《名校》北京市人大附中2022届高三上学期数学收官考试之期末模拟试题 详解 PDF版含解析.pdf

1、1人大附中高三年级 2021 数学收官考试之期末模拟一、单选题(共 40 分)1.设集合3|0,1 2 3log1ABxx,，则RAC B()A.0.1B.1,2C.1,3D.0,32.集合 1|1Mz ztti tR，下列命题中不正确的是()A.MR B.0MC.若 zM，则 z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D.若 zM，2z，则 z 不一定是纯虚数3.如图，角，均以 Ox 为始边，终边与单位圆 O 分别交于 A,B，则 OA OB()A.sin(-)B.sin(+)C.cos(-)D.cos(+)4.已知，表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且，则 l是 l/的A.充分不必要条件

2、B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线 1 3470lxy：与直线2 6110lxmym：平行，则 1l 与2l 之间的距离为()A.1B.2C.3D.46.若2()()()xxf xeeaxbxc是偶函数，则一定有()A.b=0B.ac=0C.a=0 且 c=0D.a=0，c=0 且 b027.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线222210,0yxabab的下焦点到渐近线的距离为 3，离心率为 2，则该双曲线的标准方程为()A.2213yxB.2213xy C.22193yxD.22139yx8.对圆

3、221xy 上任意一点(,)P x y，若 34349xyaxy的值都与 x，y 无关，则实数 a 的取值范围是()A.5a B.-5a5C.5a 或5a D.5a 9.已知正方体1111ABCDA B C D中，点 P、Q、R 分别是线段11BBABAC、上的动点，观察直线 CP 与1D Q，CP 与1D R，得出下列结论：对于任意给定的点 Q，存在点 P，使得1CPD Q;对于任意给定的点 P，存在点 Q，使得1D QCP;对于任意给定的点 R，存在点 P，使得1CPD R;对于任意给定的点 P，存在点 R，使得1D RCP；其中正确的结论是()A.B.C.D.10.若数列 na满足：0A

4、 BR AB,，使得对于*nN，都有21nnnaAaBa,则称 na具有“三项相关性”下列说法正确的有()若 na是等差数列，则 na具有“三项相关性”若 na是等比数列，则 na具有“三项相关性”若 na是周期数列，则 na具有“三项相关性”若 na具有正项“三项相关性”，且正数 A，B 满足 A+1=B,12aaB,nnbB,na与 nb的前 n 项和分别为,nnS T 则对*nN,nnST恒成立.A.B.C.D.3二、填空题(共 25 分)11.53212xx的展开式中的常数项是_.12.10 名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是 19，19，20，20，13，14，17，18，22

5、，22，那么数据的 80%分位数是_.13.已知抛物线2:C yax的准线方程为18x ,则 a=_.14.小明正在考数学期末模拟，写到了填空题的第 15 题，只有完全选对得 5 分，一旦错选或者少选得 0 分。已经题目有四个选项，小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了正确，错误。无法确定，但是小明依然冷静地分析后判断：有 23的可能性是对的，有 13的可能性是对的，假设小明判断正确，那么他应该选择_.15.对于函数 sin,0,212,2,2x xff xxx，下列 4 个结论正确的是_.(只有完全选对才得 5 分，一旦错选或者少选得 0 分).任取12,0,x xx,都有 122f xf

6、 x;22()f xkf xkKN,对一切0)x，恒成立；若关于 x 的方程 0f xm m有且只有两个不同的实根12,x x，则123xx;函数 ln 1yf xx有 5 个零点4三、解答题(共 90 分)16.(13 分)已知ABC 同时满足下列四个条件中的三个：3A2cos3B a=14b=6(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求ABC 的面积.17.(13 分)玩具柜台元旦前夕促销，就在 12 月 31 日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 A1，A2，A3，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，B2 中的一个.(1)记事件nE：

7、一次性购买 n 个甲系列盲盒后集齐 A1，A2，A3 玩偶；事件nF：一次性购买 n个乙系列盲盒后集齐，B2 玩偶；求6P E及5P F；(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 15，购买乙系列的概率为 45：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 14，购买乙系列的概率为 34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 12，购买乙系列的概率为 12：如此往复，记某人第 n 次购买甲系列的概率为nQ.求2Q；若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒

8、可获利 30 元，卖出一个乙系列的盲盒可获利 20 元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出 1000 个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）.518.(14 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA面 ABCD，AB/CD，且 CD=2，PA=AB=BC=1，ABBC.(1)求证：ADPC；(2)求锐二面角 D-PC-B 的余弦值；(3)若 PB 的中点为 M，判断直线 AM 与平面 PDC 是否相交，如果相交，求出 P 到交点 H 的距离，如果不相交，说明理由.19.(15 分)已知椭圆22221xyab 的短轴长为 2 2，直线

9、2:al xc与 x 轴交于点 A，椭圆的右焦点为 F，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆交于 P，Q 两点.(1)直接写出椭圆的方程及离心率；(2)若0OP OQ,求直线 PQ 的方程；(3)过点 P 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于另一点 M，证明：O,F,M 三点共线，并直接写出AMQ 面积的最大值.620.(15 分)已知函数 2xf xexaxa(1)当 a=1 时，求函数的单调区间：(2)若关于 x 的不等式 af xe在a，+)上有解，求实数 a 的取值范围；(3)若曲线 yf x存在两条互相垂直的切线，直接写出实数 a 的取值范围.21.(15 分)定义圈数列123nX

10、xxxn：，;X 为一个非负整数数列，且规定nx 的下一项为1x，记011,nnxxxx,这样kx 的相邻两项可以统一表示为11kkxx，k=1，2，3，n(1x的相邻两项为02xx，即2nxx，；nx 的相邻两项为11nnxx，).定义圈数列 X 做了一次 P 运算：选取一项2kx，将圈数列 X 变为圈数列121211,1kkkP Xxxxxx：，,即将kx 减2，相邻两项各加 1，其余项不变.并记下标 k 输出了一次.记 X 进行过 i 次 P 运算后数列为1,2,:,iiiinxxXx,（规定0XX)(1)若 X：4，0，0，直接写出一组可能的 X1，X2，X3，X4；(2)若进行 q

11、次 P 运算后(q0)，有qXX，此时下标 k 输出的总次数为ka，记0naa,11naa 直接写出一组非负实数，使得11kkkaaa对任意 k=1，2，3，n，都成立，并证明1ka ;(3)若 X：n+1，0，0，0，证明：存在 M，当正整数 kM 时，kX 中至少有一半的项非零.7人大附中高三年级 2021 数学收官考试之期末模拟一、单选题(共 40 分)1.设集合3|0,1 2 3log1ABxx,，则RAC B()A.0.1B.1,2C.1,3D.0,3解析：|03Bxx，|03RC Bx xx或，0 3RAC B,，选 D.2.集合 1|1Mz ztti tR，下列命题中不正确的是(

12、)A.MR B.0MC.若 zM，则 z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D.若 zM，2z，则 z 不一定是纯虚数解析：对于 A，当1t 时，2MR ，故选 A.3.如图，角，均以 Ox 为始边，终边与单位圆 O 分别交于 A,B，则 OA OB()A.sin(-)B.sin(+)C.cos(-)D.cos(+)解析：(cos,sin)(cos,sin)coscossinsincos()OA OB，选 C.4.已知，表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且，则 l是 l/的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：前推后，有可能 l 平面，后推前，l

13、可能与平面相交，平行，也可能l 平面，选 D.85.已知直线 1 3470lxy：与直线2 6110lxmym：平行，则 1l 与2l 之间的距离为()A.1B.2C.3D.4解析：两线平行，3(1)46m ，则7m，227(3)102534d，选 B.6.若2()()()xxf xeeaxbxc是偶函数，则一定有()A.b=0B.ac=0C.a=0 且 c=0D.a=0，c=0 且 b0解析：xxyee为奇函数，故2yaxbxc也为奇函数，故0ac，选 C.7.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线222210,0yxabab的下焦

14、点到渐近线的距离为 3，离心率为 2，则该双曲线的标准方程为()A.2213yxB.2213xy C.22193yxD.22139yx解析：由题联立22232bceacab，解得32 33bca，又焦点在 y 轴上，故选 D.8.对圆221xy 上任意一点(,)P x y，若 34349xyaxy的值都与 x，y 无关，则实数 a 的取值范围是()A.5a B.-5a5C.5a 或5a D.5a 解析：当9a 时，符合题意，排除 B，D；当5a 时，(1,0)P时，值为 12，(0,1)P时，值为 2，排除 C，选 A.99.已知正方体1111ABCDA B C D中，点 P、Q、R 分别是线

15、段11BBABAC、上的动点，观察直线 CP 与1D Q，CP 与1D R，得出下列结论：对于任意给定的点 Q，存在点 P，使得1CPD Q;对于任意给定的点 P，存在点 Q，使得1D QCP;对于任意给定的点 R，存在点 P，使得1CPD R;对于任意给定的点 P，存在点 R，使得1D RCP；其中正确的结论是()A.B.C.D.解析:对于，当取 P 与1B 重合时，1CPABD 平面，则1CPD Q，正确，排除 B、D;对于，很容易找到反例，当取 R 与1A 重合时，不存在，错误，排除 A，故选 C.10.若数列 na满足：0A BR AB,，使得对于*nN，都有21nnnaAaBa,则称

16、 na具有“三项相关性”下列说法正确的有()若 na是等差数列，则 na具有“三项相关性”若 na是等比数列，则 na具有“三项相关性”若 na是周期数列，则 na具有“三项相关性”若 na具有正项“三项相关性”，且正数 A，B 满足 A+1=B,12aaB,nnbB,na与 nb的前 n 项和分别为,nnS T 则对*nN,nnST恒成立.A.B.C.D.解析：对于，2()nnnadA adBa，联立12ABA，解得21AB，正确；对于，2nnna qAa qBa，即20qAqB，正确；对于，找反例，如 0，0，2，0，0，2，321aAaBa，不存在这样的 A，B，错误；对于，21(1)n

17、nnaBaBa，整理得211()nnnnaaB aa，又12aaB，故11nnnnaaB BB，又nnbB，故可知nnba，正确.选 B.10二、填空题(共 25 分)11.53212xx的展开式中的常数项是_.解析：332235(2)()20Cxx .12.10 名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是 19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的 80%分位数是_.解析：从小到大排列，10 80%8，第 8 位 20，第 9 位 22，故数据的 80%分位数是 2022212.13.已知抛物线2:C yax的准线方程为18x ,则 a=_.解析：由题148a，解得

18、12a.14.小明正在考数学期末模拟，写到了填空题的第 15 题，只有完全选对得 5 分，一旦错选或者少选得 0 分。已经题目有四个选项，小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了正确，错误。无法确定，但是小明依然冷静地分析后判断：有 23的可能性是对的，有 13的可能性是对的，假设小明判断正确，那么他应该选择_.解析：共有 4 种可能.选选，212339；选不选，224339；不选选，111339，不选不选，122339.故假设小明判断正确，那么他应该选择.1115.对于函数 sin,0,212,2,2x xff xxx，下列 4 个结论正确的是_.(只有完全选对才得 5 分，一旦错选或者少选

19、得 0 分).任取12,0,x xx,都有 122f xf x;22()f xkf xkKN,对一切0)x，恒成立；若关于 x 的方程 0f xm m有且只有两个不同的实根12,x x，则123xx;函数 ln 1yf xx有 5 个零点解析：数形结合.对于，max()1f x，min()1f x ，故正确；对于，当3k 时，则()6(6)f xf x，而由题()8(6)f xf x，错误；对于，当112m 时，有两个交点，且123232xx，正确；对于，将lnyx向右平移 1 个单位，与函数 f x 的交点有 3 个，错误.故填.12三、解答题(共 90 分)16.(13 分)已知ABC 同

20、时满足下列四个条件中的三个：3A2cos3B a=14b=6(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求ABC 的面积.解析：(1)ABC 同时满足，.4 分理由如下：若ABC 同时满足，则因为，21 cos32B 且,()0B,所以23B.这与 A+B，矛盾.所以ABC 不能同时满足，.所以ABC 只能同时满足，因为 ab，所以 AB，故ABC 不满足.故ABC 满足，8 分(2)因为2222cosabcbcA,所以222146262cc 解得 c=16 或 c=-10(舍).所以ABC 的面积113sin6 1624 3222sbcA 13 分1317.(13 分)玩具柜台元旦前夕促销，就

21、在 12 月 31 日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 A1，A2，A3，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，B2 中的一个.(1)记事件nE：一次性购买 n 个甲系列盲盒后集齐 A1，A2，A3 玩偶；事件nF：一次性购买 n个乙系列盲盒后集齐，B2 玩偶；求6P E及5P F；(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 15，购买乙系列的概率为 45：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 14

22、，购买乙系列的概率为 34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 12，购买乙系列的概率为 12：如此往复，记某人第 n 次购买甲系列的概率为nQ.求2Q；若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利 30 元，卖出一个乙系列的盲盒可获利 20 元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出 1000 个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）.【分析】(1)由古典概型的概率公式可以直接解出；(2)依题意可得1111 142nnnQQQ,即可得到25nQ是一个等比数列，从而求出nQ，用 表示一天中购买甲系列盲盒的人数，可知 服从二项分布，即可

23、计算出结果.14解析：(1)由题意22232134264263136266320327C C CC C C AC AP E4 分551 1151216P F,7 分(2)由题意可知：12111111119,Q1Q54224520QQ10 分(解析)当 n2 时，111111114224nnnnQQQQ,11(21221,54555)nnQQQ ,所以25nQ是以15为首项，14为公比的等比数列，1211554nnQ 因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作 n 趋向无穷大，由样本估计总体可知：购买甲系列盲盒的概率近似于 25，假设用 表示一天中购

24、买甲系列盲盒的个数，则21000,5B所以 210004005E ,即购买甲系列盲盒的个数的期望为 400，所以礼品店应卖出甲系列盲盒 400 个，乙系列盲盒 600 个.估计利润为：L=40030+60020=24000(元).(填 25000 的酌情给分)13 分1518.(14 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA面 ABCD，AB/CD，且 CD=2，PA=AB=BC=1，ABBC.(1)求证：ADPC；(2)求锐二面角 D-PC-B 的余弦值；(3)若 PB 的中点为 M，判断直线 AM 与平面 PDC 是否相交，如果相交，求出 P 到交点 H 的距离，如果不相交，说明理由.解

25、析：(1)证明：AB/CD，ABBC，AB=BC=1，CD=2，2AC,BAC=DCA=45.在DAC 中，由余弦定理得2222cosADACDCAC DCACD,即2222222222AD ,所以2AD,222.ACADDCACAD.又 PA平面 ABCD，：AD 平面 ABCD.PAAD.又：ACPAA，AC，PA 平面 PAC，AD 平面 PAC，PC 平面 PAC，ADPC.5 分(2)解：取 CD 中点 N，连结 AN.AB/CD,CD=2,AB=1,CN=1,AB/NC,AB=NC.四边形 ABCN 是平行四边形.AN/BC.ABBC，ABAN.PA平面 ABCD，PAAN，PAA

26、B.以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,1,0),P(0,0,1)1,1 1,1,0,0,0,2,0PCBCDC.设平面 PBC 的一个法向量为,nx y z,则0,0,0.0.n PCxyzxn BC 令 y=1，则得 z=1，此时 n(0,1,1)16设平面 PDC 的一个法向量为,mx y z,则0,0,20.0.m PCxyzym DC 令 x=1,则得 z=1，此时 m(1,0,1).1 00 1 1 11cos2,22m nm nm n .设平面 PDC 与平面 PBC 所成角为，1coscos2,m

27、n 平面 PDC 与平面 PBC 所成角的余弦值为 12.10 分(3)解：1 11 10,0,1,0,12 22 2MAMm.102mAM.直线 AM 与平面 PDC 相交.设 AHAM,所以110,22H110,122PH.0PH m,1102 解得2 0,1,0,1PHPH,到交点 H 的距离为 1.14 分1719.(15 分)已知椭圆22221xyab 的短轴长为 2 2，直线2:al xc与 x 轴交于点 A，椭圆的右焦点为 F，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆交于 P，Q 两点.(1)直接写出椭圆的方程及离心率；(2)若0OP OQ,求直线 PQ 的方程；(3)过点

28、P 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于另一点 M，证明：Q,F,M 三点共线，并直接写出AMQ 面积的最大值.解析：(1)椭圆的方程为22162xy,离心率为63;5 分(2)由(1)可得 A(3，0)，设直线 PQ 的方程为 y=k(x-3)，223360yk xxy,整理得222231182760kxk xk,依题意212 2(0)3k,得6633k,设1122,P x yQ xy则21221813kxxk，212227613kx xk,由直线 PQ 的方程得11223,3yk xyk x于是22121212123339y ykxxkx xxx，由0OP OQ,则12120 x xy y,由

29、得251k,从 而55k ,所 以 直 线 m 的 方 程 为530 xy或530 xy;10 分(3)设1APAQ,即有11223,3,xyxy,即121233,xxyy,设10,M x y,即有221036xy,则011122122 02,2,0,()yyFFMxyFQxyyy，由于1112222332,30332xxxxxxx等价为121221250 x xxx,由韦达定理代入可得222227618212501313kkkk,则有12220 xx,故有 FMFQ,Q,F,M 三点共线，AMQ 面积221211122aSAFyycyyc，18211222611133313361222312

30、133kk xk xk xxkkkkkk，当且仅当13 kk，即33k 时取等号，满足6633k,AMQ 面积的最大值32.15 分1920.(15 分)已知函数 2xf xexaxa(1)当 a=1 时，求函数的单调区间：(2)若关于 x 的不等式 af xe在a，+)上有解，求实数 a 的取值范围；(3)若曲线 yf x存在两条互相垂直的切线，直接写出实数 a 的取值范围.【分析】(1)当 a=1 时，21xf xexx,求出其导数，利用导数即可解出单调区间；(2)若关于的不等式 af xe在,a 上有解，即2a xxaxae，在,a 上有解，构造两个函数 2,a xr xxaxa t x

31、e,研究两个函数的在,a 上的单调性，即可转化出关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围；(3)由导数 2xfxexxa，当 a-2 时，函数 yfx的图象与轴有两个交点，故图象上存在两条互相垂直的切线.解析：(1)当 a=1 时，21xf xexx,则 232xfxexx,列表或者：令 0fx得 x-1 或 x-2；令 0fx得-2x0 时，在a,+)上，由于 r(x)的对称轴为负，故 r(x)在a,+)上增，t(x)在a,+)上减，欲使2a xxaxae 有解，则只须 r(a)t(a)，即221aa,20解得112a ,故102a；当 a0 时，在a,+)上，由于 r(x)的对称轴为正，故

32、 r(x)在a,+)上先减后增，t(x)在a,+)上减，欲使2a xxaxae 有解，只须22aart,即3224aaae,当0a 时，3224aaae显然成立.综上所述，12a 即为符合条件的实数 a 的取值范围；12 分(3)a 的取值范围是2|a aaR，.15 分2121.(15 分)定义圈数列123nXxxxn：，;X 为一个非负整数数列，且规定nx 的下一项为1x，记011,nnxxxx,这样kx 的相邻两项可以统一表示为11kkxx，k=1，2，3，n(1x的相邻两项为02xx，即2nxx，；nx 的相邻两项为11nnxx，).定义圈数列 X 做了一次 P 运算：选取一项2kx，

33、将圈数列 X 变为圈数列121211,1kkkP Xxxxxx：，,即将kx 减2，相邻两项各加 1，其余项不变.并记下标 k 输出了一次.记 X 进行过 i 次 P 运算后数列为1,2,:,iiiinxxXx,（规定0XX)(1)若 X：4，0，0，直接写出一组可能的 X1，X2，X3，X4；(2)若进行 q 次 P 运算后(q0)，有qXX，此时下标 k 输出的总次数为ka，记0naa,11naa 直接写出一组非负实数，使得11kkkaaa对任意 k=1，2，3，n，都成立，并证明1ka ;(3)若 X：n+1，0，0，0，证明：存在 M，当正整数 kM 时，kX 中至少有一半的项非零.【

34、分析】(1)根据 P 运算的概念直接写出答案即可；(2)从第一问的过程中可以猜测12;然后利用极端原理或考虑整体或者局部的方程证明即可；(3)想法利用(2)的结论，同时注意感受“一半”有配对的含义，因此可多观察下标 k 输出后附近的整体变化；然后利用数学归纳法证明即可.22解：(1)1234:2,1,1,0,2,2;:1,3,0211XXXX，或1234:2,1,1,0,2,2;:1,3,0211XXXX，.4 分(全对才给分)(2)12.考察11,kkkaa a，由操作规则，下标 k 输出了总值为 2ka，收入了11kkaa因此,112k qkkkkxxaaa,由,1,2,3,qkk qXX

35、xxkn,112kkkaaa,k=1,2,3,n.120naaaq.方法一：极端原理：设1211max,0,mnmmmmaa aaaaaa,且112mmmaaa,112mmmaaa,因此等号成立，有11mmmaaa,即ma 的后一项1ma 也是最大值，重复 n 次这个过程，则所有数都是最大值，即1230,1,1,2,3,.nkqaaaaaknn方法二：考虑整体或者局部：由112kkkaaa,得到11kkkkaaaa,遍历所有 k 有111210nnnnnnaaaaaaaa,从而有110nnaaaa,而110nnaaaa，从而有110nnaaaa,1112100nnnnnnaaaaaaaa,即1

36、20nqaaan,即1,1,2,3,.kakn9 分(3)X 各项和为 n+1，每次运算都不会改变总和，由抽屉原理，至少有一项2kX ,因此可以进行无数次 P 运算.01kxn,因此iX 各项值最多有2nn 种可能.23从而存在不同的正整数 pq 时，任取 i，i+1 两个相邻下标，考察项的和：存在 tq，第 t 次 P 运算在下标 i 输出，则,11,1,1,1,2 0,1 1,20i ti tititi titxxxxxx.现证明：当 ht 时，即第 h 次 P 运算，恒有,1,0i hihxx.当 h=t 时，已证；设1htt 时成立，即11,1,0i titxx,当11ht 时1)若第 h 次 P 运算不在下标 i，i+1 输出，由规则,11,1,1i hi hihihxxxx，11,1,11,1,t1,t0i hihi hihiixxxxxx；(2)若第 h 次 P 运算在 i 或 i+1 下标输出，则与第 t 次运算同理可得,1,0i hihxx 因此总有,1,0i hihxx,因此，当 kq 后，每个下标都有输出，其任何相邻的两个1iixx，至少有一个是非零，从而kX中至少一半的项非零.15 分