2021新高考数学二轮总复习学案：7-2　热点小专题三、圆锥曲线的离心率 WORD版含解析.docx

1、7.2热点小专题三、圆锥曲线的离心率必备知识精要梳理1.椭圆中,由a与b的关系可以求离心率,e=ca=1-(ba)2.双曲线中,由a与b的关系可以求离心率,e=ca=1+(ba)2.2.椭圆的离心率的取值范围e(0,1),双曲线的离心率的取值范围e(1,+).3.等轴双曲线是一类特殊的双曲线,等轴双曲线的离心率为e=2.4.求椭圆(或双曲线)的离心率:求椭圆(或双曲线)的离心率就是要找椭圆(或双曲线)中a与c的关系,常将椭圆(或双曲线)的条件与c2=a2-b2(或c2=a2+b2)相结合,转化为关于a,c的等式(或不等式),进而化成关于e的方程(或不等式)求解.关键能力学案突破热点一椭圆的离心

2、率类型一求椭圆的离心率【例1】(2020湖南怀化一模,15)若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1,点P在椭圆上,点O为坐标原点,且OPF1为正三角形,则椭圆的离心率为.解题心得本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解,常见的有两种方法:求出a,c,代入公式e=ca;只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为关于a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得e的值.【对点训练1】已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C

3、.13D.14类型二求椭圆离心率的范围【例2】(2019贵州凯里第一中学高二下学期期中考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1,ab0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆C上存在点P(x0,y0)(x00)使得PF1F2=60,则椭圆的离心率的取值范围为()A.22,1B.0,22C.12,1D.0,12解题心得椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率的取值范围,常见有两种方法:(1)求出a,c,代入公式e=ca;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a2转化为关于e的方程(或不等式),解方程

4、(或不等式)即可得e的取值范围.【对点训练2】(2019福建龙岩高三5月月考)已知点F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,直线y=kx(k0)与C相交于M,N两点(其中M在第一象限),若|MN|=2a2-b2,|FM|3|FN|,则C的离心率的最大值是.热点二双曲线的离心率类型一求双曲线的离心率(多维探究)方法一直接法求离心率【例3】(2020山东泰安三模,8)如图,已知双曲线C:x2a2-y2a+2=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限内的一点,且直线F2M与y轴的正半轴交于点A,AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N,若|MN|=2,则双曲线C的离心率为()

5、A.52B.5C.2D.2解题心得直接法求离心率就是先直接求出a与c(或a与c的关系),然后通过求比值e=ca,得到双曲线的离心率.【对点训练3】(2020北京朝阳一模,7)在ABC中,AB=BC,ABC=120.若以A,B为焦点的双曲线经过点C,则该双曲线的离心率为()A.52B.72C.3+12D.3方法二通过a与b的关系求离心率【例4】(2020河北张家口一模,7)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线的倾斜角成2倍关系,则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.2D.4解题心得1.椭圆(双曲线)的离心率有一个公式变形,e=ca=1-(ba)21+(ba)2,所以由a与

6、b的关系可以求离心率,相反,由离心率也可以得出a与b的关系;2.圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个关系式.【对点训练4】(2020山东济南一模,14)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则该双曲线的离心率为.方法三通过a与c的齐次式求离心率【例5】(2020山东临沂二模,15)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,M为虚轴的一端点.若以M为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点N,且M,N,F三点共线,则该双曲线的离心率为.解题心得离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关

7、系,从而求得e,这种方法的步骤如下:(1)建立方程:根据已知条件得到齐次式Aa2+Bac+Cc2=0;(2)化简:同时除以a2,化简齐次式,得到关于e的一元二次方程A+Be+Ce2=0;(3)求解:解一元二次方程,求得e的值;(4)验算取舍:根据离心率的取值范围e(0,1)或e(1,+)进行取舍,最终的e值即为所求.【对点训练5】(2020重庆名校联盟二诊,11)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F作渐近线的垂线,设垂足为P(P为第一象限的点),延长FP交抛物线y2=2px(p0)于点Q,其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点,若OP=12(OF+OQ),则双曲线的离心率的平方

8、为()A.5B.52C.5+1D.5+12类型二求双曲线离心率的取值范围【例6】(2020辽宁锦州一模,11)圆C:x2+y2-10x+16=0上有且仅有两点到双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是()A.54,52B.(2,5)C.52,522D.(5,2+1)解题心得求双曲线离心率的取值范围涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强、方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,构造不等式,常用方法主要有以下三种:(1)利用圆锥曲线的变量的范围,建立不等关系;(2)直接根据已知条件中的不等关系,建立关于离心率的不等式;(3)利用函数

9、的思想分析解答.【对点训练6】(2020山东济宁三模,16)设双曲线C:x2y2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为c,3a2且满足|F2Q|F2A|,若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|(PF1F2)max60.所以tan(PF1F2)maxtan60=3.即bc3,整理得b3c.又a2=b2+c23c2+c2=4c2,即a24c2,所以e=ca=c2a214=12.所以椭圆离心率的取值范围为0,12.故选D.对点训练23-1解析设右焦点为F,连接MF,NF,由椭圆对称性知四

10、边形FMFN为平行四边形.又|MN|=2a2-b2=2c=FF,故FMFN为矩形.|FM|3|FN|=3|FM|,|FM|+|FM|=2a,即2a-|FM|3|FM|,|FM|2a3+1.又(2a-|FM|)2+|FM|2=4c2,故00,b0)的一条渐近线y=bax,即bx-ay=0,因为渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以|2b|a2+b2=1,化简得a2=3b2,所以e=1+b2a2=1+13=233.【例5】1+52解析由题意可得F(-c,0),M(0,-b),双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,可得|MN|=|ab|a2+b2=abc,|MF|=c2+b2,在直角三角形MO

11、F中,可得:b2=abcc2+b2,化为b2c2=a2(c2+b2),由b2=c2-a2,可得c2-a2=ac,由e=ca可得e2-1=e,即e2-e-1=0,解得e=1+52或e=1-52(舍去).所以e=1+52.对点训练5D解析由OP=12(OF+OQ),可得P为FQ的中点,设F(c,0),由渐近线方程y=bax,可设直线FP的方程为y=-ab(x-c),由解得Pa2c,abc,由中点坐标公式可得Q2a2c-c,2abc,代入抛物线的方程可得4a2b2c2=2p2a2c-c,由题意可得c=p2,即2p=4c,代入,得a2b2=2a2c2-c4,由b2=a2-c2,得a4-c4+a2c2=

12、0,由e=ca可得e4-e2-1=0,解得e2=1+52.故选D.【例6】A解析圆C:x2+y2-10x+16=0可化为(x-5)2+y2=9,圆C:x2+y2-10x+16=0上有且仅有两点到双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为1,圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4.由对称性不妨取双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为y=abx,即ax-by=0,25aa2+b24,即25ac4,解得54e|F2A|,可得3a2b2a,即为3a22b2=2(c2-a2),即有e=ca102,又在双曲线C的右支上存在点P,使|PF1|+|PQ|76|F1F2|成立,由双曲线的定义,可得2a+|PF2|+|PQ|2a+32a,即有e=ca32,由e1,结合可得,e的范围是32,102.