9.6圆锥曲线的综合问题.pdf

1、 年高考年模拟 版（教师用书）圆锥曲线的综合问题考点一 曲线与方程 “曲线的方程”与“方程的曲线”在直角坐标系中，如果某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程（，）的实数解建立了如下的关系：（）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做 曲线的方程，这条曲线叫做 方程的曲线 事实上，曲线可以看作一个点集，以二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集 上述定义中，条件（），条件（）求动点的轨迹方程的步骤（）建系建立适当的坐标系；（）设点设轨迹上的任一点（，）；（）列式列出动点 的坐标所满足的关系式；（）代换依条件的特点，选用

2、距离公式、斜率公式等将其转化为关于、的方程式，并化简；（）证明证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程考点二 定点与定值问题 定点问题定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程，选取合适的坐标（可通过取参数的不同特殊值及对应的方程组的根的求解来完成），即可说明此坐标适合该曲线方程且与参数无关定值问题（）定值问题的求解：可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值，再推广到一般结论（）定值问题的证明：可运用函数的思想方法来解决一般步骤如下：（）选择适当的变量；（）把要证明的是定值的量表示成上述变量的函数；（）把是定值的量化成与变量无关的形式，从而证明是定值考点三 最值与范围问题 圆锥曲线中的最值问题大致可

3、分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加以解决；解决最值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用知识拓展 圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想，建立目标函数，求解最值在利用代数法解决最值和范围问题时常从五个方面考虑：（）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（）利用已知参数的范围，求新

4、参数的范围，解这类问题的核心是两个参数之间建立等量关系；（）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（）利用求函数值域的方法，确定参数的取值范围求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点：（）圆锥曲线上本身存在最值问题，如（）椭圆上两点间的最大距离为（长轴长）；（）双曲线上两点间的最小距离为（实轴长）；（）椭圆的焦半径的取值范围为，与 分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最短与最长距离；（）抛物线的顶点与抛物线的准线距离最近（）由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围，解决方法是把所求参数转

5、化为关于另一变元的函数求解考点四 存在性问题 存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论反证法与验证法是求解存在性问题的常用方法考点一 曲线与方程设，则关于，的方程（）所表示的曲线是（）长轴在 轴上的椭圆长轴在 轴上的椭圆实轴在 轴上的双曲线实轴在 轴上的双曲线答案 两定点（，），（，），动点 在抛物线 上移动，则 重心 的轨迹方程是（）答案 已知圆：（），：（），动圆 与圆、都相切，则动圆 的圆心轨迹 的方程为 专题九 圆锥曲线 答案 或

6、设三个数（），（）成等差数列，记（，）对应点的曲线是 求曲线 的方程考点二 定点与定值问题已知直线 与双曲线 相切于点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，则 的值为（）与 的位置有关答案（多选题）设，是抛物线 上的两个不同的点，是坐标原点若直线 与 的斜率之积为 ，则（）以 为直径的圆的面积大于 直线 过定点（，）点 到直线 的距离不大于 答案 已知椭圆：（），四点（，），（，），中恰有三点在椭圆 上（）求 的方程；（）设直线 不经过 点且与 相交于，两点若直线 与直线 的斜率的和为，证明：过定点考点三 最值与范围问题若，则双曲线 的离心率的取值范围是（）（，）（，）（，）（，）答案 已知双曲线

7、：（）的右顶点到其一条渐近线的距离等于 ，抛物线：（）的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线 上的动点 到直线：和：距离之和的最小值为（）答案 设 是椭圆 上一点，分别是两圆：（）和：（）上的点，则 的最小值和最大值分别为（），答案 考点四 存在性问题已知定点（，）及椭圆 ，过点 的动直线与椭圆相交于，两点（）若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程；（）在 轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由已知抛物线：（）的焦点为，为 上一动点，点（，），以线段 为直径作当 过 时，的面积为（）求 的方程；（）是否存在垂直于 轴的直线，使得 被 所截得的弦长为定值？若存在

8、，求 的方程；若不存在，说明理由考点一 曲线与方程（云南昆明一中第二次月考，）已知圆：（），定点（，），点 为圆 上的动点，点 在 上，点 在 上，且满足 ，则点 的轨迹方程为（）答案 由 ，知 为 的中点，且，垂直平分，点 的轨迹是以，为焦点的椭圆，且 ，（），点 的轨迹方程为 ，故选（陕西西安铁一中二模，）在平面直角坐标系 中，动点 关于 轴的对称点为，且 ，则点 的轨迹方程为（）答案 设（，），则（，），（，）（，），故选 考点二 定点与定值问题（北京海淀一模文，）已知椭圆：（）的左顶点为（，），两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，过点（，）且与 轴不重合的直线 与椭圆交于不同的

9、两点，（）求椭圆 的方程；（）当 与 垂直时，求 的长；（）若过点 且平行于 的直线交直线 于点，求证：直线 恒过定点 年高考年模拟 版（教师用书）解析（）因为（，），所以 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，所以 又 ，所以 所以椭圆 的方程为 （）解法一：设（，），则 ，因为 与 垂直，所以 ，联立 ，解得 ，或 ，（舍）所以 解法二：设（，），因为 与 垂直，所以点 在以 为直径的圆上，又因为以 为直径的圆的圆心为 ，()，半径为 ，所以圆的方程为 ()联立()，解得 ，或 ，（舍）所以 （）证明：设（，），（，），直线 的方程为 ，由，得（）显然，则 ，因为直线 与 平行，

10、所以 ，则直线 的方程为 （），令 ，则 （），即 ，（）（）（）（），直线 的方程为 （），（）（），令 ，得 因为 （），故 ，所以直线 恒过定点（，）（河南开封 月联考，）已知直线：，：，动点，分别在，上移动，是线段 的中点，记点 的轨迹为曲线（）求曲线 的方程；（）过点（，）分别作直线，交曲线 于，两点，设这两条直线的斜率分别为，且 ，证明：直线 过定点解析（）根据条件设（，），（，），（）（）设（，）是线段 的中点，则 （），消去，可得曲线 的方程为 （）证明：由（）知，点（，）为椭圆 的上顶点，当直线 的斜率不存在时，设（，），则（，），由 得，得 ；当直线 的斜率存在时，设 的方

11、程为 （），（，），（，），联立 ，（），得 ，则 （）（），即（）（）（）（）（）（）（），由，得（）（），即 （），故直线 过定点（，）经检验，此时直线与椭圆有两个交点，满足题意综上所述，直线 过定点（，）考点三 最值与范围问题（安徽高三期末）如图，已知、分别是椭圆：的左、右焦点，过 的直线 与过 的直线 交于点，线段 的中点为，线段 的垂直平分线 与 的交点（第一象限）在椭圆上，若 为坐标原点，则 的取值范围为（）专题九 圆锥曲线 ，()（，）（，）答案 因为 为线段 的垂直平分线，所以 由中位线定理可得 设点（，）（，）由 两 点 间 的 距 离 公 式，得 （）（），同理可得 ，所以

12、 ，故 ，因为 ，所以 ，故 ，所以 因为（，），所以 （，）故 的取值范围为（，）故选（安徽高三期末）双曲线：（，）的左，右焦点分别为（，），（，），若双曲线 的渐近线上存在点 满足 ，则双曲线 的实轴长的最小值为（）答案 设（，），由 可得（）（），整理得（），即点 在以（，）为圆心，为半径的圆上又点 到双曲线 的渐近线的距离为，当双曲线 的渐近线与圆（）相切时，取得最大值，从而 ，故 故双曲线 的实轴长的最小值为 故选 思路分析 设（，），由 ，利用距离公式化简得出点 在圆（）上，当双曲线 的渐近线与圆相切时，取得最大值，得出 ，结合 得出 的最小值（河南中原名校联盟第三次测评，）椭圆：

13、（）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点 为椭圆 上的任意一点，且 在第一象限，为坐标原点，（，）为椭圆 的右焦点，则的取值范围为（）（，），()，(，(答案 因为椭圆 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以 ，即 ，又（，）为椭圆 的右焦点，所以 因为 ，所以解方程组，得，所以椭圆方程为 设（，）（，），则 ，得 ，所以 （，）（，）()()，又因为，所以当 时，取得最大值，当 趋近于 时，的值趋近于，所以的取值范围为，(考点四 存在性问题（四川绵阳二诊，）已知椭圆：（）的右焦点为，点（，）为椭圆 内一点若椭圆 上存在一点，使得 ，则 的取值范围是（）（，（，答案 椭圆：（）的右焦点为（，

14、），左焦点为（，），由椭圆的定义可得 ，即 ，又 ，可得 ，由 ，可得，解得 ，所以，又 在椭圆内，所以 ，所以（），解得 或 ，结合得 故选 思路分析 由题意可知椭圆的左焦点为（，），右焦点为（，），由椭圆的定义可得 ，即 ，由条件得 ，由三点共线取得最值，解不等式，再由点 在椭圆内部，可得所求范围（原创冲刺卷三，）已知定点（，）和定直线：年高考年模拟 版（教师用书），动圆 在直线 的上方，其半径 ，且圆 上的点到直线 的距离的最小值等于（）求圆心 的轨迹 的方程；（）已知直线 交曲线 于，两点，交 轴于点，交 轴正半轴于点，是否存在直线，使得，两点纵坐标之积为，且？若存在，求出直线 的方程

15、，若不存在，请说明理由解析（）由题意可知，动点 到定点（，）的距离等于到定直线：的距离，根据抛物线的定义可知，点 的轨迹 是以 为焦点的抛物线，故圆心 的轨迹 的方程为 （分）（）假设存在符合条件的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线 的方程为（，），（，），（，）由，得 ，所以，（分）所以 ，由 ，得 ，又，所以 （分）由 ，得 ，作 轴，轴，垂足分别为，则 （），（分）因为 ，（），所以 ，所以 故存在符合条件的直线，其方程为 或 （分）考法一 有关轨迹方程问题的求法 例 （山东滨州三模，）在平面直角坐标系 中，已知点（，），直线：，动点 满足到点 的距离与到直线 的距离之比为 已知点（

16、，），是圆：上一个动点，线段 的垂直平分线交 于点，分别在 轴，轴上运动，且 ，动点 满足 （）从，这三个条件中任选一个，求动点 的轨迹 的方程；（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）（）设圆：上任意一点 处的切线交轨迹 于，两点，试判断以 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由解析（）若选，设（，），根据题意得，（），整理得 所以动点 的轨迹 的方程为 若选，连接，由：得（），由题意得 ，所以 ，所以点 的轨迹 是以，为焦点的椭圆，且 ，故 所以动点 的轨迹 的方程为 若选，设（，），（，），（，），故 ，（）因为 ，所以 ，即 ，将其代入（）

17、得 ，所以动点 的轨迹 的方程为 （）当过点 且与圆 相切的切线斜率不存在时，切线方程为 ，当切线方程为 时，（，），（，）所以以 为直径的圆的方程为（）当切线方程为 时，（，），（，），所以以 为直径的圆的方程为（）联立，可解得交点为（，）当过点 且与圆 相切的切线斜率存在时，设切线方程为，则 ，故 （）联立切线与椭圆 的方程得，消去，得（）因为 （）（）（）（）（），所以切线与椭圆 恒有两个交点设（，），（，），则 ，因为（，），（，），所以（）（）专题九 圆锥曲线 （）（）（）（）所以 所以以 为直径的圆过原点（，）综上所述，以 为直径的圆过定点（，）方法总结 求动点轨迹方程常用的方法直

18、接法；定义法；几何法；相关点法（代入法）；参数法；交轨法其中统称为间接法，体现了一种转化思想，若解题过程中引入了 个参数，则只需建立（）个方程在探求轨迹方程的过程中，需要注意的是轨迹方程的“完备性”和“纯粹性”，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地思考一下：是否还遗漏了一些点；是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在；在所求得的轨迹方程中，的取值范围是否有限制例 已知动圆 和定圆：（）相内切，并且外切于定圆：（），则 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程为 解析 设动圆 的半径为，圆心为（，），由题意知两定圆圆心（，），（，），半径 ，则 ，故 （）（）又 ，则动圆圆心 的轨迹是椭圆，设其方程为 （）

19、，椭圆焦点为（，），（，），则 ，所以 所以动圆圆心 的轨迹方程是 答案 考法二 圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法 例 （山东济南 月模拟，）已知平面上一动点 的坐标为（，）（）求点 的轨迹 的方程；（）点 在轨迹 上，且纵坐标为 （）证明直线 过定点，并求出定点坐标；（）分别以，为圆心作与直线 相切的圆，两圆公共弦的中点为，在平面内是否存在定点，使得 为定值？若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由解析（）设动点 的坐标为（，），因为 的坐标为（，），所以 ，消去参数 得 （）（）因为点 在轨迹 上，且纵坐标为 ，所以点 的坐标为，当 时，直线 的方程为 ；当 时，直线 的斜率为 ，所

20、以直线 的方程为 （），整理得 （），所以直线 过定点（，）（）因为 的坐标为（，），且圆 与直线 相切，所以圆 的方程为（）（）（），同理，圆 的方程为（）（）（），两圆方程相减得（）（），将（，），代入并整理得 ()（），由（）可知直线 的方程为（），因为 是两条直线的交点，所以两个方程相乘得 （）（），整理得 ()，即点 的轨迹是以，()为圆心，为半径的圆，所以存在点 ，()，满足 方法总结 求解定点、定值问题的常用方法：（）直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点或定值；（）从特殊情况入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与变量无关例（云南昆明摸底，）设点 为抛物线：的准

21、线上一点（不同于准线与 轴的交点），过抛物线 的焦点 且垂直于 轴的直线与 交于，两点，设，的斜率分别为，则的值为（）解析 不妨设点 在 轴的上方，由题意知抛物线 的准线方程为 ，焦点（，）将 代入抛物线 的方程，得 ，所以（，），（，）设点 的坐标为（，）（），则 ，所以 故选 答案 考法三 圆锥曲线中的最值（范围）问题的求解方法 例 （山东威海三模，）已知（，）是椭圆：（）上一点，以点 及椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形面积为 （）求椭圆 的标准方程；（）过 作斜率存在且互相垂直的直线，是 与 两交点所连线段的中点，是 与 两交点所连线段的中点，求 面积的最大值解析（）由点（，）在椭圆上可

22、得 ，整理得 年高考年模拟 版（教师用书）由 ，解得 ，所以 ，代入式整理得 ，解得 （舍去），则 所以椭圆的标准方程为 （）由（）可得（，），所以设直线：，联立直线与椭圆的方程得，消去，并整理得（）所以直线 与椭圆两交点所连线段的中点 的纵坐标 ，同理，直线 与椭圆两交点所连线段的中点 的纵坐标 ，所以 （）（）（），将上式分子、分母同除以（）可得，不妨设，令，则 ，令（），则 （），因为，所以 （），所以（）在，）上单调递增，所以当 时，的面积取得最大值，为 方法总结 圆锥曲线中的最值（范围）问题的求解方法几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，找到取最

23、值的特殊位置，此类方法，选择题、填空题中常用到代数法根据题目构建关于变量的等式或不等式，从而采用函数思想进行最值或范围的求解利用代数法解决求参数范围的问题，考虑先建立目标函数（通常为二次函数），再求这个函数的最值求函数最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、导数法、三角换元法等例（豫北名校第二次联考，）已知抛物线 与双曲线 （）有共同的焦点，为坐标原点，点 在 轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）解析 抛物线的标准方程为 ，焦点 的坐标为（，），则双曲线 （）的半焦距 ，由 ，得 ，故双曲线的方程为 设（，）（），则 ，则 （，）（，）()，又因为 ，故当 时，取得最小值 ，

24、故选 答案 考法四 存在性问题 例 （福建三明 月质量检查，）已知椭圆：（）经过点（，），且离心率为 （）求椭圆 的标准方程与焦距；（）若直线：与椭圆 的交点为、两点，线段 的中点为，是否存在常数，使 恒成立？请说明理由解析（）因为椭圆：（）经过点（，），且离心率为 ，所以 ，又因为 ，所以解得 ，故所求椭圆的方程为 ，焦距为 （）存在常数 ，使 恒成立理由如下：由 ，得（），设（，），（，），则 ，又因为（，），（，），所以（）（）()()（）（）（）所以，因为线段 的中点为，所以 ，所以 即存在常数 ，使 恒成立专题九 圆锥曲线 例（新疆乌鲁木齐开学摸底，）已知椭圆：（）的一个焦点与上、下

25、顶点构成直角三角形，以椭圆 的长轴长为直径的圆与直线 相切（）求椭圆 的标准方程；（）设过椭圆右焦点且不平行于 轴的动直线与椭圆 相交于、两点，探究在 轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出该定值和点 的坐标；若不存在，请说明理由解析（）由题意知，又，解得 ，则椭圆 的标准方程为 （）存在当直线的斜率存在时，设直线方程为（），联立 ，（）得（），则 ，假设存在点（，），则 （，）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）要使为定值，则的值与 无关，（），解得 ，此时 ，为定值，定点 的坐标为，()当直线的斜率不存在时，不妨取 ，若，()，则 ，()()所以在 轴上存在定点 ，()，使得为

26、定值 考法一 有关轨迹方程问题的求法（山东百师联盟测试五，）已知圆：（），圆：（），动圆 与，都外切，则动圆圆心 的轨迹方程为（）（）（）（）（）答案（安 徽 五 校 联 盟 第 二 次 质 检，）（）（）表示的曲线方程为（）（）（）（）（）答案（届广东广州增城中学月考，）从抛物线 上任意一点 向 轴作垂线，垂足为，点 是线段 上的一点，且满足 （）求点 的轨迹 的方程；（）设直线 （）与轨迹 交于，两点，为 上异于，的任意一点，直线，分别与直线 交于，两点，以 为直径的圆是否过 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由考法二 圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法（

27、山东德州 月二模，）已知椭圆：（）与圆 相交于，四点，四边形 为正方形，为椭圆的左、右焦点，且的周长为（）（）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 相交于、两点，（，），若直线 与直线 的斜率之积为 ，证明：直线 恒过定点（届广东深圳实验学校 月月考，）已知椭圆：（）的离心率为 ，直线：与椭圆 有且仅有一个公共点（）求椭圆 的方程及 点坐标；（）设直线 与 轴交于点 过点 的直线与 交于，两点，记 在 轴上的投影为，为 的中点，直线，与 轴分别交于，两点试探究 是不是定值若为定值，求出此定值，否则，请说明理由考法三 圆锥曲线中的最值（范围）问题的求解方法（陕西宝鸡中学二模，）已知抛物线 的焦点为

28、，双曲线 的左、右焦点分别为、，点 是双曲线右支上一点，则 的最小值为（）答案 年高考年模拟 版（教师用书）（广东广州天河外国语学校 月测试，）已知椭圆 （）经过点（，），离心率为 ，、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点（）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；（）求 的取值范围考法四 存在性问题（内蒙古通辽五中模拟，）已知椭圆 （）的离心率 ，过点（，）和（，）的直线与原点的距离为 （）求椭圆的方程；（）已知定点（，），若直线（）与椭圆交于、两点，问：是否存在这样的实数，使得以 为直径的圆过 点？若存在，请求出 值，若不存在，请说明理由考法一 有关轨迹方程问题的求法（江西金太阳示范卷十八，

29、）曲线 关于直线 对称的曲线方程是（）答案 设所求曲线上任意一点为（，），点（，）关于直线 的对称点为（，），则 （），即 ，故选（山西临汾模拟，）已知椭圆：（）的左，右顶点分别为，点，是椭圆 上关于长轴对称的两点，若直线 与 相交于点，则点 的轨迹方程是（）（）（）（）（）（）答案 由题意可知（，），（，），设（，），（，），（，），则直线 的斜率 ，直线 的方程为 （），直线 的斜率 ，直线 的方程为 （），相乘得 （），由 ，得 （），则 （），整理得 （），则点 的轨迹方程为 （）（），故选（浙江金华十校联考，）如图，是平面 的斜线段，为斜足，点 满足（），且在平面 内运动，则（）当

30、时，点 的轨迹是抛物线当 时，点 的轨迹是一条直线当 时，点 的轨迹是椭圆当 时，点 的轨迹是双曲线答案 在 中，由，得 当 时，可知点 在线段 的中垂面上运动，又点 在平面 内，所以 在两个平面的交线上，即点 的轨迹为一条直线；当 时，可知点 的轨迹为一个球面（相对应于平面中的阿波罗尼斯圆），又点 在平面 内，所以点 在平面 和球面的截口曲线上，即点 的轨迹为一个圆故选（云南名校 月月考，）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前 公元前 年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（，且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆 在平面直角坐

31、标系中，设（，），（，），动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为（）（）（）（）（）答案 设（，），由 ，得（）（），所以（）（），即 故动点 的轨迹方程为（）故选（江西九江 月联考，）设（，），点 在 轴上，点 在 轴上，且 ，当点 在 轴上运动时，则点 的轨迹方程为 答案 解析 设（，），（，），（，），由 ，得 ，即 ，因为，（，），（，），所以（，）（，），所以 ，即 ，所以点 的轨迹方程为 专题九 圆锥曲线 考法二 圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法（浙江高考数学仿真卷（三），）已知椭圆：上一点（不与左、右顶点重合），直线：上一点，若右焦点 恒在以 为直径的圆上，则 答案 解析 设（，

32、），（，），由题意得 （，）（，），（），又因为点（，）在椭圆上，所以 所 以 （）（湖北黄冈 月新起点考试，）椭 圆 的 焦 点 为（，），（，），椭圆上一点 ，直线 的斜率存在，且不经过点，与椭圆 交于，两点，且 （）求椭圆 的方程；（）求证：直线 过定点解析（）由题意得 ，（）（），则 ，所以椭圆 的方程为 （）设直线 的方程为，由题意知 联立，消去 得（），（）（）（），即 设（，），（，），则 ，由 ，得（）（），即（）（），把 ，代入得 ，把 代入，解得 ，而直线不过点（，），所以，即 且，所以直线：（）过定点（，）考法三 圆锥曲线中最值（范围）问题的求解方法（东北师大附中五模，）

33、直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于，两点，若线段，的长分别为，则 的最小值是（）答案 由抛物线焦点弦的性质可知 ，则（）()，当且仅当 ，时等号成立 即 的最小值是 选（广东百校联考，）已知抛物线 的焦点为，过点 作直线 交抛物线于，两点，则 的最小值为（）答案 由 得焦点坐标为（，）设（，），（，），：，将 代入抛物线方程，可得 （），即 ，所以 ，所以 （），由抛物线的性质，可得 ，故 （）（）（）（），由（）可得 ，从而有 ，当且仅当 时取等号（浙江嘉兴、丽水基础检测，）已知 是椭圆 （）和双曲线 （，）的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若 ，则 的最

34、小值为 答案 解析 本题考查椭圆与双曲线的定义与标准方程以及离心率的求法；考查学生运算求解的能力和数形结合的思想；考查了数学运算的核心素养设 ，则由椭圆和双曲线的定义有 ，即 ，在 中，由余弦定理得 ，联立可得 ，即，所以 ，即 ，故 的最小值为 考法四 存在性问题（广东广州第十六中学质量检测（一），）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，过 年高考年模拟 版（教师用书）点 的直线与椭圆交于，两点，延长 交椭圆 于点，的周长为（）求 的离心率及方程；（）试问：是否存在定点（，），使得为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解析（）由题意可知 ，则 又 的周长为，所以 ，即 ，则 ，故 的方程

35、为 （）解法一：假设存在点，使得为定值若直线 的斜率存在，设 的方程为（）设（，），（，），联立 ，（），消去 得（），根据根与系数的关系可得 ，由于（，），（，），则（）（）（）（）（）因为为定值，所以，解得 定值为 若直线 的斜率不存在，直线 的方程为 ，()，()，则（），故存在点，且 解法二：假设存在点，使得为定值由已知得 与 轴不重合，可设 的方程为，设（，），（，），联立，消去，得（），则 ，由于（，），（，），则（）（）（）（）（）（）因为为定值，所以，解得 ，故存在点，且 （天津滨海七校联考，）已知椭圆：（）的离心率 ，左焦点为，右焦点为，且椭圆上一动点 与 的最远距离为 ，过

36、 的直线 与椭圆 交于，两点（）求椭圆 的标准方程；（）当 以 为直角时，求直线 的方程；（）直线 的斜率存在且不为 时，试问 轴上是否存在一点 使得？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由解析 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的空间想象能力及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象及数学运算（），椭圆 的标准方程为 （）解 法 一：当 以 为 直 角 时，是 以 为直角的直角三角形，设（，），则 ，又 ，（，）或（，），对于（，），；对于（，），直线 的方程为 或 解法二：由题意可知，当直线 的斜率不存在时，不符合题意易知直线 的斜率不为，设直线：（

37、），则：（），由（），（），得（），（）（）（），解得 ，直线 的方程为 或（）设（，），（，），（，），：（），（），（），（）（）（）（），（），（）（），（，）（安徽淮南一模，）已知椭圆：（）的专题九 圆锥曲线 离心率为 ，分别是椭圆的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，两点，且 的周长为（）求椭圆 的方程；（）过点（，）作斜率为（）的直线 与椭圆 交于两点，试判断在 轴上是否存在点，使得 是以 为底边的等腰三角形若存在，求点 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由解析（）由题意可得 ，（分）所以 ，（分）所以椭圆 的方程为 （分）（）设直线 的方程为 ，（，），（，），的中点为（，），假

38、设存在点（，），使得 是以 为底边的等腰三角形，则 由，得（），故 ，所以 ，（分）因为，所以 ，即 ，（分）所以 ，（分）当 时，所以 （分）当 时，所以 （分）综上，点 横坐标的取值范围是 ，（分）思路分析 （）由题意离心率及 的值和，之间的关系求出椭圆的方程；（）假设存在，设 的坐标和直线 的方程，将直线与椭圆的方程联立求出两根之和，进而求出 的中点 的坐标，由题意可得，可得 的横坐标与 的关系，再由均值不等式求出 的横坐标范围（山西大同高三学情调研，）椭圆 （）的左、右焦点分别为，且离心率 （）设 是直线 与椭圆的一个交点，求 取最小值时椭圆的方程；（）已知（，），是否存在斜率为 的直

39、线 与（）中的椭圆交于不同的两点，使得点 在线段 的垂直平分线上？若存在，求出直线 在 轴上截距的范围；若不存在，请说明理由解析 本题主要考查了椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查的核心素养是逻辑推理与数学运算（），椭圆的方程可化为 ，将 与 联立，消去 并化简得 ，由 （），解得，即，当且仅当 时，取最小值 ，椭圆的方程为 （）设直线 在 轴上的截距为，则直线 的方程为，代入 ，消去 并整理得（），直线 与椭圆交于不同的两点，（）（）（），即 设（，），（，），的中点为，则 ，（），的中点 的坐标为，当 时，化简得 ，代入 ，得，又，故 当 时，综上，时，直线 在 轴上截距的范围

40、为，()；时，直线 在 轴上截距的范围为（，）考点一 曲线与方程（课标，分）已知点（，），（，），动点（，）满足直线 与 的斜率之积为 记 的轨迹为曲线（）求 的方程，并说明 是什么曲线；（）过坐标原点的直线交 于，两点，点 在第一象限，轴，垂足为，连接 并延长交 于点（）证明：是直角三角形；（）求 面积的最大值（课标，分）设 为坐标原点，动点 在椭圆：上，过 作 轴的垂线，垂足为，点 满足 （）求点 的轨迹方程；（）设点 在直线 上，且 证明：过点 且垂 年高考年模拟 版（教师用书）直于 的直线 过 的左焦点 考点二 定点与定值问题（北京，分）已知椭圆：过点（，），且 （）求椭圆 的方程；（

41、）过点（，）的直线 交椭圆 于点，直线，分别交直线 于点，求 的值（课标，文，理，分）已知，分别为椭圆：（）的左、右顶点，为 的上顶点，为直线 上的动点，与 的另一交点为，与 的另一交点为（）求 的方程；（）证明：直线 过定点（新高考，分）已知椭圆：（）的离心率为 ，且过点（，）（）求 的方程；（）点，在 上，且，为垂足证明：存在定点，使得 为定值考点三 最值与范围问题（北京，分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线 恰好经过 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ；曲线 所围成的“心形”区域的面积小于 其中

42、，所有正确结论的序号是（）答案（浙江，分）如图，已知椭圆：，抛物线：（），点 是椭圆 与抛物线 的交点，过点 的直线 交椭圆 于点，交抛物线 于点（，不同于）（）若 ，求抛物线 的焦点坐标；（）若存在不过原点的直线 使 为线段 的中点，求 的最大值（课标，分）已知椭圆：的焦点在 轴上，是 的左顶点，斜率为（）的直线交 于，两点，点 在 上，（）当 ，时，求 的面积；（）当 时，求 的取值范围（浙江，分）如图，已知点（，）为抛物线 （）的焦点过点 的直线交抛物线于，两点，点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点，且 在点 的右侧记，的面积分别为，（）求 的值及抛物线的准线方程；（

43、）求的最小值及此时点 的坐标（山东，分）在平面直角坐标系 中，椭圆：（）的离心率为 ，焦距为（）求椭圆 的方程；（）如图，动直线：交椭圆 于，两点，是椭圆 上一点，直线 的斜率为，且 是线段 延长线上一点，且 ，的半径为 ，是 的两条切线，切点分别为，求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率考点四 存在性问题（课标，分）已知椭圆：（），直线 不过原点 且不平行于坐标轴，与 有两个交点，线段 的中点为（）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；（）若 过点，()，延长线段 与 交于点，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由专题九 圆锥曲线 考点一 曲线与方程（课标，

44、理，文，分）已知抛物线：的焦点为，平行于 轴的两条直线，分别交 于，两点，交 的准线于，两点（）若 在线段 上，是 的中点，证明；（）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程解析 由题设知 ，()设：，：，则，且，()，()，()，()，()记过，两点的直线为，则 的方程为（）（分）（）由于 在线段 上，故 记 的斜率为，的斜率为，则 所以（分）（）设 与 轴的交点为（，），则 ，由题设可得 ，所以 （舍去），或 （分）设满足条件的 的中点为（，）当 与 轴不垂直时，由 可得 （）而，所以 （）当 与 轴垂直时，与 重合所以，所求轨迹方程为 （分）疑难突破 第（）问求解关键是把 的证明转

45、化为 的证明；第（）问需找到 中点所满足的几何条件，从而将其转化为等量关系在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用评析 本题主要考查抛物线的性质，直线的斜率及其应用，轨迹方程的求法等知识，考查分类讨论思想的应用，考查考生对基础知识和基本技能的应用能力（广东理，分）已知椭圆：（）的一个焦点为（，），离心率为 （）求椭圆 的标准方程；（）若动点（，）为椭圆 外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程解析（）由题意知 ，故椭圆 的标准方程为 （）设两切线为，当 轴 或 轴 时，轴 或 轴，可 知（，）当 与 轴不垂直且不平行时，设 的斜率为，且，则 的斜率为 ，的方程为

46、（），与 联立，整理得（）（）（），直线 与椭圆相切，即（）（）（），（），是方程（）的一个根，同理，是方程（）的另一个根，()，整理得 ，其中，点 的轨迹方程为 （）（，）满足上式综上，点 的轨迹方程为 评析 本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法 考查分类讨论思想以及方程思想的应用（湖北理，分）在平面直角坐标系 中，点 到点（，）的距离比它到 轴的距离多 记点 的轨迹为（）求轨迹 的方程；（）设斜率为 的直线 过定点（，）求直线 与轨迹 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 的相应取值范围解析（）设点（，），依题意得 ，即（），化简整理得 （）故点 的轨迹

47、 的方程为 ，（）在点 的轨迹 中，记：，：（），依题意，可设直线 的方程为（）由方程组（），可得（）（）当 时，此时 把 代入轨迹 的方程，得 故此时直线：与轨迹 恰好有一个公共点，()（）当 时，方程的判别式为 （）设直线 与 轴的交点为（，），则由（），令 ，得 若，由解得 或 即当（，），()时，直线 与 没有公共点，与 有一个公共点，故此时直线 与轨迹 恰好有一个公共点 年高考年模拟 版（教师用书）若 ，或，则由解得 ，或 即当 ，时，直线 与 只有一个公共点，与 有一个公共点当 ，)时，直线 与 有两个公共点，与 没有公共点故当 ，)，时，直线 与轨迹 恰好有两个公共点若，则由解得

48、 或 即当 ，()，()时，直线 与 有两个公共点，与 有一个公共点，故此时直线 与轨迹 恰好有三个公共点综合（）（）可知，当（，），()时，直线 与 轨 迹 恰 好 有 一 个 公 共 点；当 ，)，时，直 线 与 轨 迹 恰 好 有 两 个 公 共 点；当 ，()，()时，直线 与轨迹 恰好有三个公共点评析 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了数形结合的方法，灵活地利用判别式是求解的关键盲目利用抛物线的定义而漏掉射线 （）就会造成错解而失分（课标，理，文，分）已知圆：（），圆：（），动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线（）求 的方程；（）是与圆，圆 都相切的一条直线，与曲

49、线 交于，两点，当圆 的半径最长时，求 解析 由已知得圆 的圆心为（，），半径 ；圆 的圆心为（，），半径 设圆 的圆心为（，），半径为（）因为圆 与圆 外切并且与圆 内切，所以 （）（）由椭圆的定义可知，曲线 是以、为左、右焦点，长半轴长为，短半轴长为 的椭圆（左顶点除外），其方程为 （）（）对于曲线 上任意一点（，），由于 ，所以，当且仅当圆 的圆心为（，）时，所以当圆 的半径最长时，其方程为（）若 的倾斜角为，则 与 轴重合，可得 若 的倾斜角不为，由 知 不平行于 轴，设 与 轴的交点为，则 ，可求得（，），所以可设：（）由 与圆 相切得 ，解得 当 时，将 代入 ，并整理得 ，解得，

50、所以 当 时，由图形的对称性可知 综上，或 评析 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了椭圆的定义和方程，考查了分类讨论的方法和运算求解能力利用数形结合的方法是解题的关键在求曲线 的方程时容易忽视对左顶点和直线倾斜角为 时的讨论而造成失分（课标文，分）在平面直角坐标系 中，已知圆 在 轴上截得线段长为 ，在 轴上截得线段长为 （）求圆心 的轨迹方程；（）若 点到直线 的距离为 ，求圆 的方程解析（）设（，），圆 的半径为 由题设得，从而 故 点的轨迹方程为 （）设（，），由已知得 又 在双曲线 上，从而得 ，由 ，得 ，此时，圆 的半径 由 ，得 ，此时，圆 的半径 故圆 的方程为（）或（）考点

51、二 定值定点问题（课标理，分）已知曲线：，为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为，（）证明：直线 过定点；（）若以 ，()为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求四边形 的面积解析 本题考查直线与抛物线相切，弦的中点，直线与圆相切等知识点，通过直线与抛物线的方程运算，考查了学生在解析几何中的运算求解能力，以直线与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养（）设 ，()，（，），则 由于，所以切线 的斜率为，故 整理得 设（，），同理可得 故直线 的方程为 所以直线 过定点，()专题九 圆锥曲线（）由（）得直线 的方程为 由 ，可得 于是 ，（），（）（）设，分别为点，到直线 的

52、距离，则 ，因此，四 边 形 的 面 积 （）（）设 为线段 的中点，则 ，()由于，而（，），与向量（，）平行，所以（）解得 或 当 时，；当 时，因此，四边形 的面积为 或 解题关键 （）设出、坐标，求导、列等式是解题的突破口（）由（）得出 的方程，用坐标表示出，求 方程中的参数是关键（北京理，分）已知抛物线：经过点（，）过点（，）的直线 与抛物线 有两个不同的交点，且直线 交 轴于，直线 交 轴于（）求直线 的斜率的取值范围；（）设 为原点，求证：为定值解析（）因为抛物线 过点（，），所以 ，即 故抛物线 的方程为 ，由题意知，直线 的斜率存在且不为 设直线 的方程为（）由 ，得（）依题

53、意（），解得 或 又，与 轴相交，故直线 不过点（，）从而 所以直线 斜率的取值范围是（，）（，）（，）（）设（，），（，），由（）知 ，直线 的方程为 （）令 ，得点 的纵坐标为 同理得点 的纵坐标为 由，得 ，所以 （）（）（）所以 为定值方法总结 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略（）求代数式为定值依题设条件，得出与代数式有关的等式，化简即可得出定值；（）求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形求得；（）求某线段长度为定值利用两点间的距离公式求得线段长度的表达式，再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得（北京理，分）已知椭圆：（）的离心

54、率为 ，（，），（，），（，），的面积为（）求椭圆 的方程；（）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点，直线 与 轴交于点 求证：为定值解析（）由题意得 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 （）由（）知，（，），（，）设（，），则 当 时，直线 的方程为 （）令 ，得 ，从而 直线 的方程为 令 ，得 ，从而 所以 当 时，所以 综上，为定值一题多解 （）点 在曲线()()上，不妨设（，），当 且 （）时，直线 的方程为 （）（），令 ，得 ；直线 的方程为 （），令 ，得 年高考年模拟 版（教师用书）（）（）（）（）（定值）当 或 （）时，、是定点，易得 综上，评析 本题考查椭圆的标准方程，直线与

55、圆锥曲线的位置关系及定值问题，方法常规，运算量大，对学生的运算能力要求较高（北京文，分）已知椭圆：过（，），（，）两点（）求椭圆 的方程及离心率；（）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点，直线 与 轴交于点 求证：四边形 的面积为定值解析（）由题意得，所以椭圆 的方程为 （分）又 ，所以离心率 （分）（）设（，）（，），则 （分）又（，），（，），所以，直线 的方程为 （）令 ，得 ，从而 （分）直线 的方程为 令 ，得 ，从而 （分）所以四边形 的面积 （）从而四边形 的面积为定值（分）解后反思 本题第（）问可画出图形进行分析，发现点 和点 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且四边

56、形 的对角线 与 互相垂直，所以 四边形 ，问题转化为求点 与点 的坐标，故设点（，），表示出直线 和，即可求得点、的坐标评析 本题考查了椭圆的标准方程、离心率和直线方程的相关知识及定值问题，知识点较综合，属中等偏难题（课标文，分）已知椭圆：（）的离心率为 ，点（，）在 上（）求 的方程；（）直线 不过原点 且不平行于坐标轴，与 有两个交点，线段 的中点为 证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值解析（）由题意有 ，解得 ，所以 的方程为 （）设直线：（，），（，），（，），（，）将 代入 得（）故 ，于是直线 的斜率 ，即 所以直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值评析 本题考查了椭圆的

57、方程、直线与椭圆的位置关系；考查了定值问题的解题方法利用韦达定理解决线段的中点是求解关键（陕西文，分）如图，椭圆：（）经过点（，），且离心率为 （）求椭圆 的方程；（）经过点（，），且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点，（均异于点），证明：直线 与 的斜率之和为 解析（）由题设知 ，结合 ，解得 所以椭圆 的方程为 （）证明：由题设知，直线 的方程为 （）（），代入 ，得（）（）（）由已知可知 设（，），（，），则 （），（）专题九 圆锥曲线 从而直线，的斜率之和 （）()（）（）（）（）（）评析 本题考查椭圆标准方程与简单性质的同时，重点考查直线与椭圆的位置关系考点三 最值与范围问题（课标

58、文，分）已知，是椭圆：（）的两个焦点，为 上的点，为坐标原点（）若 为等边三角形，求 的离心率；（）如果存在点，使得，且 的面积等于，求 的值和 的取值范围解析 本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质；考查数形结合的数学思想和逻辑思维能力与运算求解能力；体现了逻辑推理与数学运算的核心素养（）连接 由 为等边三角形可知在 中，于 是 （），故 的离心率 （）由题意可知，满足条件的点（，）存在，当且仅当 ，即 ，由及 得 ，又由知 ，故 由得 （），所以，从而 ，故 当 ，时，存在满足条件的点 所以 ，的取值范围为 ，）思路分析 第（）问 中 由 平 面 几 何 知 识 可 知 是 的直角三角形，

59、且 ，再利用椭圆的定义找出 与 的等量关系，进而求离心率第（）问中设出 点坐标，利用 ，以及 得到方程，消元化简可求 的值和 的取值范围一题多解 （）设 ，由椭圆的定义可得 ，又，（），又，的值为，的取值范围为 ，）（浙江，分）如图，已知点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线：上存在不同的两点，满足，的中点均在 上（）设 中点为，证明：垂直于 轴；（）若 是半椭圆 （）上的动点，求 面积的取值范围解析 本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力（）设（，），()，()因为，的中点在抛物线上，所以，为方程 即 的两个不同的实根所以 ，

60、因此，垂直于 轴（）由（）可知 ，所以 （），（）因此，的面积 （）因为 （），所以 ，因此，面积的取值范围是 ，疑难突破 解析几何中“取值范围”与“最值”问题在解析几何中，求某个量（直线斜率，直线在、轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等）的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量（通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等）的函数，并求出这个变量的取值范围（即函数的定义域），将问题转化为求函数的值域或最值（浙 江，分）如 图，已 知 抛 物 线 ，点 ，()，()，抛 物 线 上 的 点（，）()过点 作直线 的垂线，垂足为（）求直线 斜率的取值范围；（）求 的最大值 年高考年

61、模拟 版（教师用书）解析（）设直线 的斜率为，因为 ，所以直线 斜率的取值范围是（，）（）解法一：联立直线 与 的方程 ，解得点 的横坐标是 （）因为 ()（），（）（）（），所以 （）（），令（）（）（）因为 （）（）（），所以（）在区间，()上单调递增，()上单调递减，因此当 时，取得最大值解法二：如 图，连 接，（）易知（，）()，则 ，()()()设（）()，则 （）（）（），（）在 ，()上为增函数，在，()上为减函数，（）（）故 的最大值为（课标理，分）设圆 的圆心为，直线 过点（，）且与 轴不重合，交圆 于，两点，过 作 的平行线交 于点（）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程；（

62、）设点 的轨迹为曲线，直线 交 于，两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于，两点，求四边形 面积的取值范围解析（）因为 ，故 所以 ，故 又圆 的标准方程为（），从而 ，所以 （分）由题设得（，），（，），由椭圆定义可得点 的轨迹方程为 （）（分）（）当 与 轴不垂直时，设 的方程为（）（），（，），（，）由（），得（）则 ，所以 （）（分）过点（，）且与 垂直的直线：（），到 的距离为，所以 故四边形 的面积 （分）可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为（，）当 与 轴垂直时，其方程为 ，四边形 的面积为 综上，四边形 面积的取值范围为，）（分）评析 本题重点考查圆锥曲线的几何性质，

63、以及直线与椭圆、圆的位置关系，尤其是对“弦长”问题的考查，更是本题考查的重点解决此类问题，除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外，对计算能力的要求也非常高（浙江理，分）如图，设椭圆 （）（）求直线 被椭圆截得的线段长（用，表示）；（）若任意以点（，）为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点，求椭圆离心率的取值范围解析（）设直线 被椭圆截得的线段为，由，得（），故 ，因此 （）假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的专题九 圆锥曲线 椭圆上有两个不同的点，满足 记直线，的斜率分别为，且，由（）知，故 ，所以（）（）由于，得（），因此 （），因为式关于，的方程有解的充要条件是（），所以 因此，任意以点

64、（，）为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为 ，由 得，所求离心率的取值范围为 评析 本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力（天津理，分）设椭圆 （）的右焦点为，右顶点为 已知 ，其中 为原点，为椭圆的离心率（）求椭圆的方程；（）设过点 的直线 与椭圆交于点（不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点，与 轴交于点 若，且，求直线 的斜率的取值范围解析（）设（，），由 ，即 （），可得 ，又 ，所以 ，因此 ，所以，椭圆的方程为 （）设直线 的斜率为（），则直线 的方程为（）设（，），由方程组 ，（）消去，整理得（）解得 或

65、，由题意得 ，从而 由（）知，（，），设（，），有（，），由，得 ，所以 ，解得 因此直线 的方程为 设（，），由方程组（），消去，解得 （）在 中，即（），化简得 ，即（），解得 或 所以，直线 的斜率的取值范围为 ，解后反思 由于引起变动的原因是直线不定，而直线过已知定点，因此直线的斜率是“战争的根源”直线与直线、直线与椭圆的交点坐标归结为方程组的解，用直线的斜率 表示出点 的坐标是“奋斗的目标”评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、一元二次不等式基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力、以及用方程思想解决问题的能力（浙江文，分）如图，设抛物线 （）的焦点为

66、，抛物线上的点 到 轴的距离等于 （）求 的值；（）若直线 交抛物线于另一点，过 与 轴平行的直线和过 与 垂直的直线交于点，与 轴交于点 求 的横坐标的取值范围解析（）由题意可得，抛物线上点 到焦点 的距离等于点 到直线 的距离，由抛物线的定义得 ，即 （）由（）得，抛物线方程为 ，（，），可设（，），因为 不垂直于 轴，可设直线：（），由 ，消去 得 ，故 ，所以，又直线 的斜率为，故直线 的斜率为 从而得直线：（），直线：所以 ，设（，），由，三点共线得，于是 所以 或 经检验，或 满足题意综上，点 的横坐标的取值范围是（，）（，）思路分析 （）利用抛物线的定义来解题；（）由（）知抛物线

67、的方程，可设 点坐标及直线 的方程，与抛物线方程联立可得 点坐标，进而得直线 的方程与直线 的方程，联 年高考年模拟 版（教师用书）立可得 点坐标，最后利用，三点共线可得 ，最终求出结果评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力（天津，分）已知椭圆 （）的左焦点为（，），离心率为 ，点 在椭圆上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为，（）求直线 的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线（为原点）的斜率的取值范围解析（）由已知有 ，又由 ，可得 ，设直线 的斜率为（），则直线 的方程

68、为（）由已知，有()()，解得 （）由（）得椭圆方程为 ，直线 的方程为 （），两个方程联立，消去，整理得 ，解得 或 由 点 在 第 一 象 限，可 得 的 坐 标为，由 （），解得 ，所以椭圆的方程为 （）设点 的坐标为（，），直线 的斜率为，得 ，即（）（），与椭圆方程联立得（），消去，整理得（）又由已知，得 （），解得 ，或设直线 的斜率为，得 ，即 （），与椭圆方程联立，整理可得 当 ，()时，有 （），因此，于是 ，得 ，当（，）时，有 （），因此 ，于是 ，得 ，综 上，直线的斜率的取值范围是，评析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、

69、一元二次不等式等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力以及用函数与方程思想解决问题的能力（浙江理，分）已知椭圆 上两个不同的点，关于直线 对称（）求实数 的取值范围；（）求 面积的最大值（为坐标原点）解析（）由题意知，可设直线 的方程为 由 ，消去，得 因为直线 与椭圆 有两个不同的交点，所以 ，将 中点，代入直线方程 ，解得 由得 或 （）令 ，则 ，且 到直线 的距离为 设 的面积为（），所以（）()当且仅当 时，等号成立故 面积的最大值为 评析 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力专题九 圆锥曲线（课标

70、理，分）平面直角坐标系 中，过椭圆：（）右焦点的直线 交 于，两点，为 的中点，且 的斜率为 （）求 的方程；（），为 上两点，若四边形 的对角线，求四边形 面积的最大值解析（）设（，），（，），（，），则 ，由此可得（）（）因为 ，所以 又由题意知，的右焦点为（，），故 因此 ，所以 的方程为 （）由 ，解得 ，或，因此 由题意可设直线 的方程为 ，设（，），（，）由，得 于是，（）因为直线 的斜率为，所以 由已 知，四 边 形 的 面 积 当 时，取得最大值，最大值为 所以四边形 面积的最大值为 评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了解析几何中的中点问题和最值问题，计算量大，综合性较

71、强应充分重视方程思想和函数思想在解题中的作用（课标理，分）在平面直角坐标系 中，已知点（，），点在直线 上，点满足，点的轨迹为曲线（）求 的方程；（）为 上的动点，为 在 点处的切线，求 点到 距离的最小值解析（）设（，），由已知得（，），（，）所以（，），（，），（，）再由题意可知（），即（，）（，）所以曲线 的方程为 （）设（，）为曲线：上一点，因为 ，所以 的斜率为 因此直线 的方程为 （），即 则 点到 的距离 又 ，所以 ，当 时取等号，所以 点到 距离的最小值为 考点四 存在性问题（课标文，分）已知点，关于坐标原点 对称，过点，且与直线 相切（）若 在直线 上，求 的半径；（）是否

72、存在定点，使得当 运动时，为定值？并说明理由解析 本题利用关于原点对称和直线与圆相切，考查圆的方程及圆的几何性质，要求学生具备较强的直观想象与逻辑推理能力，第（）问设置开放性问题，考查抛物线的定义与性质（）因为 过点，所以圆心 在 的垂直平分线上由已知 在直线 上，且，关于坐标原点 对称，所以 在直线 上，故可设（，）因为 与直线 相切，所以 的半径为 由已知得 ，又，故可得（），解得 或 故 的半径 或 （）存在定点（，），使得 为定值理由如下：设（，），由已知得 的半径为 ，由于，故可得（），化简得 的轨迹方程为 因为曲线：是以点（，）为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 因为 （），所以

73、存在满足条件的定点（课标理，分）在直角坐标系 中，曲线：与直线：（）交于，两点（）当 时，分别求 在点 和 处的切线方程；（）轴上是否存在点，使得当 变动时，总有？说明理由解析（）由题设可得（，），（，）或（，年高考年模拟 版（教师用书），（，）又 ，故 在 处的导数值为 ，在点（，）处的切线方程为 （），即 在 处的导数值为 ，在点（，）处的切线方程为 （），即 故所求切线方程为 和 （分）（）存在符合题意的点，证明如下：设（，）为符合题意的点，（，），（，），直线，的斜率分别为，将 代入 的方程得 故 ，从而 （）（）（）当 时，有 ，则直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补，故，所以点（，）

74、符合题意（分）（湖南文，分）如图，为坐标原点，双曲线：（，）和椭圆：（）均过点 ，且以 的两个顶点和 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 的正方形（）求，的方程；（）是否存在直线，使得 与 交于，两点，与 只有一个公共点，且？证明你的结论解析（）设 的焦距为，由题意知，从而 ，因为点 ，在双曲线 上，所以 ，故 由 椭 圆 的 定 义 知（）（）于是 ，故，的方程分别为 ，（）不存在符合题设条件的直线（）若直线 垂直于 轴，因为 与 只有一个公共点，所以直线 的方程为 或 当 时，易知（，），（，），所以 ，此时，当 时，同理可知，（）若直线 不垂直于 轴，设 的方程为，由，得（）当 与 相交于

75、，两点时，设（，），（，），则，是上述方程的两个实根，从而 ，于是 （）由，得（）因为直线 与 只有一个公共点，所以上述方程的判别式（）（）化简，得 ，因此 ，于是 ，即 ，故 综合（），（）可知，不存在符合题设条件的直线评析 本题考查椭圆与双曲线的定义、几何性质、标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，同时考查方程思想，运算、推理能力，综合性较强（福建文，分）已知曲线 上的点到点（，）的距离比它到直线 的距离小（）求曲线 的方程；（）曲线 在点 处的切线 与 轴交于点，直线 分别与直线 及 轴交于点，以 为直径作圆，过点 作圆 的切线，切点为 试探究：当点 在曲线 上运动（点 与原点不重合）时，

76、线段 的长度是否发生变化？证明你的结论解析（）解法一：设（，）为曲线 上任意一点，依题意，点 到（，）的距离与它到直线 的距离相等，所以曲线 是以点（，）为焦点、直线 为准线的抛物线，所以曲线 的方程为 解法二：设（，）为曲线 上任意一点，则 （）（）（），依题意，知点（，）只能在直线 的上方，所以，所以（）（），化简得，曲线 的方程为 （）当点 在曲线 上运动时，线段 的长度不变 证明如下：由（）知抛物线 的方程为 ，设（，）（），则 ，由 ，得切线 的斜率 ，专题九 圆锥曲线 所以切线 的方程为 （），即 由 ，得 ，()由 ，得 ，()又（，），所以圆心 ，()，半径 ，()()所以点

77、在曲线 上运动时，线段 的长度不变评析 本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想时间：分钟 分值：分一、单项选择题（每题 分，共 分）（届河南商丘、周口、驻马店部分学校联考，）已知，（，），（，）若直线 上存在一点，使得 ，则 的取值范围是（）（，）（，），()，()答案（河北衡水中学七调，）已知抛物线 上有三点，的斜率分别为，则 的重心坐标为（），()，()，()，()答案（浙江高三 月月考，）如图，已知抛物线：和圆：（），直线 经过 的焦点，自上而下依次交 和 于，

78、四点，则的值为（）答案 二、多项选择题（每题 分，共 分）（届湖湘名校教育联合体入学考试，）已知圆 的半径为定长，是圆 所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段 的垂直平分线 和直线 相交于点 当点 在圆上运动时，下列判断正确的是（）当点 在圆 内（不与圆心重合）时，点 的轨迹是椭圆点 的轨迹可能是一个定点当点 在圆 外时，点 的轨迹是双曲线的一支点 的轨迹不可能是抛物线答案（届山东开学质量检测，）已知双曲线：，过其右焦点 的直线 与双曲线交于，两点，则（）若，同在双曲线的右支，则 的斜率大于 若 在双曲线的右支，则 最小为 最小为满足 的直线有 条答案（届山东青岛期初调研，）在平面直角坐标系

79、 中，动点 与两个定点（，）和（，）连线的斜率之积等于 ，记点 的轨迹为曲线，直线：（）与 交于，两点，则（）的方程为 （）的离心率为 的渐近线与圆（）相切满足 的直线 仅有 条答案（山东德州 月二模，）抛物线：的焦点为，为其上一动点，设直线 与抛物线 相交于，两点，点（，），下列结论正确的是（）的最小值为 抛物线 上的动点 到点（，）距离的最小值为 存在直线，使得，两点关于直线 对称若过、的抛物线的两条切线交准线于点，则、两点的纵坐标之和的最小值为 答案（山东日照一模，）已知双曲线 （），不与 轴垂直的直线 与双曲线右支交于点，（在 轴上方，在 轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在 轴上方）

80、，为坐标原点，下列选项中正确的为（）恒成立若 ，则 年高考年模拟 版（教师用书）面积的最小值为 对每一个确定的，若 ，则 的面积为定值答案 三、填空题（每题 分，共 分）（届河北邯郸摸底考，）已知，分别是双曲线 （，）的左、右焦点，设点 是该双曲线与以 为直径的圆在第一象限的交点，若 ，则双曲线的离心率为 答案（届湖南、河北新高考联考 月质量检测，）已知经过点（，）的直线 与抛物线 相交于，两点，点（，），且，则 的面积为 答案 （届河南郑州一中开学测试）已知直线 与圆（）相切，且与抛物线：交于不同的两点，则实数 的取值范围是 答案（，）（，）（届河北衡水中学期中，）已知、是椭圆和双曲线的公共

81、焦点，是他们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 答案 （浙江大学附中全真模拟，）已知点 是椭圆 （）的左焦点，过原点作直线 交椭圆于，两点，分别是，的中点，若存在以 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的取值范围是 答案 ，四、解答题（共 分）（届湖北武汉、襄阳、荆门、宜昌四地六校联考，）已知椭圆：（）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切（）求椭圆 的方程；（）设（，），过点（，）作与 轴不重合的直线 交椭圆 于，两点，连接，分别交直线 于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是不是定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由（届广东仲元中学、

82、中山一中等七校联合体第一次联考，）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，离心率为 （）求椭圆的方程；（）直线 过点（，）且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线 的方程（届山东青岛期初调研，）已知 为坐标原点，椭圆：（）的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形 的面积为，四边形 的面积为 （）求椭圆 的标准方程；（）若点，为椭圆 上的两个动点，的面积为 证明：存在定点，使得 为定值（届新高考省份 联考，）已知椭圆：（）与抛物线：有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为（）求椭圆 的方程；（）过椭圆 的右焦点作一条

83、斜率为（）的直线交椭圆于，两点，交 轴于点，为弦 的中点，过点 作直线 的垂线交 于点，问是否存在一定点，使得 的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由专题九 圆锥曲线（湖南长沙一中第二次月考，）点 与定点（，）的距离和它到定直线 的距离之比为 ，则 的轨迹方程是（）（）答案 设（，），由（，），得 （），点（，）到直线 的距离为 ，由题意得（），化简得 ，即 ，故选（山西太原五中第二次诊断，）已知（，），若点 是抛物线 上任意一点，点 是圆（）上任意一点，则 的最小值为（）答案 抛物线 的准线 的方程为 ，焦点 的坐标为（，），过 作，垂足为，由抛物线定义可得 圆（）的圆心为（，

84、），半径 ，可得 的最大值为 ，所以 ，可令 （），则 ，即 ，所以 （），所以 （）（）（当且仅当 时，等号成立）所以 的最小值为 ，故选 名师点睛 圆外一点到圆上一动点距离的最大值为该点到圆心的距离与半径之和基本不等式求最值，注意“一正、二定、三相等”（浙江台州五校联考，）已知平面 平面，且 ，四边形 是正方形，在正方形 内部有一点，满足，与平面 所成的角相等，则点 的轨迹长度为（）答案 本题考查直线与平面所成的角的求法、圆的方程及其应用；考查学生空间想象和运算求解的能力以及数形结合的思想；考查了数学运算和直观想象的核心素养由已知可得 平面，平面，连接，则，与平面 所成的角分别为，由于，所

85、以 ，则点 的轨迹为阿波罗尼斯圆，以 所在直线为 轴，的中点为原点建立直角坐标系，则（，），（，），设（，），则（）（），平方化简可得 ()（，），所求轨迹为一段圆弧，令 ，可得 ，又圆的半径为 ，故圆弧对应的扇形圆心角为 ，所求轨迹的长度为 ，故选（山东夏季高考模拟，）已知点 为曲线 （）上的动点，为圆（）上的动点，则的最小值是（）答案 本题主要考查两条曲线上，两动点间的最小距离问题，考查数学建模及数学运算的核心素养如图所示，设圆（）的圆心为，由于 ，所以 ，即 ，当且仅当，三点共线，且 最小时，最小设 ，()，（），则（）（）()（），（），令（），得 ，当（，）时，（），（）在（，）上单

86、调递减；当（，）时，（），（）在（，）上单调递增，从而（）在 处取极小值，也是最小值，（）（），（），从而 ，故选（浙江温州中学 月月考，）过点（，）斜率为正的直线交椭圆 于，两点，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，则 外接圆半径的最小值为（）答案 如图 年高考年模拟 版（教师用书）先固定直线，由角平分线定理可知，所以点，在一个阿波罗尼斯圆上，且 的外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为 易知，阿波罗尼斯圆会把点，其一包含进去，这取决于 与 谁更长，不妨先考虑 的情况，设 的延长线与圆交于点，即为该圆的直径，如图接下来寻求半径的表达式由 得 （），解得 ；同理，当 时，有 综上，当直线 斜率

87、不存在时，直线 与椭圆交点的纵坐标为，则 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 （），即，联立方程，消去 并整理可知（）（）（），设（，），（，），可知 （），（），所以 注意到 与 异号，所 以 （）（）（），设 ，则 ()，当且仅当 ，即 时取等号，此时 又，所以所求外接圆半径的最小值为故选（浙江杭州四中月考，）圆锥的轴截面 是边长为 的等边三角形，为底面中心，为 的中点，动点 在圆锥底面内（包括圆周），若，则 点形成的轨迹的长度为 答案 解析 本题考查空间点、线、面的位置关系以及轨迹方程的求法；考查学生运算求解和空间想象的能力；考查了数学运算和直观想象的核心素养以 为原点，直线，分别为

88、，轴建立空间直角坐标系，则（，），设（，），则由 可得，即 ，所求轨迹的长度为圆 内对应的弦长，令 ，得 ，故轨迹长度为 （浙江湖州、衢州、丽水高三质检，）已知抛物线：（）上的点（，）与其焦点的距离为（）求实数 与 的值；（）如图所示，动点 在抛物线 上，直线 过点，点、在 上，且满足，轴若 为常数，求直线 的方程解析（）设抛物线的焦点为，由题意得 ，（分）又点（，）在抛物线上，故 ，（分）由 得 ，（分）（）由（）知抛物线 的方程为 ，连接 设直线 的方程为（），（分）则 ，所以 ，（分）又点 ，到直线 的距离 ，()（），（分）故 （）()（）()（分）由 为常数，得 ，所以 ，则 为专题

89、九 圆锥曲线 ，此时直线 的方程为（分）（安徽蚌埠二中 月月考，）已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，直线 与直线 垂直，垂足为 点，且点 是线段 的中点（）求椭圆 的方程；（）若直线：与椭圆 交于，两点，点 在椭圆 上，且四边形 为平行四边形，求证：四边形 的面积 为定值解析（）由题意知，（，），（，），直线 的斜率 ，点 是线段 的中点，（，），点 在直线 上，又 ，椭圆 的方程为 （）证明：设（，），（，），（，），将 代入 ，消去 整理得（），则 ，（），四边形 为平行四边形，（，），得 ，将 点坐标代入椭圆 的方程得 （），又易得点 到直线 的距离 ，平行四边形 的面积 （）故平行四

90、边形 的面积 为定值 （浙江丽水四校联考，）设直线 与抛物线 交于，两点，与椭圆 交于，两点，直线，（为坐标原点）的斜率分别为，若（）是否存在实数，满足 （）？请说明理由；（）求 面积的最大值解析 本题考查直线与抛物线、椭圆的位置关系以及圆锥曲线的综合应用；考查学生运算求解和逻辑推理的能力以及数形结合的思想；考查了数学运算的核心素养设直线 的方程为 ，（，），（，），（，），（，）联立得，得 ，则 ，由，所以 ，得 联立得，得（），所以 ，由 ，得 （）因为 ，所以 ，故存在 ，满足 （）（）根据弦长公式得 ，点 到直线 的距离 ，所以 ，设，则 ，所以当且仅当 ，即 时，有最大值 （原创题）

91、已知，为抛物线：上的两点，分别过，作 的切线，交于点（）若，求证：直线 过定点；（）若点 恰在圆：（）上，求 面积的取值范围注：抛物线 在点（，）处的切线方程为 （）解析 设（，），（，），则抛物线在点 处的切线方程为 （），从而，同理，（）证明：因为，所以 ，即 ，所以 ，从而直线 的方程为 （），将 ，代入化简得（），所以直线 过定点（，）（）设点（，），由点 在 和 上知 （），且 （），所以直线 的方程为 （），联立（），消去 并整理，得 ，所以 （），且 ，设点 到 直 线 的 距 离 为，则 （），因为点 恰在圆：（）上，所以（），所以 （），因为，所以，从而，命题说明 本题以直线

92、与抛物线的位置关系为载体，考查学 年高考年模拟 版（教师用书）生对定点问题和范围问题的处理，第（）问中，点 的位置是求 面积的取值范围的关键，该题综合性较强，很好地考查了学生的运算求解能力（重庆西南大学附属中学模拟，）已知动直线：（）（）与 轴交于点，过点 作直线，交 轴于点，点 满足 ，的轨迹为（）求 的方程；（）已知点（，），点（，），过 作斜率为 的直线交 于，两点，延长，分别交 于，两点，记直线 的斜率为，求证：为定值解析（）动直线：（）（）与 轴交于点（，），直线，直线 的方程为 ，交 轴于点（，）设（，），点 满足 ，（，）（，），消去 可得 （），即为 的轨迹方程（）证明：设，的

93、坐标依次为（，）（，）直线 的方程为，联立，化为 ，设直线 的方程为 ，联立，化为 ，同理可得 ，为定值（浙江杭州二中开学考，）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，直线 过 且垂直于 轴，交椭圆 于，两点，分别连接，所组成的三角形为等边三角形（）求椭圆 的方程；（）过右焦点 的直线 与椭圆 相交于，两点，试问：椭圆 上是否存在点，使 成立？若成立，求出点 的坐标；若不存在，说明理由解析 本题考查直线与椭圆的位置关系；考查学生数学运算的能力和数形结合的思想；考查了数学运算的核心素养（）由题意，故 ，故椭圆 的方程为 （）设椭圆 上存在点（，）使 成立，设（，），（，），则 ，设直线 的方程为，则

94、，即 ，由，可得（），代入 ，可得 ，解得 ，故 ，即存在点 ，使 成立（天津和平一模，）已知椭圆：（）的离心率为 ，左、右焦点分别为、，以原点 为圆心，椭圆 的短半轴长为半径的圆与直线 相切（）求椭圆 的标准方程；（）设 为椭圆 上不在 轴上的一个动点，过点 作 的平行线交椭圆 于、两个不同的点，记 的面积为，的面积为，令 ，求 的最大值解析（）由题意知，（分）以原点 为圆心，椭圆 的短半轴长为半径的圆 与直线 相切，（），椭圆 的标准方程为 （分）（）设直线：，则直线：，（分）由 ，得（）（分）设（，），（，），则 ，（）（）（分），专题九 圆锥曲线 点 到直线 的距离 ，（分）令 ，则

95、（），（分），当且仅当 ，即 时等号成立 （分）（江西鹰潭二模，）已知椭圆 （），上下顶点分别是、，上下焦点分别是、，焦距为，点，()在椭圆上（）求椭圆的方程；（）若 为椭圆上异于、的动点，过 作与 轴平行的直线，直线 与 交于点，直线 与直线 交于点，判断 是不是定值，说明理由解析 本题考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，考查化简运算能力和推理能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养（）由焦距为，可得 ，即有（，），（，），由，()在 椭 圆 上，可 得 ()（）()（），故 ，则椭圆的方程为 （）设 （，），可 得 ，由 （，），设 （，），因 为（，），和 三点共线，所以 ，即

96、，解得 ，即，()，所以 （），又 ，所以 （），可得，即，则 为定值（浙江湖丽衢三地市 月模考，）如图，设抛物线方程为 （），为直线 上任意一点，过 引抛物线的切线，切点分别为，（）求直线 与 轴的交点坐标；（）若 为抛物线弧 上的动点，抛物线在 点处的切线与 的边，分别交于点，记 ，问 是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解析（）设（，），（，），易知过 点的切线方程为 （），过 点的切线方程为 （），联立两个方程解得 ，（分）又 ，所以直线 的方程为 （），化简得（），（分）令 ，得 ，又 ，所以 ，所以直线 过定点（，），所以直线 与 轴的交点坐标为（，）（分）（）由（）知

97、 ，同理可得 ，（分），所以 ，同理 ，所以 ，（分）设 ，连接，记 ，则 ，故 ，所以 （），即 （）（）（），（分）（），（分）所以 ，为定值（分）（浙江镇海中学模拟（月），）设椭圆 （）的左、右焦点分别为、，点 在椭圆上，的面积为 （）求该椭圆的标准方程；年高考年模拟 版（教师用书）（）是否存在圆心在 轴上的圆，使圆在 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由解析（）设（，），（，），其中 由 ，得 ，从而 ，故 从而 ，由 得，因此 所以 ，故 ，因此，所求椭圆的标准方程为 （）设圆心在 轴上的圆 与椭圆

98、 的两个交点分别为（，），（，），其中 ，是圆 的切线，且 由圆和椭圆的对称性，易知 ，由（）知（，），（，），所以 （，），（，），再由 得（），由椭圆方程得 （），即 ，解得 或 当 时，重合，此时题设要求的圆不存在当 时，过，分别与，垂直的直线的交点即为圆心，设（，）由，得 ，又 ，故 圆 的半径为()()综上，存在满足条件的圆，其方程为 ()（云南师大附中 月月考，）已知椭圆 （）过点，椭圆的左，右顶点分别为，点 的坐标为（，），成等差数列（）求椭圆的标准方程；（）椭圆内部是否存在一个定点，过此点的直线交椭圆于，两点，且 恒成立？若存在，求出此点，若不存在，说明理由解析（）由椭圆的几何性质知，故 ，解得 或 （舍去）因为点 ，在椭圆上，所以 故椭圆的标准方程为 （）假设存在满足题意的定点设点（，），（，），当直线斜率存在且不为 时，设直线方程为，联立 ，化简得（）因为过椭圆内的点，故此方程必有两根 ，（，），（，），（）（）（）（）（）（）（）（）（），故得 ，故有()，即 ()()，解得 或 ，故直线方程为 或，则直线恒过点，()或（，），因为此点在椭圆内部，所以只有点，()满足要求故存在定点，()，使 恒成立