2023年高考数学全真模拟（全国甲卷乙卷通用）理数04答案.pdf

1、试卷第 1页，共 17页学科网（北京）股份有限公司2023 年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120 分钟；试卷满分：150 分）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）一、单选题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1已知复数 z 满足2 i3i0zz ，则 z 的共轭复数 z （）A1iB1 iC 1i5 D 1i5【答案】B【分析】由复数的除法运算求出 z，再根据共轭复数的概念可得 z.【详解】由2 i3i0zz ，得3i12iz(3i)(12i)(

2、12i)(12i)55i1 i5 ，所以1 iz .故选：B2设集合,Ax yyx，3,Bx yyx，则 AB的元素个数是（）A1B2C3D4【答案】C【分析】联立3,yx yx求出交点坐标，从而得到答案.【详解】联立3yxyx，即3xx，解得：0 x 或 1，即 0,0,1,1,1,1AB ，故 AB的元素个数为 3.故选：C3设命题 p：若,x yR，则“0 xy”是“22xy”的必要不充分条件；命题q：“0 x，21x ”的否定是“0 x，21x ”，则下列命题为真命题的是（）A pqB()()pq C pqD()pq【答案】B【分析】先判断命题 p 和命题q的真假，再根据复合命题真假的

3、判定方法，即可得出结果.【详解】根据不等式的性质，若0 xy，则22xy；反之，若22xy，则220 xy，即0 xyxy，因为,x y 正负不确定，所以不能推出0 xy，试卷第 2页，共 17页因此“0 xy”是“22xy”的充分不必要条件，即命题 p 为假命题；所以p 为真命题；命题q：“0 x，21x ”的否定是“0 x，21x ”，故命题q为假命题；q 为真命题；所以 pq为假，pq为假，()pq 为假，()()pq 为真.即 ACD 错，B 正确.故选：B.4已知 fx 是偶函数，在(，0)上满足 0 xfx恒成立，则下列不等式成立的是（）A 34()()5fffB 435fffC

4、534fffD 453fff【答案】A【分析】由题干条件得到,0 x 时，0fx，故 fx 在,0上单调递减，结合 fx 为偶函数，得到 fx 在0,上单调递增，从而判断出大小关系.【详解】,0 x 时，0 xfx即 0fx，fx 在,0上单调递减，又 fx 为偶函数，fx 在0,上单调递增 345fff，345fff.故选：A5在长方体1111ABCDABC D中，点 E 为1AC 的中点，12ABAA，且2 2AD，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为（）A23B33C22D32【答案】C【分析】将异面直线 AE 与 BC 所成角转化为EAD或其补角，再通过边的计算得到4EAD，即

5、可求解.【详解】连接1,DE AC A D，由 BCAD可得EAD或其补角即为异面直线 AE 与 BC 所成角，又1A A 面 ABCD，AC 面 ABCD，则1A AAC，试卷第 3页，共 17页学科网（北京）股份有限公司则222111222 2222AEAC，同理可得1A DDC，1122DEAC，则222AEDEAD，4EAD，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为2cos 42.故选：C.6美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲乙的 5 个工程师到华为总部的 4 个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且

6、甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A96B120C180D216【答案】D【解析】根据题意，先将 5 人分成 4 组，减去甲乙在一起的 1 组，然后 4 组再安排到 4 个不同的部门可得答案.【详解】由24541216CA故选：D.7将函数sin 2yx的图象向左平移(0)个单位长度后，所得图象经过点 ,12，则的最小值为（）A 12B 4C 34D1112【答案】C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数sin 2()yx的图象，由所得图象经过点,12 和 的范围可得答案.【详解】将函数sin 2yx的图象向左平移(0)个单位长度后，得到函数sin 2()yx的图象，由所

7、得图象经过点 ,12，可得sin 21，则22 2k，k Z，则4k ，k Z，又0，所以 的最小值为 34 故选：C8在区间2 2,上随机取一个数 k，使直线2yk x与圆221xy 相交的概率为（）A33B312C36D34【答案】C【分析】求出直线与圆相交时 k 的取值范围，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】因为圆221xy 的圆心为0,0，半径1r ，试卷第 4页，共 17页直线2yk x与圆221xy 相交，所以圆心到直线2yk x的距离2211kdk，解得3333k，所以，直线2yk x与圆221xy 相交的概率为2 33346P，故选：C9某班同学利用课外实践课

8、，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN.在过 N 点的水平面上确定两观测点,A B，在 A 处测得 M 的仰角为 30，N 在 A 的北偏东 60方向上，B 在 A 的正东方向 30 米处，在 B 处测得 N 在北偏西 60方向上，则 MN（）A10 米B12 米C16 米D18 米【答案】A【分析】由已知分析数据，在NAB中，由正弦定理可求得 NA，在直角MNA中，可求得 MN.【详解】由已知得，30MAN，30NABNBA ，30AB 米在NAB中，由正弦定理可得30sin120sin30NA，求得10 3NA 米在直角MNA中，3tan3010 3103MNAN 米故

9、选：A10已知函数 3220fxxbxcxbb在=1x 处有极值，且极值为 8，则 fx 的零点个数为（）A1B2C3D4【答案】C【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出27bc ，即可根据导数得出其单调性，再结合特值得出其零点个数.【详解】由题意得()232fxxbxc=+，因为函数 3220fxxbxcxbb在=1x 处有极值，且极值为 8，试卷第 5页，共 17页学科网（北京）股份有限公司则2118fbcb ，1320fbc，解得27bc (经检验适合题意)，或33bc（经检验不合题意舍去）故 32274fxxxx，2347137fxxxxx，当,1x 或 7,3时，()0fx，即函数

10、 fx 单调递增，当71,3x 时，0fx，即函数 fx 单调递减，又因为30f，10f，10f，40f，则 fx 有 3 个零点，故选：C.11两个长轴在 x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若 A，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线 AC，BD，切点分别为 C，D，且两切线斜率之积等于23，则椭圆的离心率为（）A 13B33C32D63【答案】B【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于23，可得2223ba，所以椭圆的离心率为3e3；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.【详解】法一：设内椭圆方程为222210 xya

11、bab，外椭圆为222220 xymmab，切线 AC 的方程为1ykxma，联立1222222,ykxmab xa ya b消去 y 可得：2222322422211120ba kxma k xm a ka b，因为直线 AC 为椭圆的切线，所以26422224222111440m a kba km a ka b，化简可得：2212211bkam，设直线 BD 的方程为：2yk xmb，同理可得222221bkma，因为两切线斜率之积等于23，所以2223ba，所以椭圆的离心率为3e3.故选：B.法二；设内层椭圆：22221xyab，外层椭圆：22222xymab.设切点111,P x y，

12、222,Pxy，,0A ma，0,Bmb，切线 1l：11221x xy yab，切线 2l：22221x xy yab，试卷第 6页，共 17页21121xbkay，22222xbkay，又11APkk，即211211xybayxma，即222222111b xb m axa y，即22222222111b m axa yb xa b，1mxa，同理22BPkk，2myb，21ybxa，将1P，2P 代入椭圆22221xyab 中得：221222ybxa，经分析得：12ybxa，由可知22212122212x xbbk kay ya，2223ba，2221e13ba，3e3.故选：B.12已

13、知3ea，ln1.01b，sin0.02c，则（）A abcBbacCcbaDbc，即sin，所以3321110.02sin 0.02e350eca.设 sin 2ln 1f xxx，0,6x，则 112cos21011fxxxx，所以 fx在 0,6上单调递增，则0.010f，即sin0.02ln1.01，即bc.综上，bca.故选：D第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）试卷第 7页，共 17页学科网（北京）股份有限公司13若双曲线221xmy 的焦距等于虚轴长的 3 倍，则 m 的值为_【答案】8【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到221

14、1,abm，211cm，根据题意列出方程，求出 m 的值.【详解】221xmy 化为标准方程：2211yxm，则2211,abm，故211cm，则可得：112 16mm，解得：8m ，故答案为：814向量2,1a r，2,3b r，,1cm，cbrr，则 ac_【答案】172【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数 m 的值，再利用平面向量的坐标运算以及向量模的坐标运算可求得结果.【详解】由已知可得230c bm ，解得32m ，则3,12c，所以，1,22ac，因此，22117222ac.故答案为：172.15在 ABC 中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，已知向量cos,1

15、2ABm，且254m 若2c，且 ABC 是锐角三角形，则22ab的取值范围为_【答案】20,83【分析】化简254m 可得23AB，即3C，由正弦定理可得22168sin 2336abA，再结合 ABC 是锐角三角形，即可求出 62A，则可写出22ab的取值范围.【详解】由题意得221 cos5cos11224ABABm ，所以1cos2AB，因为0AB，所以23AB，所以3CAB，由正弦定理得4 3sinsinsin3abcABC，所以4 3 sin3aA，4 34 32sinsin333bBA，试卷第 8页，共 17页则2222162sinsin33abAA1684cos2cos2333

16、AA16813cos 2cos 2sin 23322AAA168sin 2336A因为 ABC 是锐角三角形，所以02A，02B，又23BA，所以 62A，即 52666A，所以 1sin 2126A，所以 20168sin 283336A，故222083ab故答案为：20,83.16如图，ED 是边长为 2 的正三角形 ABC 的一条中位线，将ADEV沿 DE 折起，构成四棱锥 FBCDE，若 EFCD，则四棱锥 FBCDE外接球的表面积为_【答案】112【分析】根据给定的几何体，确定四边形 BCDE 外接圆圆心，进而求出外接球半径即可计算作答.【详解】取 BC 中点G，连接 AG 交 DE

17、 于 H，连接,FH EG DG FG，如图，试卷第 9页，共 17页学科网（北京）股份有限公司因为 ED 是边长为 2 的正 ABC 平行于 BC 的中位线，则,AGED FHED，H 是 AG 中点，,AGFHH AG FH平面 AFG，则有 ED 平面 AFG，ED 平面 BCDE，有平面AFG 平面 BCDE，显然有112GEGDGCGBBC，则 G 是四边形 BCDE外接圆圆心，在平面 AFG 内过 G 作直线lAG，因为平面 AFG 平面 BCDEAG，因此l 平面BCDE，则四棱锥 FBCDE的外接球球心 O 在直线l 上，过 F 作 FQAG于 Q，FQ 平面 AFG，有 FQ

18、 平面 BCDE，则有/OGFQ，连接,FO BO，四边形 FOGQ 为直角梯形，因为/,EGCD FECD，则有 FEEG，2FG，在 AFG 中，FHAHHG，则AFG 是直角三角形，90AFG，而3AG，则1AF ，于是得63AF FGFQAG，过 O 作OPFQ于 P，有 PQOG，223FGOPGQAG，OBOFR=，RtOBG与 Rt OFP 中，222222OBBGOGOFOPFP，即2222146()33ROGROG，解得622,44OGR，所以四棱锥 FBCDE外接球的表面积为21142SR.故答案为：112三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明

19、过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分试卷第 10页，共 17页三、解答题172022 年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量 y（单位：台）和销售价格 x（单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格 x2428303236销售量 y340330300270260(1)通过散点

20、图发现销售量 y 与销售价格 x 之间有较好的线性相关关系，求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格销售量）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121niiiniixxyybxx，aybx【答案】(1)7.5525yx(2)35 百元【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程；（2）利用销售额的公式可得到27.5359187.5zx，利用二次函数的性质即可求解【详解】（1）2428303236305x，3403303002702603005y，6402302(30)6

21、(40)7.5364436b ，3007.5 30525a，y 关于 x 的线性回归方程为7.5525yx（2）设销售额为227.55257.5359187.5zxyxxx ，070 x，当35x 百元时，此时销售额到达最大，该值为max9187.5z百元18已知数列 na的前 n 项和为nS，且123nnnSSa，11a (1)证明：数列3na 是等比数列，并求数列 na的通项公式；试卷第 11页，共 17页学科网（北京）股份有限公司(2)若2log3nnnbaa，求数列 nb的前 n 项和nT【答案】(1)证明过程见详解，123nna(2)2239222nnTnnn【分析】（1）先利用na

22、 与nS 之间的关系化简已知等式，得到1na ，na 间的关系，从而可求得数列3na 的首项和公比，即可求得数列 na的通项公式；（2）先求得数列 nb的通项公式，再根据分组求和和错位相减即可求得nT【详解】（1）因为123nnnSSa ，所以123nnnSSa ，得123nnaa ，即1323nnaa，又11a ，所以数列3na 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，所以1134 22nnna，得123nna（2）由题意得 1111223log 21231 231nnnnnbnnn，所以2316332 23 2122nnnnTn 令2312 23 212nnPn，则34222 23 212n

23、nPn，两式相减，得223412222212 22221241222 1nnnnnnPnnn ，故22nnPn，所以2239222nnTnnn19如图，在四棱锥 MABCD中，底面 ABCD 是平行四边形，4AB，2 2AD，2 2MC，=45ADC，点 M 在底面 ABCD 上的射影为 CD 的中点 O，E 为线段 AD 上的点(含端点)(1)若 E 为线段 AD 的中点，证明：平面 MOE 平面 MAD；试卷第 12页，共 17页(2)若3AEDE，求二面角 DMEO的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)3015【分析】(1)在ADO 中，利用勾股定理证明 EDEO，再结合 EDMO 即可

24、证明 AD 平面 MOE，从而可证明平面 MOE 平面 MAD；(2)连接 OA，证明 DOOA，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的余弦值【详解】（1）AD 平面 ABCD，MO 平面 ABCD，MOADO 为线段 CD 的中点，E 为线段 AD 的中点，2DO，2DE，=45ADC，由余弦定理得22222(2)2 2222EO ，则222EODEDO，则 DEEO MOEOO，,MO EO 平面 MOE，AD 平面 MOE，又 AD 平面 MAD，平面 MOE 平面 MAD（2）连接 OA，由(1)知当 E 为线段 AD 的中点时，2AEDEEO，则 A、O

25、、D 三点在以 AD 为直径的圆上，故 DOOA故以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又2 2MC，则2MO，(0,0,0)O，(2,0,0)D，(0,2,0)A，(0,0,2)M又3AEDE，则1 3,02 2E ，(0,0,2)OM，(2,0,2)DM ，(2,2,0)DA ，1 3,02 2OE 设平面 MAD 的法向量为111,mx y z，则1111220220DM mxzDA mxy ，解得1111xzxy，取11x ，则平面 MAD 的一个法向量为(1,1,1)m 试卷第 13页，共 17页学科网（北京）股份有限公司设平面 MEO 的法向量为222,xny z，则222

26、1302220OE nxyOM nz ，解得22230 xyz，取23x，则平面 MEO 的一个法向量为(3,1,0)n 则230cos15310m nm nmn ，则二面角 DMEO的余弦值为301520已知函数2()4 e6xf xxxx，()ln1g xxax，1a (1)求 fx 的极值；(2)若存在11,3x，对任意的232e,ex ，使得不等式 21g xf x成立，求实数 a 的取值范围（3e20.09）【答案】(1)极大值 2ln 28ln 28，极小值为39e(2)361,e【分析】（1）求出()fx，令()0fx，得3x 或ln 2x，再列出,(),()x fxf x的变化

27、关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；（2）根据（1）求出 fx 在1,3 上的最小值为3(3)9ef，则将若存在11,3x，对任意的232e,ex ，使得不等式 21g xf x成立，转化为3ln9e1xax 在23e,e 上恒成立，再构造函数3ln9e()xh xx，23e,ex ，转化为min1()ah x，利用导数求出min()h x代入可得解【详解】（1）由2()4 e6xf xxxx，得()e4 e263 e26xxxfxxxxx3e2xx,令 0fx，得3x 或ln 2x，,(),()x fxf x的变化关系如下表：x,ln 2ln 2ln 2,333,fx00试卷第 14页，

28、共 17页 fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当ln 2x 时，fx 取得极大值，为(ln 2)f 2ln2ln 24 eln 26ln 22ln 28ln 28，当3x 时，fx 取得极小值，为32(3)34 e318f39e.（2）由（1）知，fx 在1,3 上单调递减，所以当1,3x时，3min()(3)9ef xf，于是若存在11,3x，对任意的232e,ex ，使得不等式 21g xf x成立，则3ln19e1xaxa 在23e,e 上恒成立，即3ln9e1xax 在23e,e 上恒成立，令3ln9e()xh xx，23e,ex ，则min1()ah x，321ln9

29、e()xxxh xx3210elnxx，因为23e,ex ，所以ln2,3x，33310eln12e,13ex，因为3e20.09，所以313e1320.097.090，所以()0h x，所以 h x 单调递减，故333min33lnee96()(e)1eeh xh，于是361 1ea ，得36ea ，又1a ，所以实数 a 的取值范围是361,e 21已知抛物线2:20C xpy p的焦点为 F，准线为l，点 P 是直线 1:2lyx上一动点，直线l 与直线 1l 交于点Q，5QF.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点 P 作抛物线C 的两条切线,PA PB，切点为,A B，且 95FA F

30、B ，求 PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24xy(2)4,20 5试卷第 15页，共 17页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）计算2,22ppQ，0,2pF，根据距离公式计算得到2p，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到 AB 的直线方程为 002 yyxx，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y，再计算302142PABSy，得到范围.【详解】（1）直线 1:2lyx，当2py 时，22px，即2,22ppQ，0,2pF，则22252pQFp，解得2p 或25p （舍去），故抛物线C 的方程为24xy.（2）设11,A x y，22

31、,B xy，00,Pxy，24xy，2xy，PA 的直线方程为：1112xyxxy，整理得到 112 yyxx，同理可得：PB 方程为 222 yyxx，故0102020222yyx xyyx x，故 AB 的直线方程为 002 yyxx，00224yyxxxy，整理得到200240 xx xy，12012024 xxxx xy，1122121212,1,11FA FBx yxyx xy yyy 02221212221212000216123164xxx xx xx xyxyy ，09235y，解得034y，设 P 到 AB 的距离为d，000223221022021411114422424P

32、AByxxSAB dxxx xyx，034y，故2044,20y，4,20 5PABS（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程试卷第 16页，共 17页22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2cossinxy（为参数）(1)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线 C 极坐标方程；(2)若点 A，B 为曲线 C 上的两个点且OAOB，求证：2211|OAOB为定值【答案】(1)2243sin1(2)证明见解析【分析】（1）先消去参数 化为直角坐标方程，再根据公式cosx，s

33、iny化为极坐标方程即可得解；（2）由于OAOB，故可设1,A ，2,2B，将,A B 的极坐标代入曲线C 的极坐标方程，根据极径的几何意义可求出结果.【详解】（1）由2cossinxy得2222cossin14xy，所以曲线C 的直角坐标方程为2214xy 将cosx，siny代入到2214xy，得2222cossin14，得2243sin1，所以曲线C 的极坐标方程为：2243sin1.（2）由于OAOB，故可设 1,A ，2,2B 21243sin1，2222443cos1n23si1，所以2222121111|OAOB 223sin13cos1544即2211|OAOB为定值 54.选

34、修 4-5：不等式选讲23已知函数()|2|3|f xxx(1)求函数()yf x的最小值 M；(2)若0,0ab且abM，求 11ab的最小值【答案】(1)3M;试卷第 17页，共 17页学科网（北京）股份有限公司(2)2 63.【分析】（1）利用零点分段法将 fx 写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数 fx 的最小值；（2）由（1）知3ab，利用基本不等式可得123ab，再利用基本不等式可得 11ab的最小值.【详解】（1）由于 33323330330 x xfxxxxxxx ，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数()f x 的最小值为 03f，即3M（2）由（1）知3ab，所以2924abab，所以 149ab，即123ab，当且仅当32ab时等号成立，11122 622 33abab,当且仅当32ab时等号成立故 11ab的最小值为 2 63.