2021年新教材高一数学暑假作业（十二）新人教A版.docx

1、高一数学暑假作业一、单选题1. 若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：AB=A；AB=A;A(IB)=;AB=IxB是xA的必要不充分条件.其中与命题AB等价的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6，xR，则下面结论中不正确的是 ( )A. f(x)最小正周期为B. 函数f(x)在区间-3,4单调递增C. 函数f(x)在区间-3,4有最大值为34D. 函数f(x)关于x=3对称3. 若函数fx=x+2x,20,a1)，下列命题中正确的是( )A. 函数图像关于y轴对称B. 当a1时，函数在(0,+)上为增函数C. 当0ay0是1x1

2、y成立的充要条件B. aba+b22对a，bR恒成立C. 命题“xR，使得x2+x+10”的否定是“xR，使得x2+x+10,y0，则x+2y的最小值是8三、填空题13. (1)函数的单调递减区间是_(2)已知f(x)=ax(a0,a1)过点(2,9)，则其反函数的解析式为_ (3)设函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)满足条件：存在a,bD，使f(x)在a,b上的值域是2a,2b，则称f(x)为“倍扩函数”，若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍扩函数”，则实数t的取值范围是_(4)已知函数f(x)=|2x-1|的图象与直线y=a有两个公共点，则a的取值范围是_设2a=5b=log2

3、x+log2y，且1a+1b=1，则x+y的最小值为_14. 下列四个命题中：已知则；tan(-30)=-tan30=-33;若sin=-32,则cos2=-12;在锐角三角形ABC中，已知sinA=725,cosB=35,则sinC=119125.其中真命题的编号有15. 在ABC中，已知CD=2DB，P为线段AD上的一点，且满足CP=12CA+mCB，若ABC的面积为23，ACB=3，则CP的最小值为_16. 如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论：ACSB；AB/平面SCD；AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角；二面角B-SD-C的大小为45其中，正确结

4、论的序号是17. 某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为1112.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品则一个零件经过检测，为合格品的概率是_四、解答题18. 设函数f(x)=2cos(x+2)cosx+2sin(x+52)cosx+1(1)设方程f(x)-1=0在(0,)内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值；(2)若把函数y=f(x)的图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位，得函数g(x)图象，g(x)在-3,3上的最值19. 随着小汽车的普及，

5、“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为34，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为23.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试

6、的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率20. 已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，若m=(a+c,b)，n=(a-c,b-a)且(1)求角C的大小；(2)若c=6，sinA=2sinB，求ABC的面积21. 南京地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利已知地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2t20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10t20时，地铁为满载状态，载客量为50

7、0人；当2t10时，载客量会减少，减少的人数与(10-t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t)(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q=8s(t)-2656t-60(元).问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？22. 如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，BB1平面ABC，ABBC，AB=2，BC=1，BB1=3，D是CC1的中点，E是AB的中点 ()证明：DE/平面C1BA1；()F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为13，求二面角F-BA1-A的

8、余弦值 答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的运算性质、集合之间的关系，属于中档题利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论【解答】解：由AB得Venn图，AB=AAB;AB=ABA;AIB=AB;AB=IAIBIA=B=IAB,但AB不一定能得出A=B=I，故AB=I与AB不等价;xB是xA的必要不充分条件，则AB，但AB不一定能得xB是xA的必要不充分条件，所以不等价故和命题AB等价的有，故选B2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数y=Asin(x+)的图象与性质，二倍角公式及其应用，辅助角公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题根据二倍角公式和辅助

9、角公式化简可得f(x)=12sin(2x-6)，从而即可根据正弦函数的性质分别对各选项求解【解答】解：因f(x)=sin2x-sin2(x-6)=1-cos2x2-1-cos(2x-3)2=12(cos2xcos3+sin2xsin3)-12cos2x=34sin2x-14cos2x=12sin2x-6，f(x)的最小正周期T=22=，当x-3,4时，2x-6-56,3，当2x-6=-2，即x=-6时，f(x)min=12sin-2=-12；当2x-6=3即x=4时，f(x)max=12sin3=34，即f(x)在-3,4的最大值为34；最小值为-12，在-3,4先递减后递增；又f(3)=12

10、sin(23-6)=12，所以函数f(x)关于x=3对称，故选B3.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性、分段函数的值域以及复合函数，属于中档题先根据函数f(x)=x+2x在对应区间上的单调性得出第一段上f(x)的范围，再利用二次函数在闭区间上的值域以及复合函数的方法得出第二段上f(x)的范围，最后求这两个范围的并集即得【解答】解：当2x3时，函数f(x)=x+2x单调递增，且f(2)=3，f(3)=113，所以此时3e，ln212，又ln102.3，t32.3+0.5=7.4，所以至少需要8小时故选：D9.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查函数性质的应用.涉及函数的单调性，奇

11、偶性，以及函数的最值，基本不等式的应用以及指数函数的性质，属于中档题由函数奇偶性的定义判断A，令g(x)=x2+1|x|，判断其单调性与最值，讨论a的范围，可判断B、C、D【解答】解：由题知，fx的定义域为x|x0，且f(-x)=a(-x)2+1|-x|=ax2+1|x|=f(x)，所以fx为偶函数，所以函数图像关于y轴对称，故A正确，令g(x)=x2+1|x|=|x|+1|x|=x+1x,x0-x-1x,x1时，gx为增函数，当0x1，函数y=ax为增函数，由复合函数的单调性可知fx在(0,1)上为减函数，在(1,+)上为增函数，故B错误，由|x|+1|x|2，当且仅当|x|=1时取等号，当

12、0a1时，函数y=ax为减函数，故f(x)有最大值a2，故C正确，当0a1时，值域为a2,+，故D错误故选AC10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(x+)的图象与性质，降幂公式，辅助角公式等，属于中档题先利用降幂公式和二倍角公式，辅助角公式，化简f(x)，得，结合函数y=Asin(x+)的图象与性质及正弦函数的图象和性质，逐项判断【解答】解：f(x)=3cos2x-sin2x+4sinxcosx=3(1+cos2x)2-1-cos2x2+2sin2x=2cos2x+2sin2x+1=2222cos2x+22sin2x+1f(x)的最小正周期为，A正确；当时，f(x)取

13、得最小值为1-22，B正确；函数的对称轴为，kZ，即，kZ，当k=0时，x=8，当k=1时，x=58，即直线x=8是图象的一条对称轴，D正确，C错误故答案为ABD11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角，直线与平面所成角，棱锥体积的计算，考查空间想象能力和转化思想，属于较难题根据空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角，直线与平面所成角，棱锥体积的计算公式对选项逐一判断即可【解答】解：对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易证DB1平面A1BC1，又A1G平面A1BC1，所以A1GB1D，故A正确；对于B，C1D1/AB

14、，C1D1平面ABE，AB平面ABE，C1D1/平面ABE，F到平面ABE的距离等于D1到平面ABE的距离，VA-BEF=VF-ABE=VD1-ABE=VB-AED1=1312466=24，故B正确；对于C，在棱CC1上取点N，使CN=2，连结BN，NE，FN(如图)，则易知FBN为直线AE与BF所成角或其补角，由题意可得BN=210，FN=5，FB=9，则cosFBN=(210)2+92-5229210=8310=41015，则直线AE与BF所成角的余弦值为41015，故C错误；对于D，由题意知三棱锥A1-BDC1为棱长为62的正四面体，作A1O平面BDC1，O为垂足，则O为正BDC1的中心

15、，且A1GO为直线A1G与平面BDC1所成角，所以cosA1GO=OGA1G=1-A1O2A1G，当点G移动到BC1的中点时，A1G最短，此时cosA1GO最小，A1GO最大，此时cosA1GO=OGA1G=636=13，故D正确故选ABD12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查充要条件的判定，考查存在量词命题的否定，考查基本不等式的应用，属于基础题根据不等式的基本性质可判定A；根据基本不等式可判定BD；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判定C【解答】解：若xy0，则1x1y；取x=-1，y=2，满足1xy0不成立A错误；由于(a+b2)2-ab=a-b240，当且仅当a=b时取等号，

16、所以ab(a+b2)2对a，bR恒成立B正确；命题“xR，使得x2+x+10”的否定是“xR，使得x2+x+10,y0，则x+2y=x+2y2x+1y=4+4yx+xy4+24yxxy=8，当且仅当x=2y时取等号所以x+2y的最小值是8，D正确故选BCD13.【答案】(1)(1,+)；(2)y=log3x；(3)(-14,0)；(4)(0,1)；64【解析】(1)【分析】本题主要考查对数函数的单调性，对数函数的定义域，复合函数的单调性规律，是基础题由x2+2x-30求得函数的定义域，利用复合函数的单调性求出函数y=log12(x2+2x-3)的单调递减区间【解答】解：由x2+2x-30解得x

17、1，故函数的定义域为(-,-3)(1,+)，在(-,-3)上，函数t=x2+2x-3单调递减，由复合函数的单调性得单调递增，在(1,+)上，函数t=x2+2x-3单调递增，由复合函数的单调性得单调递减，故函数的单调递减区间是(1,+)，故答案为(1,+)；(2)【分析】本题考查了同底的指数函数与对数函数互为反函数的性质，属于基础题利用同底的指数函数与对数函数互为反函数的性质即可得出【解答】解：f(x)=ax(a0,a1)过点(2,9)，9=a2，解得a=3，f(x)=3x，其反函数为：y=log3x.故答案为y=log3x；(3)【分析】本题考查了函数的值域问题，渗透转化思想，是中档题由题意得

18、，函数是增函数，故log2(2a+t)=2alog2(2b+t)=2b，即等价于方程x2-x-t=0有两个不等的实根，且两根都大于0，利用二次函数根的分布即可求出t的取值范围【解答】解：函数f(x)=log2(2x+t)为“倍扩函数”，即：存在a,bD，使f(x)在a,b上的值域是2a,2b，易知f(x)在a,b上是增函数，log2(2a+t)=2alog2(2b+t)=2b，化简得：2a+t=(2a)22b+t=(2b)2,该方程组等价于方程x2-x-t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；得，解得：满足条件的t的范围是(-14,0)；(4)【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中

19、根据指数函数的图象及函数图象的变换法则，得到函数f(x)=|2x-1|的图象，数形结合即可得到答案画出函数f(x)=|2x-1|的图象，根据图象即可得到函数f(x)=|2x-1|的图象与直线y=a有两个公共点时，a的取值范围【解答】解：f(x)=|2x-1|的图象如下图所示：由图可知：当0a1时，函数f(x)=|2x-1|的图象与直线y=a有两个公共点，故答案为(0,1)；【分析】本题考查了对数的运算，利用基本不等式求最值，属于中档题令2a=5b=m，可得，根据1a+1b=1可求出m，可得xy=210，由此可求出答案【解答】解：令2a=5b=m，则，则，所以，所以xy=210，所以x+y2xy

20、=2210=26=64，当且仅当x=y=25时，等号成立，所以x+y的最小值为64故答案为6414.【答案】【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式以及二倍角公式的应用，属于中档题根据各选项涉及的相关三角公式即可判断正误【解答】解：对于：由条件得所以解得，故不正确；对于：因为tan(-30)=sin(-30)cos(-30)=-sin30cos30=-tan30=-33;故正确；对于：因为sin=-32,所以cos2=1-2sin2=1-2(-32)2=-12，故正确；对于：因为在锐角ABC中，sinA=725,cosB=35,所以0A2,0B2,0C2，所以

21、cosA=1-sin2A=2425,sinB=1-cos2B=45,所以sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=72535+242545=117125，故不正确，故答案为15.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查平面向量的基本定理，向量的数量积，向量的模，向量的加法，三角形的面积公式，利用基本不等式求最值，综合性强，有一定难度根据题意用CA、CB表示出CP，通过对应系数相等求出m，利用三角形的面积公式，利用基本不等式即可求出最终答案【解答】解：设AP=xAD，0x1，因为CD=2DB，所以CD=23CB，根据题意得，CP=CA+AP=CA+xAD=

22、CA+xAC+CD=(1-x)CA+2x3CB，又因为CP=12CA+mCB，所以1-x=122x3=m，解得x=12m=13，又因为，解得CACB=8，所以，所以|CP|=14CA2+13CACB+19CB2=43+14CA2+19CB243+212CA13CB=2，当且仅当CA=433,CB=23时等号成立故答案为216.【答案】【解析】【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题逐项判断每个结论的正误即可【解答】解：四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，在中，SD底面ABCD，AC底面ABCD，底面ABCD为正方形，BDAC，SDAC，又BDSD

23、=D，BD,SD平面BDS，AC平面BDS，SB平面BDS，ACSB，故正确；在中，AB/CD，AB平面SCD，CD平面SCD，AB/平面SCD，故正确；在中，AB/CD，SD平面ABCD，AB与SC所成的角为SCD90，DCAD，DCSD，ADSD=D，AD，SD平面ADS，DC平面ADS，SA平面ADS，DCSA，即DC与SA所成的角为90，AB与SC所成的角小于DC与SA所成的角，故错误；在中，SD平面ABCD，ABCD是正方形，二面角B-SD-C的大小为45，故正确故答案为17.【答案】12【解析】【分析】本题考查概率的计算，解题时注意各个事件之间的相互关系以及事件之间概率的关系，属于

24、中档题设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，根据题意，可得关于P1、P2的二元一次方程组，求得P1、P2的值，将P1、P2相乘可得答案【解答】解：设A，B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，由题意，得P1(1-P2)+(1-P1)P2=512,1-(1-P1)(1-P2)=1112解得P1=34，P2=23，或P1=23，P2=34解得P1P2=12,所以一个零件经过检测为合格品的概率P=P1P2=12故答案为1218.【答案】解：，由于f(x)-1=0，所以，即，所以2x+4=2k+34或，所以x=k+4或x=k+2(kZ)，由于x(0,)，故x1=4,x2=2，所以x1+x2

25、=34(2)y=f(x)图象向左平移6个单位，得，再向下平移2个单位得：，当x-3,3时，2x+12-712,34，所以，所以g(x)在-3,3上的最大值为2，最小值为-2【解析】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型(1)直接利用三角函数关系式的变换，再利用函数的图象求出结果(2)利用平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值域，最后求出最值19.【答案】解：(1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai，“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi(i=1,2,3,4,5)，则P(Ai)

26、=34，P(Bi)=23设事件A=“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件B=“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”则P(A)=P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1A2)=34+1434=1516，P(B)=P(B1+B1B2)=P(B1)+P(B1B2)=23+1323=89，P(C)=P(AB)=151689=56因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为56；(2)设事件D=“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件E=“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件F=“这对夫妻在本次报名中参

27、加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则P(D)=P(A1A2A3)=141434=364，P(E)=P(B1B2B3)=131323=227，P(F)=P(AE+DB)=1516227+36489=19因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为19【解析】本题主要考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查学生数学应用能力，属于中档题(1)设出基本事件，利用P(A)=P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1A2)，P(B)=P(B1+B1B2)=P(B1)+P(B1B2)，P(C)=P(AB)=151689=56，由互斥事件和相

28、互独立事件的概率公式计算可得答案；(2)设出基本事件，利用P(D)=P(A1A2A3)，P(E)=P(B1B2B3)，P(F)=P(AE+DB)，计算出答案20.【答案】解：(1)由可得：a2-c2+b2-ab=0，由余弦定理可得：cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，又C0,，C=3(2)由sinA=2sinB及正弦定理可得：a=2b，c=6，C=3，由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-ab=3b2，解得：b=2，a=22，SABC=12absinC=1222232=3【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及向量垂直的性质，属于中档

29、题(1)由得a2-c2+b2-ab=0，结合余弦定理，即可求出角C的大小；(2)由正弦定理可得：a=2b，由三角形的面积公式可得a，b的值，从而利用三角形面积公式求解即可21.【答案】解：(1)当10t20时，s(t)=500当2t10时，s(t)=500-k(10-t)2，s(2)=372，372=500-k(10-2)2，解得k=2s(t)=500-2(10-t)2s(t)=500-2(10-t)2,2t10500,10t20,s(5)=500-252=450人(2)当10t20时，s(t)=500Q=8500-2656t-60=1344t-60134410-60=74.4可得Qmax=7

30、4.4当2t10时，s(t)=500-2(10-t)2Q=4000-16(10-t)2-2656t-60=-16(t+16t)+260，函数y=t+16t在t2,4上为减函数，在t4,10上为增函数，当t=4时，Qmax=132当列车发车时问间隔为4时，该线路每分钟的净收益最大为132元【解析】本题考查了分段函数的性质、反比例函数的单调性、对勾函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(1)当10t20时，s(t)=500，当2t10时，s(t)=500-k(10-t)2，由s(2)=372，解得k，即可得出s(t)；(2)当10t20时，s(t)=500，可得Q=1344t-60，利用

31、反比例函数的单调性即可得出Qmax，当2t10时，s(t)=500-2(10-t)2，可得Q=-16(t+16t)+260132，利用对勾函数的性质即可得出22.【答案】解：()连结AB1交A1B于O，连结EO,OC1，OA=OB,AE=EB,OE=12BB1,OE/BB1，又DC1=12BB1，DC1/BB1，OE=/DC1，因此，四边形DEOC1为平行四边形，即ED/OC1，OC1面C1AB,ED面C1AB,DE/平面C1BA1；()建立空间直角坐标系B-xyz，如图过F作FHBB1，连结AH，平面CBB1C1，；AB面BAA1B1,FH面CBB1C1,FHBB1,面BAA1B1面CBB1

32、C1=BB1,FH面BAA1B1，即为直线AF与平面ABB1A1所成角，记为，则sin=1AF=13,AF=3,在中，5=AC2=CF2+AF2=CF2+9,CF=2,即F(0,2,1),A1(2,3,0),BF=(0,2,1),BA1=(2,3,0),设平面BAC1的法向量m=(x,y,z)，mBF=2y+z=0mBA1=2x+3y=0,取y=2,m=(-3,2,-4)，平面BAA1的法向量n=(0,0,1)，|cos|=mnmn=4291=42929，结合图形可知，二面角F-BA1-A的平面角为钝角，因此，二面角F-BA1-A的余弦值-42929【解析】本题考查了线面平行的判定，直线与平面所成角，二面角，考查了空间想象能力，属于中档题()连结AB1交A1B于O，连结EO,OC1，根据几何关系在，证明四边形DEOC1为平行四边形，进而得到ED/OC1，然后运用线面平行的判定即可得证；()建立空间直角坐标系B-xyz，根据几何关系找到直线AF与平面ABB1A1所成角，进而求出AF，然后用空间向量法求二面角F-BA1-A的余弦值即可