9.2直线、圆的位置关系.pdf

1、 年高考年模拟 版（教师用书）直线、圆的位置关系考点一 两直线的位置关系 两条直线的位置关系斜截式一般式：，：，：相交平行 且 ，或 ，重合 且 特别地，当直线 与 垂直时，距离公式（）两点间的距离：平面上的两点（，）、（，）间的距离公式：（）（）特别地，原 点 （，）与 任 一 点 （，）的 距 离 （）点到直线的距离：点（，）到直线 的距离 （）两条平行线间的距离：两条平行线 与 （）间的距离 知识拓展 （）用点到直线的距离公式时，直线方程必须化为一般式，还要注意公式中的分子含有绝对值符号，分母含有根号（）求两平行线间的距离时，可转化为其中一条直线上的点到另一条直线的距离，也可以代入公式求

2、解，但此时必须先将两直线方程转化为一般形式且、的系数分别对应相等（）点到几种特殊直线的距离，可直接求出：（）点（，）到 轴的距离 ；（）点（，）到 轴的距离 ；（）点（，）到与 轴平行的直线 的距离 ；（）点（，）到与 轴平行的直线 的距离 考点二 直线与圆的位置关系 点与圆的位置关系（）根据点到圆心的距离 与圆的半径 的大小判断：点在圆外；点在圆上；点在圆内（）根据点（，）与圆的方程（）（）的关系判断：（）（）点在圆外；（）（）点在圆上；（）（）点在圆内直线与圆的位置关系的判定设直线：（），圆：（）（）（），为圆心（，）到直线 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为

3、位置关系图形判断方法代数法几何法公共点个数相交相切 相离 与圆的切线有关的结论（）过圆 上一点（，）的切线方程为；（）过圆（）（）上一点（，）的切线方程为（）（）（）（）；（）过圆 外一点（，）作圆的两条切线，切点为，则过、两点的直线方程为；（）过圆 （）外一点（，）引圆的切线，切点为，则切线长 直线与圆相交直线与圆相交时，若 为弦长，为弦心距，为半径，则有 ，即 ，求弦长或已知弦长求其他量时，一般用此公式考点三 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，（），则位置关系外离外切相交内切内含图形位置关系外离外切相交内切内含公共点个数，的关系 公切线条数 知识拓展 圆

4、系方程（）同心圆系方程：（）（）（），其中，是定值，是参数；（）过直线 与圆 交点的圆系方程：（）（）；专题九 圆锥曲线（）过圆：和圆：交点的圆系方程：（）（）（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆 是否满足题意，以防漏解）两圆相交时，公共弦所在直线的方程设圆：，圆：，若两圆相交，则有一条公共弦，两圆方程相减得（）（），即圆 与 的公共弦所在直线的方程知识拓展 （）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即为两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆公共弦所在的直线方程（）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心（）求公共弦长时，几何

5、法比代数法简单且易求考点一 两直线的位置关系若直线：（）与直线：互相平行，则 的值等于（）或 或 或 或 或 答案（多选题）已知直线：，：（），则下列说法正确的是（）若，则 或 若，则 若，则 若，则 答案 考点二 直线与圆的位置关系平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是（）或 或 或 或 答案 直线：与圆：恒有公共点，则 的取值范围是（），答案 已知点（，）和点（，），若圆 上恰有两个不同的点，使得 的面积为 ，则实数 的取值范围是 答案 ，()考点三 圆与圆的位置关系设圆：与圆：（）（），则圆 与圆 的位置关系是（）外离外切相交内含答案 圆：（）（）与圆：（）（）外切，则 的值为（）或不确

6、定答案 圆心为（，）的圆 与圆 相外切，则圆 的方程为（）答案 两圆：，：相交于，两点，则 答案 考点一 两直线的位置关系（广东珠海 月摸底测试，）已知点（，），（，），若直线：上存在点 使得，则实数 的取值范围是（），（，），（，）答案 直线 上存在点，使，以 为直径的圆与直线 有公共点，易知以 为直径的圆的圆心为（，），半径 ，则圆心（，）到直线 的距离 ，解得 ，故选 若直线：与直线：互相垂直，则实数 的值为 答案 或 解析 ，解得 或 考点二 直线与圆的位置关系（辽宁大连第一中学月考）已知圆：，直线：，在直线 上任取一点 向圆 作切线，切点为，连接，则直线 一定过定点（），()（，）年

7、高考年模拟 版（教师用书）（，），()答案 如图所示，设点（，），则 以 为直径的圆的方程为（）（），又圆：，作差可得直线 的方程为 ，将 代入可得（），令 ，故直线 过定点 ，()思路分析 设点（，），根据圆系知识可求出直线 的方程，再根据点（，）在直线 上，可得，的关系，代入直线 的方程，消去，根据关于 的方程恒成立即可求出定点坐标方法总结 与圆的切线有关的结论（）过圆 上一点（，）的切线方程为；（）过圆（）（）上一点（，）的切线方程为（）（）（）（）；（）过圆 外一点（，）作圆的两条切线，切点为，则过、两点的直线方程为（山西太原五中 月模拟，）已知，点（，）是直线 与圆 的公共点，则 的

8、最大值为（）答案 由题意得，圆心到直线 的距离 ，且，解得，因为 （）（）（），所以当 时，取得最大值 故选（河北石家庄一模，）若，是正数，直线 被圆 截得的弦长为 ，则 取得最大值时 的值为（）答案 由已知可得圆心到直线 的距离 ，则直线被圆截得的弦长为 ，化简得 （）（）（）（），当且仅当 ，时等号成立，即 取最大值，此时 （舍负）故选 方法点拨 在解直线与圆相交的弦长问题时，经常采用几何法当直线与圆相交时，半径长、半弦长、弦心距所构成的直角三角形在解题中起到关键作用，解题时要注意将它和点到直线的距离公式结合起来使用考点三 圆与圆的位置关系已知圆：（）截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆

9、：（）（）的位置关系是（）内切相交外切外离答案 圆：（）（）的圆心为（，），半径 ，圆心 到直线 的距离 ，由题意知 ，所以 ，（，），又圆 的圆心为（，），半径 ，（）（），两圆相交（江苏宜兴中学期中）圆心在直线 上，且经过两圆 和 的交点的圆的方程为 答案 解析 设经过两圆的交点的圆的方程为（），即 ，所以圆心坐标为 ，()又圆心在直线 上，所以 ，解得 ，故所求圆的方程为 （北京清华附中高二期中，）若圆：与圆：（）（）相交于，两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则线段 的长度是 答案 解析 由题意得圆 的圆心为（，），半径为 ，圆 的圆心为（，），半径为 ，根据两圆相交于，时，圆心距大于

10、半径之差而小于半径之和，可得 ，再根据题意可得，解得 思路分析 由题意结合圆的切线性质可得，由勾股定理可得 的值，再用三角形等面积法求得 的长度专题九 圆锥曲线 考法一 两直线的位置关系 例 已知直线：和：（）（）试判断 与 是否平行；（）当 时，求 的值解析 解法一：（）当 时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，不平行于；当 时，两条直线的方程可化为：，：（），由 ，（），解得 综上可知，当 时，否则 与 不平行（）当 时，直线 与 不垂直；当 时，两条直线的方程可化为：，：（），由 得 ，解得 解法二：（）由 ，得（）；由，得（），因此（），（），（）故当 时，否则 与 不平行（）由 ，

11、得（），故 方法总结 位置关系的判断方法选择若给的是斜截式方程，则选择运用斜率 和截距 来判断；若给的是一般式方程，则用一般式方程 中的系数，来判断例（广东江门 月模拟，）已知三条直线：，：，：，若 关于 对称的直线与 垂直，则实数 的值是（）解析 易知直线：关于直线：对称的直线方程为 ，又：，故由题意得（），故选 答案 考法二 直线和圆的位置关系 例 已知点（，），（，），圆：（）（）（）求过点 的圆 的切线方程；（）求过点 的圆 的切线方程，并求出切线长解题导引 解析 由题意得圆心为（，），半径 （）（）（），点 在圆 上又 ，切线的斜率 过点 的圆 的切线方程是（）（），即 （）（）（）

12、，点 在圆 外部当过点 的直线的斜率不存在时，直线方程为 ，即 又点（，）到直线 的距离 ，直线 是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为 （），即 ，则圆心 到切线的距离 ，解得 切线方程为 （），即 综上可得，过点 的圆 的切线方程为 或 （）（），过点 的圆 的切线长为 方法总结 求过圆上一点（，）的切线方程的方法若切线斜率存在且不为零，则先求切点和圆心连线的斜率，由垂直关系知切线斜率为 ，由点斜式可求切线方程；若切线斜率不存在或为零，则可直接写出直线的方程为 或，检验该直线是不是切线求过圆外一点（，）的圆的切线方程的方法（）几何法：当切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为（），即 ，

13、由圆心到切线的距离等于半径列出关于 的方程，解方程即可得到 的值，从而可得切线方程；当切线斜率不存在时，可直接写出切线的方程为（）代数法：当切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为（），即，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次方程，由 求得 值，从而得到切线方程；当切线斜率不存在时，可直接写出切线的方程为 例 已知以点（，）为圆心的圆与直线：相切，过点（，）的动直线 与圆 相交于，两点，是 的中点（）求圆 的方程；（）当 时，求直线 的方程解题导引 （）由直线 与圆 相切求出圆 的半径，从而求出圆 的方程（）当直线 的斜率不存在时，写出直线 的方程，检验是否满足条件；当直线 的斜率存在时，设出

14、直线 的方程，由 及点到直线的距离公式，可求出直线 的斜率，从而得出 的方程解析（）设圆 的半径为，因为圆 与直线：年高考年模拟 版（教师用书）相切，所以 ，所以圆 的方程为（）（）（）当直线 垂直于 轴时，直线 的方程为 ，将 代入圆 的方程，得（）（），解得 ，此时 ，则 符合题意当直线 与 轴不垂直时，设直线 的斜率为，则直线 的方程为（），即 连接，因为 是 的中点，所以，所以 ()，又 ，所以 即 ，（）解得 所以直线 的方程为 （），即 综上，满足题意的直线 的方程为 或 方法总结 圆的弦长的求法：几何法：设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则()；代数法：设弦所在直线 与圆（）（）（

15、）相交于（，），（，）两点，可列方程组，（）（），消去 后得到一个关于 的一元二次方程，从而求得 ，则弦长 （）例（河北衡水中学五调，）设直线 与圆（）（）相交于，两点，且弦长为 ，则 的值是 解析 由题可知圆心为（，），半径 ，圆心到直线 的距离 ，由垂径定理和勾股定理可得，弦长 ，即 （），（），即（），解得 答案 考法三 圆和圆的位置关系 例 已知圆：和圆：，则两圆的公共弦长为 解题导引 解析 易 知 两 圆 相 交 联 立 两 圆 的 方 程 得，两式相减整理得 ，即为两圆公共弦所在直线的方程解法一：设两圆相交于点，则，两点的坐标满足方程组，解得 ，或 ，所以 （）（），即公共弦长为

16、解法二：可化为（）（），则圆心坐标为（，），半径 圆心到直线 的距离 （）（），设两圆的公共弦长为，由 ()，得 （）（），即两圆的公共弦长为 答案 例（河南郑州外国语中学 月调研，）已知圆：（）和圆：（）只有一条公切线，若，且，则 的最小值为（）解析 由题意可知，圆 的圆心为（，），半径为，圆 的圆心为（，），半径为，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以（）（），即 所以 （），当且仅当 ，且 ，即 ，时等号成立，所以 的最小值为 故选 答案 思路分析 由题意可得两圆内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，利用两圆内切的性质可得 ，再利用“”的代换及基本不等式即可求得 的最小值专题九

17、圆锥曲线 考法一 两直线的位置关系（浙江高三部分校联考，）已知直线：（），：，则“”是“”的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件答案（多选题）（江苏启东检测，）已知直线：（），其中，下列说法正确的是（）当 时，直线 与直线 垂直若直线 与直线 平行，则 直线 过定点（，）当 时，直线 在两坐标轴上的截距相等答案（浙江杭州四中月考，）（）求两条垂直的直线 和 的交点坐标；（）求平行于直线 ，且与它的距离为 的直线方程考法二 直线和圆的位置关系（山东聊城第一中学月考，）已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为（）（）（）（）（）（）（）（）（）答案（多选题

18、）（山东德州期末，）已知点 是直线：上一定点，点、是圆 上的动点，若 的最大值为，则点 的坐标可以是（）（，）（，）（，）（，）答案（山东枣庄、滕州期末，）已知直线：（）与直线：相交于点，点 是圆（）（）上的动点，则 的最大值为（）答案（河北衡水金卷，）过（，），（，）两点的光线经 轴反射后所在直线与圆 存在公共点，则实数 的取值范围为 答案 ，（江苏南通、如皋教学质量调研（二），）已知圆：（），过定点（，）作斜率为 的直线交圆 于、两点，为 的中点（）求实数 的值；（）从圆外一点 向圆 引一条切线，切点为，且有 ，求 的最小值考法三 圆和圆的位置关系（山东六地部分学校线上测试，）已知圆：，圆

19、：，则圆 与圆（）相交外切内切外离答案（山东聊城高考模拟，）圆 与圆 的公共弦长为（）答案（多选题）（山东枣庄期中，）已知圆：，圆：（）（）（）交于不同的（，），（，）两点，下列结论正确的有（）（）（）答案 考法一 两直线的位置关系（浙江 高中联盟期中，）“”是“直线（）与直线 平行”的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件答案 当 时，两直线不平行当 时，由两直线平行可得 ，且 ，解得 或 ，“”是“直线（）与直线 平行”的充分不必要条件，故选（浙江高考模拟卷，）已知直线：，：（），若，则直线 过定点 ；若，则实数 答案（，）；或解析 在直线 的方程中，令 ，得 ，

20、则直线 过定点（，）由两直线平行得 ，解得 或，经检验知此时两直线平行（天津和平四模，）经过圆 的圆心，且与直线 垂直的直线方程是 答案 解析 将圆的方程化为标准方程，即（），可得圆心坐标为（，）直线 的斜率为，与直线 垂直的直线的斜率为 则所求直线方程为 （），即 解题分析 本题考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题考法二 直线和圆的位置关系（浙江新高考调研卷五（绍兴一中），）在平面直角坐标 年高考年模拟 版（教师用书）系 中，以（，）为圆心，且与直线 （）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是（）（）（）（）（）答案 直线 过定点（，），故圆心到定点的距离为 ，以此为半径，圆的面积最大故选

21、（天津河西一模，）已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，若其渐近线与圆 相切，则此双曲线的离心率等于（）答案 取双曲线 （，）的一条渐近线 ，即 将圆 化为 （），则圆心坐标为（，），半径 渐近线与圆 相切，即 该双曲线的离心率 故选 解题分析 熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键（天津耀华中学二模，）已知圆的方程为 ，设该圆过点（，）的最长弦和最短弦分别为 和，则四边形 的面积为 答案 解析 圆的标准方程为（）（），则 ，又点（，）到圆心的距离为，又易知，四边形 的面积为 考法三 圆和圆的位置关系（江苏镇江期末）已知圆 与圆 相切于

22、 原 点，且 过 点 （，），则 圆 的 标 准 方 程为 答案（）（）解析 将 化为标准方程为（）（），则圆心坐标为（，），半径为 由题意可知圆心 在 的垂直平分线 上，因为圆心 在点（，）与原点的连线 上，所 以 点 的 坐 标 为（，），则 圆 的 半 径 （）（）所以圆 的方程为（）（）（天津十二区县二模，）已知两圆 和（）（）相交于、两个不同的点，且直线 与直线 垂直，则实数 答案 解析 由题意，两圆相减可得：，直线 与直线 垂直，解题分析 本题考查圆与圆的位置关系，考查两条直线垂直位置关系的运用，属于中档题（江苏如东高级中学高三第二次学情检测，）在平面直角坐标系 中，圆：（）与圆：

23、（）（）相交于，两点，若在直线 上存在一点，使 成立，则 的取值范围是 答案（，解析 圆 与圆 相交于，两点，又（，），（，），直线 上存在一点，使 成立，直线 与线段 相交，联立两圆的方程，（）（），可得直线 的方程为 与 相交，则点（，）在直线 的右上方，因此，又，故 的取值范围为（，考点直线、圆的位置关系（课标文，分）点（，）到直线 （）距离的最大值为（）答案（课标，文，理，分）若过点（，）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（）答案（北京，分）已知半径为 的圆经过点（，），则其圆心到原点的距离的最小值为（）答案（课标文，分）已知圆 ，过点（，）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小

24、值为（）答案（课标理，分）若直线 与曲线 和圆 都相切，则 的方程为（）答案 专题九 圆锥曲线（课标理，分）已知：，直线：，为 上的动点过点 作 的切线，切点为，当最小时，直线 的方程为（）答案（课标，分）直线 分别与 轴，轴交于，两点，点 在圆（）上，则 面积的取值范围是（），答案（课标，分）圆 的圆心到直线 的距离为，则（）答案（北京，分）圆（）的圆心到直线 的距离为（）答案（北 京，分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，记 为 点（，）到直线 的距离当，变化时，的最大值为（）答案（江 苏，分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知，是圆：()上的两个动点，满足，则 面积的最大值是

25、答案 （课标，分）直线 与圆 交于，两点，则 答案 （课标，分）设直线 与圆：相 交 于，两 点，若 ，则 圆 的 面积为 答案（课标，分）已知直线：与圆 交于，两点，过，分别作 的垂线与 轴交于，两点则 答案（江苏，分）在平面直角坐标系 中，为直线：上在第一象限内的点，（，），以 为直径的圆 与直线 交于另一点 若 ，则点 的横坐标为 答案（课标，分）在直角坐标系 中，曲线 与 轴交于，两点，点 的坐标为（，）当 变化时，解答下列问题：（）能否出现 的情况？说明理由；（）证明过，三点的圆在 轴上截得的弦长为定值考点直线、圆的位置关系（浙江理，分）设，则“”是“直线：与直线：（）平行”的（）充

26、分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件答案 由，得 ，解得 或 ，代入检验符合，即“”是“”的充分不必要条件，故选 评析 本题考查两直线平行和充要条件的判断，考查运算求解能力（广东理，分）平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是（）或 或 或 或 答案 切线平行于直线 ，故可设切线方程为（），结合题意可得 ，解得 故选（山东理，分）一条光线从点（，）射出，经 轴反射后与圆（）（）相切，则反射光线所在直线的斜率为（）或 或 或 或 答案 由题意可知反射光线所在直线过点（，），设反射光线所在直线方程为（），即 反射光线所在直线与圆相切，解得 或 评析 本题主要考查直线和圆的位置关

27、系（重庆理，分）已知直线：（）是圆：的对称轴过点（，）作圆 的一条切线，切点为，则 （）答案 圆 的标准方程为（）（），圆心为（，），半径 ，由直线 是圆 的对称轴，知直线 过点，所以 ，所以（，），于是 ，所以 故选（课标文，分）设点（，），若在圆：上存在点，使得，则 的取值范围是（），答案 解法一：过 作圆 的两条切线、，切点分别为、，若在圆 上存在点，使 ，则，所以，所以，故选 解法二：过 作 于，则 ，即 ，即，故选 年高考年模拟 版（教师用书）评析 本题考查直线与圆的位置关系，体现了数形结合的思想方法（浙江文，分）已知圆 截直线 所得弦的长度为，则实数 的值是（）答案 将圆的方程化为

28、标准方程为（）（），所以圆心为（，），半径 ，圆心到直线 的距离 ，故 ，即 ，所以 ，故选（安徽文，分）过点（，）的直线 与圆 有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是（），(，(，答案 过 点作圆的切线、，连接，如图所示显然，直线 的倾斜角为，又（）（），因此 ，由对称性知，直线 的倾斜角为 若直线 与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是，故选（山东文，分）已知圆：（）截直线 所得线段的长度是 则圆 与圆：（）（）的位置关系是（）内切相交外切相离答案 由题意知圆 的圆心为（，），半径 ，因为圆 截直线 所得线段的长度为 ，所以圆心 到直线 的距离 （），解得 ，又知圆 的圆心为（，），半

29、径 ，所以 ，则 ，所以两圆的位置关系为相交，故选 思路分析 利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于 的方程，从而求出圆 的圆心及半径，根据两圆圆心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系（北京文，分）已知圆：（）（）和两点（，），（，）（）若圆 上存在点，使得，则 的最大值为（）答案 若 ，则点 的轨迹是以 为直径的圆，其方程为 由题意知圆：（）（）与圆：有公共点，所以 ，易知 ，所以，故 的最大值为 选（重庆理，分）已知圆：（）（），圆：（）（），分别是圆，上的动点，为 轴上的动点，则 的最小值为（）答案 圆，如图所示设 是 轴上任意一点，则 的最小值为 ，同理可得 的最小值为 ，则

30、 的最小值为 作 关于 轴的对称点（，），连接，与 轴交于点，连接，根据三角形两边之和大于第三边可知 的最小值为 ，则 的最小值为 选 评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识，同时又考查了数形结合思想、转化思想把折线段长的和转化成两点间的距离是本题的关键（浙江文，分）若直线 与直线 互相垂直，则实数 答案 解析 依题意，所以由 ()，得 评析 本题考查两条直线垂直的充要条件，属容易题注意与平行的区别（天津理，分）设，直线 和圆 ，（为参数）相切，则 的值为 答案 解析 本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系，通过直线与圆相切的条件考查了数学运算和数形结合的思想方法，体现了直观想象、数

31、学运算的核心素养解法一：由圆的参数方程知圆心为（，），半径 ，因为直线 与 圆 相 切，所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，即（），解得 解法二：如图，由圆的参数方程消去，得普通方程为（）（），设圆心为，圆与 轴切于点，易知直线过定点（，），设，易求得 ，则 （）专题九 圆锥曲线（天津理，分）已知圆 的圆心为，直线 ，（为参数）与该圆相交于，两点，则的面积为 答案 解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系圆 的标准方程为（），消去参数 得直线的普通方程为 圆心（，）到直线的距离 ，所以 的面积为 方法总结 有关直线与圆相交的计算问题，通常利用点到直线的距离和勾股定理

32、求解（课标理，分）已知直线：与圆 交于，两点，过，分别作 的垂线与 轴交于，两点若 ，则 答案 解析 由题意可知直线 过定点（，），该定点在圆 上，不妨设点（，），由于 ，所以圆心到直线 的距离为 （）（），又由点到直线的距离公式可得 ，解得 ，所以直线 的斜率 ，即直线 的倾斜角为 如图，过点 作，垂足为，所以 ，在 中，所以 解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质，利用数形结合的思想方法求解（江苏，分）在平面直角坐标系 中，以点（，）为圆心且与直线 （）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 答案（）解析 由 可得（），由 知该直线过定点（，），从而点（，）与直线 的距

33、离的最大值为（）（），故所求圆的标准方程为（）（重庆理，分）已知直线 与圆心为 的圆（）（）相交于，两点，且 为等边三角形，则实数 答案 解析 易 知 是 边 长 为 的 等 边 三 角 形，故 圆 心（，）到 直 线 的 距 离 为 ，即 ，解 得 经检验均符合题意，则 评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题，以及数形结合的思想方法，对综合能力要求较高（课标文，分）已知过点（，）且斜率为 的直线 与圆：（）（）交于，两点（）求 的取值范围；（）若，其中 为坐标原点，求 解析（）由题设，可知直线 的方程为 因为 与 交于两点，所以 解得 所以 的取值范围为 ，（分）（）设（，），（，）将

34、 代入方程（）（），整理得（）（）所以 （），（分）（）（）（）由题设可得（），解得 ，所以 的方程为 故圆心 在 上，所以 （分）（广东理，分）已知过原点的动直线 与圆：相交于不同的两点，（）求圆 的圆心坐标；（）求线段 的中点 的轨迹 的方程；（）是否存在实数，使得直线：（）与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由解析（）圆 的方程 可化为（），所以圆心坐标为（，）（）设（，），（，）（），（，），则 ，由题意可知直线 的斜率必存在，设直线 的方程为 将上述方程代入圆 的方程，化简得（）由题意，可得 （）（），所以 ，代入直线 的方程，得 因为 （）（）（）（），

35、所以 ()由（）解得 ，又，所以 年高考年模拟 版（教师用书）所以线段 的中点 的轨迹 的方程为 ()()（）由（）知，曲线 是在区间，(上的一段圆弧如图，（，），直线 过定点（，）联立直线 的方程与曲线 的方程，消去 整理得（）（）令判别式 ，解得：，由求根公式解得交点的横坐标为，(，由图可知：要使直线 与曲线 只有一个交点，则 ，即 ，（课标文，分）已知点（，），圆：，过点 的动直线 与圆 交于，两点，线段 的中点为，为坐标原点（）求 的轨迹方程；（）当 时，求 的方程及 的面积解析（）圆 的方程可化为（），所以圆心为（，），半径为 设（，），则（，），（，）由题设知，故（）（）（），即（

36、）（）由于点 在圆 的内部，所以 的轨迹方程是（）（）（）由（）可知 的轨迹是以点（，）为圆心，为半径的圆由于 ，故 在线段 的垂直平分线上，又 在圆 上，从而 因为 的斜率为，所以 的斜率为 ，故 的方程为 又 ，到 的距离为，所以 的面积为 评析 本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，在解决直线与圆的相关问题时，利用图形的几何性质可简化运算（江苏，分）如图，在平面直角坐标系 中，点（，），直线：设圆 的半径为，圆心在 上（）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；（）若圆 上存在点，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围解析（）由题意知，圆心 是直线 和 的交点，解得点（

37、，），于是切线的斜率必存在设过（，）的圆 的切线方程为，由题意得，解得 或 ，故所求切线方程为 或 （）因为圆心在直线 上，所以圆 的方程为（）（）设点（，），因为 ，所以（），化简得 ，即 （），所以点 在以（，）为圆心，为半径的圆上由题意，点（，）在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，则，即（）由，得；由，得 所以点 的横坐标 的取值范围为，评析 本题考查直线与圆的方程，直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力时间：分钟 分值：分一、单项选择题（每题 分，共 分）（届广东东华高级中学第二次联考，）“（，）”是

38、“直线 与圆：（）（）相交”的（）充分不必要条件充要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件答案（届河北衡水中学期中，）已知点（，）（）是圆：内一点，直线 是以 为中点的弦所在的直线，直线 的方程为，那么（）且 与圆 相切 且 与圆 相切 且 与圆 相离 且 与圆 相离答案 专题九 圆锥曲线（届河北衡水中学期中，）若圆 和圆 关于直线 对称，过点（，）的圆 与 轴相切，则圆心 的轨迹方程是（）答案（山东济宁第一中学质量检测，）过点（，）的直线与圆 相切，且与直线 垂直，则实数 的值为（）或 答案（重庆綦江中学模拟，）已知圆：，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线，且，分别为切点，则直线

39、经过定点（），()，()，答案（届山东枣庄期中，）已知两定点（，），（，），如果动点 满足 ，点 是圆（）（）上的动点，则 的最大值为（）答案（河南中原名校联盟第三次联考，）设圆 的圆心为，直线 过（，），且与圆 交于，两点，若 ，则直线 的方程为（）或 或 或 或 答案 二、多项选择题（共 分）（届江苏镇江八校期中联考，）已知圆：（）（），若直线 垂直于圆 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则（）答案 三、填空题（每题 分，共 分）（届百师联盟开学摸底联考，）若直线 与圆（）有 且 仅 有 一 个 公 共 点，则 实 数 的 值 为 答案 或（届河南新高三学期初第一次摸底考试，）已知

40、圆 过点（，），且圆心在 轴的负半轴上，直线：被该圆所截得的弦长为 ，则圆 的标准方程为 答案（）（届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中，）在平面直角坐标系 中，过点 向圆：和圆：（）（）各引一条切线，切点分别为，若 ，且平面上存在一定点，使得 到 的距离为定值则点 的坐标为 答案 ，()（届安徽淮北、宿州一模，）已知圆：，定点（，），过点 的直线 与圆 交于、两点，、两点均在 轴的上方，如图，若 平分，则直线 的方程为 答案 （）（届浙江之江教育评价联盟返校联考，）已知圆：和圆：相交于，两点，则 直 线 的 方 程 是 ，线 段 的 长 度 是 答案 ；（届山东开学质量检测，）某中学开设了

41、剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为 ，（单位：），则三个圆之间空隙部分的面积为 答案 四、解答题（共 分）（届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中，）在平面直角坐标系 中，已知圆 过点（，），（，），且圆心在直线 上（）求圆 的标准方程；（）设平行于 的直线 与圆 相交于，两点，且 ，求直线 的方程 年高考年模拟 版（教师用书）（黑龙江哈尔滨第六中学高三 月月考，）过点（，）且倾斜角为 的直线被圆（）所截得的弦长为（）答案 直线方程为 （），即 ，圆心（，）到直线的距离 ，直线被圆截得的弦长 故选（浙江高考模拟试卷（二），）已知圆：（）和直线：，则“

42、”是“直线 与圆 相切”的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件答案 直线：，则圆心（，）到直线 的距离 ，直线 与圆 相切，充分性成立；反之，当圆：（）和直线 相切时，必要性不成立“”是直线 与圆 相切的充分不必要条件故选（浙江新高考调研卷三（杭州二中），）已知直线 与圆 总有 个不同的交点，则 的取值范围是（）（，）（，）（，）（，）答案 直线 过定点（，），要使直线与圆总有 个不同的交点，定点（，）必须在圆内，从而，即 故选（天津十二区县二模，）已知 为实数，直线：，：（），则“”是“”的（）充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件答案 当 时，

43、两直线方程分别为直线：，：，满足，即充分性成立当 时，两直线方程分别为 ，不满足条件；当 时，则 ，由 得 ，解得 或，由 得，则 ，即必要性成立故“”是“”的充要条件（北京通州一模，）已知抛物线 的准线与圆心为 的圆 交于，两点，则 等于（）答案 易知抛物线的准线方程为 ，圆 的圆心坐标 为（，），半 径 为，则 （），故选（湖北四地七校 月联考，）若圆：与圆：（）相交于，两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则线段 的长度是（）答案 连接、，由于 与 在点 处的切线互相垂直，因此，所以 ，即 ，设 交 轴于点 在 中，在中，故选（北京顺义二模，）已知点（，）若曲线 上存在两点，使 为正三角形

44、，则称 为“正三角形”曲线给定下列三条曲线：（）；（）；（）其中，“正三角形”曲线的个数是（）答案 点 不在 （）上，线段与坐标轴的交点为（，），（，），此时 ，因为 ，所以存在两点，使为正三角形，所以是“正三角形”曲线 （）表示 轴左侧的半个圆，曲线与 轴的交点为（，），（，），此时，可知三角形 不可能是正三角形，所以不是“正三角形”曲线利用数形结合思想，以 为圆心作圆，由图象可知当圆与曲线 （）相交时，存在，使 为正三角形，所以为“正三角形”曲线故选（东北三省四市联考，）已知圆：（）（）和两点（，），（，）（），若圆 上存在点，使得，则当 取得最大值时，点 的坐标是（）专题九 圆锥曲线 ，

45、答案 解法一：设 的坐标为（，），由题意知，即（）（），所以 ，（），即 的最大值为，此时 ，所以 所在直线的倾斜角为，所以点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，即 ，解法二：设点 的坐标为（，）（，），由题意知，所以（）（）（），得 ()，当 ，即 时，取得最大值，此时 ，（河北衡水中学期中考试，）在平面直角坐标系 中，在以（，）为圆心且与直线（）（）（）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是（）（）（）（）（）答案 根据题意，记圆心为（，），对于直线（）（），变形可得（）（），易知直线过定点（，）故在以点（，）为圆心且与直线（）（）相切的圆中，面积最大的圆的半径 ，则 ，故其标准方程为（）故选（

46、浙江高考模拟试卷（二），）如图，已知，为椭圆 （）的两个焦点，为椭圆上一点，过 作直线 的垂线交椭圆于，两点，设椭圆的离心率为，若圆 与直线 相切，且 ，则 等于（）答案 设切点为，连接，由题意得 ，为 的中点，又 ，在 中，由勾股定理得（），在 中，由勾股定理得（）（），由得 ，故选（天津部分区县期末，）以点（，）为圆心的圆与直线 相切于点（，），则该圆的方程为 答案 ()解析 以点（，）为圆心的圆与直线 相切于点（，），两点（，）和（，）所在直线与直线 垂直，解得 ，圆心坐标为，()，圆的半径（）()，圆的方程为 ()（原创冲刺卷八，）在平面直角坐标系中，已知（，），（，），圆：，动直线

47、与圆 相交于，两点，且 的面积为 若 为线段 的中点，则 的面积的最大值为 答案 解析 由题易知圆：（）（），且 垂直于，设（），则 ，解得 ，即 的轨迹是以 为圆心，为半径的圆又 ，到 轴的距离的最大值为 ，所以的面积的最大值为 （江苏南通、扬州、泰州三模，）在平面直角坐标系 中，已知点（，），点（，），为圆 上一动点，则 的最大值是 答案 解析 设（，），则由已知可得 （）（）（），（，）在圆 上，令，则（），圆心到直线（）的距离应满足（），解得，故 ，的最大值为（苏锡常镇四市高三教学情况调研（一），）已知直线 年高考年模拟 版（教师用书）：与 轴交于点，点 在直线 上，圆：（）上有且仅有一个点 满足，则点 的横坐标的取值集合为 答案 ，解析 设（，），（，），则（，），直线：与 轴交于点，（，），（，），即（）（）（）整理得（）（），()()（），又（，）在圆（）上，点 可理解为圆()()（）与圆（）的交点，易得（）的圆心（，），半径 ，设()()（）的圆心 ，()，半径 ，由题意得圆 与圆 相切，外切时：，()()整理得 （）若，则 ，（）若，则 ，（舍）内切时：，()()整理得 （）若，则 ，（）若，则 ，（舍）综上：，