2021春新教材高中数学 第八章 立体几何初步章末复习课分层演练（含解析）新人教A版必修第二册.docx

1、第八章 立体几何初步章末复习课要点训练一空间几何体的结构特征1.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.2.通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.1.设有四个命题:底面是矩形的平行六面体是长方体;棱长都相等的直四棱柱是正方体;侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体;对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4解析:底面是矩形的直平行六面体是长方体,错误;棱长都相等的直四棱柱是正方体

2、,正确;侧棱垂直于底面两条相邻边的平行六面体是直平行六面体,错误;任意侧面上两条对角线相等的平行六面体是直平行六面体,错误.故命题正确的个数是1. 答案:A2.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,取四棱锥A1-ABCD,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.答案:D要点训练二空间几何体的表面积与体积1.空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.

3、(3)旋转体的表面积问题,应注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体问题是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,再根据条件求解. 1.已知一个六棱锥的体积为23 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为12.解析:由题意可知,该六棱锥是正六棱锥.设该六棱锥的高为h,则1363422h=23,解得h=1.由题意,得底面正六边形的中心到其边的距离

4、为3,所以侧面等腰三角形底边上的高为(3)2+1=2,所以该六棱锥的侧面积为61222=12.2.如图所示,三棱锥O-ABC为长方体的一角,其中OA,OB,OC两两垂直,三个侧面OAB,OAC,OBC的面积分别为1.5 cm2,1 cm2,3 cm2,求三棱锥O-ABC的体积.解:设OA,OB,OC的长依次为x cm,y cm,z cm,由已知可得12xy=1.5,12xz=1,12yz=3,解得x=1,y=3,z=2. 将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,以OAB为底面,易知OC为三棱锥C-OAB的高.故V三棱锥O-ABC=VC-OAB=13SOABOC=131.52=1(cm3).3.如图所

5、示,已知三棱柱ABC-ABC,侧面BBCC的面积是S,点A到侧面BBCC的距离是a,求三棱柱ABC-ABC的体积.解:连接AB,AC,如图所示,这样就把三棱柱ABC-ABC分割成了两个棱锥,即三棱锥A-ABC和四棱锥A-BCCB.设所求体积为V,显然三棱锥A-ABC的体积是13V.而四棱锥A-BCCB的体积为13Sa,故有13V+13Sa=V,所以V=12Sa.要点训练三与球有关的切、接问题与球相关问题的解题策略(1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体,则截面一要过球心, 二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题.(2)对于“内切”和“外接”等问题,首先要弄清几何体

6、之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决.1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为()A.443 B.4849 C.814 D.16解析:如图所示,设PE为正四棱锥P-ABCD的高,则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF.由球的性质可知PAF为直角三角形,且AEPF.因为该棱锥的高为6,底面边长为4,所以AE=22,PE=6,所以侧棱长PA=PE2+AE2=62+(22)2=44=211. 设球的半径为R,则PF=2R. 由PAEPFA,得P

7、A2=PFPE,即44=2R6,解得R=113,所以S=4R2=4(113)2=4849.答案:B2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是323,那么这个正三棱柱的体积是()A.963 B.163 C.243 D.483解析:由球的体积公式可求得球的半径R=2. 设球的外切正三棱柱的底面边长为a,高即侧棱长,为h,则h=2R=4. 在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,得a233=R=2,解得a=43. 故这个正三棱柱的体积V=1232(43)24=483.答案:D要点训练四空间中的平行关系1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法;(

8、2)判定定理;(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a,a.1.如图所示,三棱柱ABC-ABC中,M,N分别为BB,AC的中点.求证:MN平面ABC.证明:取BC的中点P,连接MP,NP(图略),则MPBC,NPAB.因为ABAB,所以NPAB.因为AB平面ABC,NP平面ABC,所以NP平面ABC.同理MP平面ABC.因为NPMP=P,所以平面MNP平面ABC.因为MN平面MNP,所以MN平面ABC.2.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MAC,NFB,且AM=FN,过点M作MHAB于点H.求证:平面MNH

9、平面BCE.证明:因为正方形ABCD中,MHAB,BCAB,所以MHBC.因为BF=AC,AM=FN,所以FNBF=AMAC.因为MHBC,所以AMAC=AHAB,所以FNBF=AHAB,所以NHAFBE.因为MH平面MNH,NH平面MNH,MHNH=H,BC平面BCE,BE平面BCE,BCBE=B,所以平面MNH平面BCE.要点训练五空间中的垂直关系1.空间中垂直关系的相互转化2.判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法.(2)线面垂直的性质:a,bab;a,bab.3.判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平

10、面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性质.4.判定面面垂直的方法(1)利用定义:两个垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.(2)判定定理:a,a.1.如图所示,RtAOC可以通过RtAOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上任意一点.求证:平面COD平面AOB.证明:由题意,得COAO,BOAO,所以BOC是二面角B-AO-C的平面角.因为二面角B-AO-C是直二面角,所以BOC=90,所以COBO.因为AOBO=O,所以CO平面AOB.因为CO平面COD,所以平面COD平面AOB.2.如图

11、所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,ABC=120,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.(1)证明:BD平面APC;(2)若G满足PC平面BGD,求PGGC的值.(1)证明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BDAC.因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.因为ACPA=A,AC平面APC,PA平面APC,所以BD平面APC.(2)解:连接OG,如图所示.因为PC平面BGD,OG平面BGD,所以PCOG.在ABC中,由余弦定理,得AC=22+22-222cos120=23.在RtPAC中

12、,得PC=AC2+PA2=12+3=15.所以由GOCAPC可得GC=ACOCPC=2155.从而PG=3155,所以PGGC=32.要点训练六空间角的求解方法1.找异面直线所成角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.(3)补形平移.2.线面角求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.3.求二面角的两种常用方法(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面

13、,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,ABAC,D,E分别是BC,AB的中点,ACAD,设PC与DE所成的角为,PD与平面ABC所成的角为,二面角P-BC-A的平面角为,则,的大小关系是AH.因为AC AD,所以AC AD AH,所以PAACPAADPAAH,所以tan tan tan ,所以 .2.如图所示,AB是O的一条直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上不同于A, B的一动点.(1)证明:PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时,求

14、直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)证明:因为AB是O的一条直径, C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BCAC.因为PA平面ABC,所以BCPA.因为PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC,所以BCPC,所以BPC是直角三角形.(2)解:如图所示,过点A作AHPC于点H,连接BH.因为BC平面PAC,所以BCAH.因为PCBC=C,PC平面PBC,BC平面PBC,所以AH平面PBC,所以ABH是直线AB与平面PBC所成的角.因为PA平面ABC,所以PCA即是PC与平面ABC所成的角.因为tanPCA=PAAC=2,PA=2,所以AC=2.在RtPAC中,AH=

15、PAACPA2+AC2=233,在RtABH中,sinABH=2332=33,即AB与平面PBC所成角的正弦值为33.要点训练七转化思想转化思想是指在解决数学问题时,一个数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想.它包括从未知到已知的转化,从一般到特殊的转化等,折叠问题中体现了转化思想.解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置变了,哪些元素的位置没有变,基本思路是利用“不变求变”,一般步骤如下:(1)平面空间:根据平面图形折出满足条件的空间图形,想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.(2)空间平面:为解决空间图形问题,要回到平面上来,重点

16、分析元素的变与不变.1.如图所示,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90.若将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是() A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC解析:因为在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,所以BDCD.因为平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,所以CDAB.因为ADAB,ADCD=D,AD平面ADC,CD平面ADC,故AB平面ADC. 因为AB平面ABC,所以

17、平面ABC平面ADC.答案:D2.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,垂足为K.设AK=t,则t的取值范围是(12,1). 解析:如图所示,过点K作KMAF于M点,连接DM, 易得DMAF,与折前的图形对比,可知在折前的图形中D,M,K三点共线,且DKAF,于是DAKFDA,所以AKAD=ADDF.所以t1=1DF.所以t=1DF.因为DF(1,2),所以t( 12,1).3.如图所示,在等腰梯形CDEF中,DE=CD=2,EF=2+2,将它沿着两条高AD

18、,CB折叠成四棱锥E-ABCD(E,F两点重合),如图所示. (1)求证:BEDE;(2)设M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN平面DAE.(1)证明:因为ADEF,所以ADAE,ADAB.因为ABAE=A,AB平面ABE,AE平面ABE,所以AD平面ABE,所以ADBE.由题图和题中所给条件知,AE=BE=1,AB=CD=2,所以AE2+BE2=AB2,即AEBE.因为AEAD=A,AE平面ADE,AD平面ADE,所以BE平面ADE,所以BEDE.(2)解:如图所示,取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG,则MPAE,GPCBDA,所以MP平面DAE,GP平面DAE.因为MPGP=P,所以平面MPG平面DAE.因为MG平面MPG,所以MG平面DAE,即存在点N与G重合满足条件,使得MN平面DAE.