23)(log23,2)C.(0,log23)(log23,2)D.(0,lo

2、g23)(log23,4)答案C解析要使原函数有意义,则解得0x2且xlog23.则函数f(x)=(1-log2x+(2x-3)0的定义域是(0,log23)(log23,2).故选C.3.函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)答案D解析f(x)=ln2x-1在定义域上是增函数,并且是连续函数,且f(1)=ln2-10,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.4.(2021山东潍坊一模)在一次数学实验中,某同学运用计算器采集到如下一组数据:x-2-1123y0.240.512.023.988.02

3、在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+logbxD.y=a+bx答案D解析由表格数据描点如下:由图可知,随着x的增大,y也随之增大,并且增长越来越快,由图象的大致走向判断,应选用指数函数模型.故选D.5.(2021天津和平期末)已知a=log2,b=log5,c=3-0.5,则()A.abcB.acbC.cabD.bclog2=1,b=log5c=3-0.5=,bc1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则的取值范围是()A.,+B.1,+)C.(4,+)D.,+答案B解

4、析函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图象交点A的横坐标,函数g(x)=logax+x-4的零点是函数y=logax与函数y=4-x图象交点B的横坐标,由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x对称,直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是A,B的中点,m+n=4,(m+n)=2+1,当且仅当m=n=2时等号成立,故1.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021湖南雨花校级月考)设ab1,0c1,则下列不

5、等式成立的是()A.acbcC.logbclogacD.logcbb1,0cbc,故A错误;abbbbc,abbc,故B正确;logbc=,logac=,0=logc1logcblogca,即logbc2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故C正确;当x=8时,y1=0.58+1=5,y2=8+,因为y1y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.11.已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是()A.ab0B.ab0C.0ab0;若a,b为负数,则ab4,则x1+x24,故C错误;函数f(x)有且仅有两个零点,故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小

6、题5分,共20分.13.(2020江西昌江校级期中)若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则ff(2)=.答案0解析函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,f(x)=log2x.ff(2)=f(log22)=f(1)=log21=0.14.(2020北京朝阳高考模拟)能说明“函数f(x)的图象在区间0,2上是一条连续不断的曲线.若f(0)f(2)0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是.答案y=(x-1)2(答案不唯一)解析考查函数y=(x-1)2,绘制函数图象如图所示,该函数f(x)的图象在区间0,2上是一条连续不断的曲线,f(0)f(2)0,但是函数f(x)在(0,2)

7、内存在零点x=1,故该函数使得原命题为假命题.15.(2020浙江高中联盟高一联考)函数f(x)=1+loga(x+2)(a0且a1)图象恒过定点A,则点A的坐标为;若f-0且a1)图象恒过定点A,令x+2=1,得x=-1,f(-1)=1,它的图象经过定点(-1,1).当0a1时,函数f(x)为减函数,若f-,则1+loga-+2,即loga,即,求得0a1时,函数f(x)为增函数,若f-,则1+loga-+2,又a1,a1.综上,实数a的取值范围为0,(1,+).16.已知函数f(x)=其中k0.若关于x的函数y=f(f(x)有两个不同零点,则实数k的取值范围是.答案0,1)解析令f(x)=

8、t,则y=f(t),当k0,1)时,函数f(x)的图象如下图所示.由f(t)=0t=1,故函数f(x)的图象与函数y=1的图象有两个交点,所以k0,1)满足题意.当k1,+)时,函数f(x)的图象如下图所示.由f(t)=0t=1,则函数f(x)与函数y=1只有一个交点,所以k1,+)不满足题意.综上,k0,1).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021广东湛江期末)求值:(1)(-1)0+(;(2)lg-ln-log427log98.解(1)(-1)0+(=1+=2.(2)lg-ln-log427log98=-2-+3-=-.18.

9、(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间,6上的最大值.解因为f(x)=|log3x|=所以在1,+)上f(x)的图象与y=log3x的图象相同,在(0,1)上的图象与y=log3x的图象关于x轴对称,据此可画出其图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)的值域为0,+),单调递增区间是1,+),单调递减区间是(0,1).当x时,f(x)在区间上单调递减,在区间(1,6上单调递增.又f=2,f(6)=log360.解(1)f(x)在R上单调递增.证明如下:f(x)=+1为奇函数,且在x=0处有定义.则f(0)=a+1=0,即a=-2,所以f(x)=1-.

10、设x1x2,则f(x1)-f(x2)=0,所以f(x1)0,所以f(1-x)-f(-x2+2)=f(x2-2),所以1-xx2-2,解得x0且a1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若f=2,求使f(x)0成立的x的集合.解(1)要使函数f(x)有意义,则解得-1x0,则log2(x+1)log2(1-x),解得0x0,a1)与y=p+q(p0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)解(1)两个函数y=kax(

11、k0,a1),y=p+q(p0)在(0,+)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快,而函数y=p+q(p0)的值增加的越来越慢.因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k0,a1)适合要求.由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,所以解得所以该函数模型的解析式是y=x(xN+).(2)当x=0时,y=0=,所以元旦放入凤眼莲的面积是 m2.由x10,得x10,所以xlo10=.因为5.7,所以x6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.22.(12分)(2021天津和平校级期末)已知函数f(x)=

12、lg,f(1)=0,当x0时,恒有f(x)-f=lg x.(1)求f(x)的表达式及定义域;(2)若方程f(x)=lg t有解,求实数t的取值范围;(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为,求实数m的取值范围.解(1)当x0时,恒有f(x)-f=lgx,lg-lg=lgx,即(a-b)x2-(a-b)x=0恒成立,a=b.又f(1)=0,a+b=2,从而a=b=1.f(x)=lg.由0,得x0,f(x)的定义域为(-,-1)(0,+).(2)方程f(x)=lgt有解,lg=lgt,即t=(x0)有解.x=,0,解得t2或0t2.实数t的取值范围为(0,2)(2,+).(3)方程f(x)=lg(8x+m)的解集为,lg=lg(8x+m),即8x2+(6+m)x+m=0在(-,-1)(0,+)上的解集为.分两种情况讨论:方程8x2+(6+m)x+m=0无解,即0,解得2m18;方程8x2+(6+m)x+m=0有解,两根均在-1,0内,令g(x)=8x2+(6+m)x+m,则解得0m2.综合得实数m的取值范围是0,18).