2022中考数学第二部分专题综合强化专题四二次函数的综合探究针对训练.docx

1、第二部分专题四类型1二次函数与特殊三角形的存在性问题1(2022怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，即yax22ax3a，2a2，解得a1，抛物线的解析式为yx22x3；当x0时，yx22x33，则C

2、(0,3)，设直线AC的解析式为ypxq，把A(1,0)，C(0,3)代入得解得直线AC的解析式为y3x3.(2)yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1,4)，如答图1，作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，则B(3,0)，MBMB，MBMDMBMDDB，此时MBMD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为yx3，当x0时，yx33，点M的坐标为(0,3)； 答图1 答图2(3)存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，如答图2，直线AC的解析式为y3x3，直线P1C的解析式可设为yxb，把C(0,3)代入得b3，直线P1C的解析式为yx3，解方程

3、组解得或则此时P点坐标为(，)；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，如答图2，直线P2A的解析式可设为yxd，把A(1,0)代入得d0，解得d，直线P2A的解析式为yx，解方程组解得或则此时P点坐标为(，)，综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，)2(2022泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A(4,0)，B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P

4、点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)二次函数yax2bxc经过点A(4,0)，B(2,0)，C(0,6)，解得二次函数的表达式为yx2x6.(2)由A(4,0)，E(0，2)可得AE所在的直线解析式为yx2，答图过点D作DFx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如答图，设D(m，m2m6)，则点F(m，m2)，DFm2m6(m2)m2m8，SADESADFSEDFDFAGDFEHDF(AGHE)4DF2(m2m8)(m)2，当m时，SADE最大，最大值为.(3)存在，P点的坐标为(1,1)或(1，)或(1，2)【解法提示】yx2x6的对称轴为x1，设P(1，n)，又

5、E(0，2)，A(4,0)，可得PA，PE，AE2，当PAPE时，解得n1，此时P(1,1)；当PAAE时，2，解得n，此时P点的坐标为(1，)；当PEAE时，2，解得n2，此时P点的坐标为(1，2)，综上所述，P点的坐标为(1,1)或(1，)或(1，2)3(2022眉山)如图1，已知抛物线yax2bxc的图象经过点A(0,3)，B(1,0)，其对称轴为直线l：x2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出

6、其最大值；(3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)如答图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D(3,0)，设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，把A(0,3)代入，得33a，解得a1，抛物线的解析式为yx24x3. 答图1 答图2(2)如答图2，设P(m, m24m3)，OE平分AOB，AOB90，AOE45，AOE是等腰直角三角形，AEOA3，E(3,3)，易得OE的解析式为yx，过P作PGy轴，交OE于点G，G(m，m)，PGm(

7、m24m3) m25m3，S四边形AOPESAOESPOE，33PGAE，3(m25m3)，m2m，(m)2，0，当m时，S有最大值，最大值是.(3)点P的坐标是(，)或(，)或(，)或(，)【解法提示】如答图3，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OPPF，易得OMPPNF，OMPN.P(m, m24m3)，则 m24m32m，解得m或，P的坐标为(，)或(，)； 答图3 答图4如答图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PNFM，则m24m3m2，解得x或，P的坐标为(，)或(，)；综上所述，点P的坐标是(，)或(，)或(，)或(，)4

8、(2022安顺)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0，3)(1)若直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标解：(1)依题意得解得抛物线解析式为yx22x3.对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，把B(3,0)，C(0,3)分别代入直线ymxn，得解得直线BC的解析式为yx3.(2)设直线BC与对

9、称轴x1的交点为M，则此时MAMC的值最小把x1代入直线yx3，得y2，M(1,2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为(1,2)(3)设P(1，t)，又B(3,0)，C(0,3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10，若点B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若点C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若点P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t1，t2；综上所述，使BPC为直角三角形的点P的坐标为(1，2)或(1,4)或(1，)或(1

10、，)类型2二次函数与特殊四边形的存在性问题1(2022南充)如图，抛物线顶点P(1,4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B(1)求抛物线的解析式(2)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由解：(1)设ya(x1)24(a0)，把C(0,3)代入抛物线解析式，得a43，即a1，则抛物线的解析式为y(x1)24x22x3.(2)B(3,0)，C(0,3)，直线BC的解析式为yx3

11、，SPBCSQBC，PQBC，过P作PQBC，交抛物线于点Q，如答图1所示，答图1P(1,4)，直线PQ解析式为yx5，联立得解得或即Q点坐标为(2,3)；设G(1,2)，PGGH2，点G在直线BC上过H作直线Q2Q3BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为yx1，联立得解得或Q2(，)，Q3(，)综上，点Q的坐标为(2,3)或(，)或(，)(3)存在点M，N使四边形MNED为正方形，如答图2所示，过M作MFy轴，过N作NFx轴，过N作NHy轴，则有MNF与NEH都为等腰直角三角形，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN解析式为yxb，答图2联立得消去y，得x23xb30，NF2|

12、x1x2|2(x1x2)24x1x2214b.MNF为等腰直角三角形，MN22NF2428b.NH2(b3)2，NE2(b3)2，若四边形MNED为正方形，则有NE2MN2，(b26b9)428b，整理得b210b750，解得b15或5，正方形边长为MN，MN9或.2(2022自贡)如图，抛物线yax2bx3过A(1,0)，B(3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P(m，n)是线段AD上的动点(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，

13、使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由解：(1)把A(1,0)，B(3,0)代入函数解析式，得解得抛物线的解析式为yx22x3.当x2时，y(2)22(2)33，即D(2，3)设直线AD的解析式为ykxb，将A(1,0)，D(2，3)代入，得解得直线AD的解析式为yx1.(2)设P点坐标为(m，m1)，Q(m, m22m3)，l(m1)(m22m3)，化简，得lm2m2，即线段PQ的长度l与m的关系式为lm2m2.配方，得l(m)2，当m时，l最大.(3)点R的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)【解

14、法提示】由(2)可知，0PQ.当PQ为边时，DRPQ且DRPQ.R是整点，D(2，3)，PQ是正整数，PQ1或2.当PQ1时，DR1，此时点R的横坐标为2，纵坐标为312或314，R(2，2)或(2，4)；当PQ2时，DR2，此时点R的横坐标为2，纵坐标为321或325，即R(2，1)或(2，5)当PQ为对角线时，设点R的坐标为(a，b)，则有，解得a2m2，bm23m1，点R的坐标为(2m2，m23m1)，R是整点，2m0)与抛物线F相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)(点A在第二象限)，求y2y1的值(用含m的式子表示)；(3)在(2)中，若m，设点A是点A关于原点O的对称点，如图

15、2.判断AAB的形状，并说明理由；平面内是否存在点P，使得以点A，B，A，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yx2bxc的图象经过点(0,0)和(，0)，解得抛物线F的解析式为yx2x.(2)将yxm代入yx2x，得x2m，解得x1，x2，y1m，y2m，y2y1(m)(m)(m0)(3)m，点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，2)点A是点A关于原点O的对称点，点A的坐标为(，)AAB为等边三角形理由如下：A(，)，B(，2)，A(，)，AA，AB，AB，AAABAB，AAB为等边三角形存在分三种情况，如答图，答图设点P的坐标为(x，y)()当

16、AB为对角线时，有解得点P的坐标为(2，)；()当AB为对角线时，有解得点P的坐标为(，)；()当AA为对角线时，有解得点P的坐标为(，2)综上所述，平面内存在点P，使得以点A，B，A，P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2，)或(，)或(，2)4如图，抛物线yx2bxc与直线AB交于A(4，4)，B(0,4)两点，直线AC：yx6交y轴于点C点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G.(1)求抛物线yx2bxc的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F

17、，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标解：(1)点A(4，4)，B(0,4)在抛物线yx2bxc上，解得抛物线的表达式为yx22x4.(2)设直线AB的解析式为ykxn，A(4，4)，B(0,4)，直线AB的解析式为y2x4，设E(m,2m4)，则G(m，m22m4)，四边形GEOB是平行四边形，EGOB4，m22m42m44，解得m2，G(2,4)(3)如答图，答图由(2)知，直线AB的解析式为y2x4，设E(a,2a4)，直线AC：yx6，F(a，a6)，设H(0，p)，以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，直线AB的解析式为y2x4，直线AC的解析式为yx6，ABAC，EF为

18、对角线，EF与AH互相平分且相等，2a4，2a4a6，a2，p1(7已舍)，E(2,0)，H(0，1)类型3二次函数与相似三角形的存在性问题1(2022官度区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1,1)，且与直线yx2相交于B，C两点(1)求抛物线的解析式；(2)求B，C两点的坐标；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)顶点坐标为(1,1)，设抛物线的解析式为ya(x1)21.又抛物线过原点，0a(01)21，解得a1，抛物线的解析式

19、为y(x1)21，即yx22x.(2)联立抛物线和直线解析式可得解得或B(2,0)，C(1，3)(3)存在理由：假设存在满足条件的点N，设N(x,0)，则M(x，x22x)，ON|x|，MN|x22x|，由(2)知，AB，BC3，AC2，AB2BC2AC2，ABC为直角三角形，且ABC90，MNx轴于点N，ABCMNO90，当ABC和MNO相似时，有或.当时，即|x|x2|x|.当x0时，M，O，N三点不能构成三角形，x0，|x2|，x2，解得x或x，此时N点坐标为(，0)或(，0)；当时，即|x|x2|3|x|，|x2|3，x23，解得x5或x1，此时N点坐标为(1,0)或(5,0)综上可知

20、，存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(1,0)或(5,0)2(2022达州)如图，抛物线经过原点O(0,0)，点A(1，1)，点B(，0)(1)求抛物线解析式；(2)连接OA，过点A作ACOA交抛物线于C，连接OC，求AOC的面积；(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MNOM交x轴于点N.问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与(2)中的AOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 备用图解：(1)设抛物线解析式为yax(x)，把A(1,1)代入，得a(1)1，解得a，抛物线解析式为yx(x)，即yx2x.(2)延长CA交y轴于点D，如答图1

21、.答图1A(1,1)，OA，DOA45，AOD为等腰直角三角形OAAC，ODOA2，D(0,2)，易得直线AD的解析式为yx2，联立方程组解得或C(5，3)，SAOCSCODSAOD25214；(3)存在如答图2，过点M作MHx轴于点H.答图2由(2)易得AC4，OA.设M(x，x2x)(x0)OHMOAC，当时，OHMOAC，即，解方程x2x4x得x10(舍去)，x2(舍去)，解方程x2x4x得x10(舍去)，x2，此时M点坐标为(，54)；当时，OHMCAO，即，解方程x2xx得x10(舍去)，x2，此时M点的坐标为(，)，解方程x2xx得x10(舍去)，x2，此时M点坐标为(，)MNOM

22、，OMN90，MONHOM，OMHONM，当M点的坐标为(，54)或(，)或(，)时，以点O，M，N为顶点的三角形与(2)中的AOC相似类型4二次函数与面积最值问题1(2022东营)如图，抛物线ya(x1)(x3)(a0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAOBC(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当y0时，a(x1)(x3)0，解得x11，x23，即A(1,

23、0)，B(3,0)，OA1，OB3.OCAOBC，OCOBOAOC，OC2OAOB3，则OC.(2)C是BM的中点，即OC为RtOBM斜边BM的中线，OCBC，点C的横坐标为.又OC，点C在x轴下方，C(，)设直线BM的解析式为ykxb，把点B(3,0)，C(，)代入，得解得直线BM的解析式为yx.又点C(，)在抛物线上，将C(，)代入抛物线的解析式，解得a，抛物线的解析式为yx2x2.(3)存在如答图，过点P作PQx轴交直线BM于点Q，设点P的坐标为(x，x2x2)，答图则Q(x，x)，PQx(x2x2)x23x3，当BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，SBCPPQ(3x)PQ(x)

24、PQx2x，当x时，SBCP有最大值，则四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为(，)2(2022盐城)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx3经过点A(1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P，Q两点(点P在点Q的左侧)，连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP，DQ.若点P的横坐标为，求DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由解：(1)将A(1,

25、0)，B(3,0)代入yax2bx3，得解得抛物线的表达式为yx22x3.(2)当点P的横坐标为时，点Q的横坐标为，此时点P的坐标为(，)，点Q的坐标为(，)设直线PQ的表达式为ymxn，将P(，)，Q(，)代入ymxn，得解得直线PQ的表达式为yx.如答图，过点D作DEy轴交直线PQ于点E，答图设点D的坐标为(x，x22x3)，则点E的坐标为(x，x)，DEx22x3(x)x23x，SDPQDE(xQxP)2x26x2(x)28.20，当x时，DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为(，)假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4t，点P的坐标为(t，t22t3)，点Q的坐标

26、为(4t，(4t)22(4t)3)，利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y2(t1)xt24t3.设点D的坐标为(x，x22x3)，则点E的坐标为(x，2(t1)xt24t3)，DEx22x32(t1)xt24t3x22(t2)xt24t，SDPQDE(xQxP)2x24(t2)x2t28t2x(t2)28.20，当xt2时，DPQ的面积取最大值，最大值为8.假设成立，即直尺在平移过程中，DPQ面积有最大值，面积的最大值为8.3(2022新疆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P从A点出发，在线

27、段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；(3)在(2)的条件下，当PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使BMC的面积是PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当x0时，yx2x44，点C的坐标为(0，4)；当y0时，x2x40，解得x12，x23，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(3,0)(2)设直线BC的解析式为ykxb(k0)，将B(3,0)，

28、C(0，4)代入ykxb，得解得直线BC的解析式为yx4.过点Q作QEy轴，交x轴于点E，如答图1所示当运动时间为t秒时，点P的坐标为(2t2,0)，点Q的坐标为(3t，t)PB3(2t2)52t，QEt，SPBQEt22t(t)2.0，当t秒时，PBQ的面积S取最大值，最大值为.(3)存在，如答图2，过点M作MFy轴，交BC于点F，设点M的坐标为(m，m2m4)，则点F的坐标为(m，m4)，MFm4(m2m4)m22m，SBMCMFOBm23m.BMC的面积是PBQ面积的1.6倍，m23m1.6，即m23m20，解得m11，m22.0m3，在BC下方的抛物线上存在点M，使BMC的面积是PBQ

29、面积的1.6倍，此时点M的坐标为(1，4)或(2，)答图4(2022白银)如图，已知二次函数yax22xc的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点B(3,0)点P是直线BC上方的抛物线上一动点(1)求二次函数yax22xc的表达式；(2)连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积解：(1)将点B和点C的坐标代入函数表达式，得解得二次函数的表达式为yx22x3.(2)若四边形POPC为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如答图1

30、，作OC的垂直平分线交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PP，则PECO.答图1C(0,3)，E(0，)，点P的纵坐标为，当y时，即x22x3，解得x1，x2(不合题意，舍去)，点P的坐标为(，)(3)如答图2，过点P作PFx轴于点F，交BC于点Q.答图2设直线BC的解析式为ykxb，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得解得直线BC的解析式为yx3.设点P的坐标为(m，m22m3)，则点Q的坐标为(m，m3)，PQm22m3(m3)m23m.当y0时，x22x30，解得x11，x23，A(1,0)，OA1，AB3(1)4，S四边形ABPCSABCSPCQSPBQABOCPQOFPQFB43(m2

31、3m)3(m)2，当m时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为.当m时，m22m3，即P的坐标为(，)综上所述，当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积为.类型5二次函数与动点问题1(2022菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx5交y轴于点A，交x轴于点B(5,0)和点C(1,0)，过点A作ADx轴交抛物线于点D(1)求此抛物线的表达式；(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求EAD的面积；(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和ABP的最大面积解：(1)抛物线yax2bx5交y轴于

32、点A，交x轴于点B(5,0)和点C(1,0)，解得此抛物线的表达式是yx24x5.(2)抛物线yx24x5交y轴于点A，点A的坐标为(0，5)ADx轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10，当y5时，5x24x5，解得x0或x4，点D的坐标为(4，5)，AD4，SAEDADEF41020.(3)设点P的坐标为(p，p24p5)，如答图所示答图设过点A(0，5)，点B(5,0)的直线AB的函数解析式为ymxn，则得直线AB的函数解析式为yx5.当xp时，yp5.OB5，SABP5(p)2点P是直线AB下方的抛物线上一动点，5p0，当p时

33、，S取得最大值，此时S，点p的坐标是(，)综上，当点P的坐标是(，)时，ABP的面积最大，此时ABP的面积是.2(2022德州)如图1，在平面直角坐标系中，直线yx1与抛物线yx2bxc交于A，B两点，其中A(m,0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D(1)求m，n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)，分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角APM和等腰直角DPN，连接MN，试确定MPN面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与ABD相似？若存在，

34、请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把A(m,0)，B(4，n)代入yx1，得m1，n3，A(1,0)，B(4,3)抛物线yx2bxc经过点A与点B，解得抛物线的解析式为yx26x5.(2)APM与DPN都为等腰直角三角形，APMDPN45，MPN90，MPN为直角三角形令x26x50，解得x1或x5，D(5,0)，即DA514.设APm，则DP4m，PMm，PN(4m)，SMPNPMPNm(4m)m2m(m2)21，当m2，即AP2时，SMPN最大，此时OP3，即P(3,0)(3)存在，易得直线CD解析式为yx5，设Q(x，x5)，由题意得BADADC45，当ABDDAQ时，

35、即，解得AQ，由两点间的距离公式得(x1)2(x5)2，解得x或x(舍去)，此时Q(，)；当ABDDQA时，1，即AQ，(x1)2(x5)210，解得x2或x6(舍去)，此时Q(2，3)综上，点Q的坐标为(2，3)或(，)类型6二次函数与线段最值问题1(2022宜宾)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)如图，直线yx与抛物线交于A，B两点，直线l为y1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l上是否存在一点P，使PAPB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线

36、l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标解：(1)抛物线的顶点坐标为(2,0)，设抛物线的解析式为ya(x2)2.该抛物线经过点(4,1)，14a，解得a，抛物线的解析式为y(x2)2x2x1.(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得解得点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4,1)如答图，作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PAPB取得最小值答图点B(4,1)，直线l为y1，点B的坐标为(4，3)设直线AB的解析式为ykxb(k0)，将A(1，)，B(4，3)代入ykxb，得解得直线AB的解析式为yx，当y1时，有x1，解得x，点P的坐标为(，1)(3)点M到

37、直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，(mx0)2(ny0)2(n1)2， m22x0mx2y0ny2n1.M(m，n)为抛物线上一动点，nm2m1，m22x0mx2y0(m2m1)y2(m2m1)1，整理，得(1y0)m2(22x02y0)mxy2y030.m为任意值，定点F的坐标为(2,1)2(2022烟台)如图1，抛物线yax22xc与x轴交于A(4,0)，B(1,0)两点，过点B的直线ykx分别与y轴及抛物线交于点C，D(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PDC为直角三角形？请直接写

38、出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DMMN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把A(4,0)，B(1,0)代入yax22xc，得解得抛物线的表达式为yx22x.直线ykx过点B，将B(1,0)代入，得k，直线的表达式为yx.(2)由得交点坐标D(5,4)如答图1，过点D作DEx轴于点E，作DFy轴于点F.答图1当P1DP1C时，P1DC为直角三角形，则DEP1P1OC，即，解得t；当P2DDC时，P2DC为直角三角形，由P2DBDEB得，即，解得t；当P3CDC时，DFCCOP3，即，解得t.当t的值为或或时，PDC为直角三角形(3)存在由已知得直线EF解析式为yx.如答图2，在抛物线上取点D的对称点D，过点D作DNEF于点N，交抛物线对称轴于点M，过点N作NHDD于点H，此时，DMMNDN最小答图2则D(2,4)，EOFNHD.设点N的坐标为(a，a)，即，解得a2，则N点坐标为(2，2)由N(2，2)，D(2,4)求得直线ND的解析式为yx1，当x时，y，点M的坐标为(，)，此时，DMMN的值最小为2.