南平市2021—2022学年第一学期高二期末质量检测数学试题参考答案及评分标准.pdf

1、高二期末数学参考答案 第1页（共 8 页）南平市 20212022 学年第一学期高二年级期末质量检测 数学参考答案及评分标准 说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分1C2B3B4A5A6D

2、7A8D二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9B D10B CD11A B12A B D三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分135 14215916189 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）解:（1）圆C 经过坐标原点O，圆心在 x 轴正半轴上，故可设圆C 的圆心坐标为(,0)C a，1 分 其中0a，且半径 ra=2 分 又圆 C 与直线34

3、20 xy+=相切，22|302|34aa+=+，4 分 解得1a=或14a=（舍去），故圆C 的标准方程为22(1)1xy+=5 分（2）直线l 过点()1 2，设直线l 方程为()21yk x=，6 分 即20kxyk+=直线l 与圆 C 有公共点，圆心到直线的距离2211dk=+，8 分 解得：33kk 或10 分 高二期末数学参考答案 第2页（共 8 页）18.（本小题满分 12 分）解（1）方案一：选条件：2nSn=.当1n=时，111as=.1 分 当2n 时，212(1)21nnnassnnn=4 分 又当1n=时,11a=符合上式，5 分 21nna=6 分 方案二：选条件：点

4、1)(,nna a+在直线2yx=+上，且35a=，12nnaa+=+，即12nnaa+=，2 分 na为等差数列，公差2d=，4 分 3(3)221nnnaa=+=.6 分 方案三：选条件公差为正数的等差数列 na中，35a=且1a，2a，42a+成等比数列.设等差数列 na的公差为(0)d d，依题意，得232145aaaa=且 （+2）2ddd(5-)(5-2)(7+),解得2d=或5d=（舍去），2d=，4 分 3(3)221nnnaa=+=.6 分（2）21nan=，12211(21)(21)2121nnnbaannnn+=+.7 分 12nnbbTb=+高二期末数学参考答案 第3页

5、（共 8 页）1111111()()()11335212121nnn=+=+，9 分 1021n+，11121n+.10 分 数列 nb的前 n 项和nTm对任意的正整数n 恒成立，1m，11 分 m的最小值为 112 分 19（本小题满分 12 分）解：（1）因为3=a，所以193)(3+=xxxf，99)(2=xxf，1 分所以，当1x 或1x 时，()0fx；当 11x 时，()0fx；所以()f x 在(,1)和(1,)+单调递增，在()1,1单调递减，3 分所以()f x 的极大值为7)1(=f，()f x 的极小值为5)1(=f.5 分（2）)3(393)(22=axaxxf，6

6、分当0a 时，0)3(3)(2=axxf恒成立，()f x 在R 上单调递减，()f x 至多一个零点，不合题意；7 分当0a 时，令()0fx=，则ax3=，8 分所 以，当ax3或ax3时，()0fx；当axa33时，()0fx；所以()f x 在），（a3和），（+a3单调递增，在），（aa33单调递减，9 分高二期末数学参考答案 第4页（共 8 页）所以()f x 的极大值为136)3(+=aaf，()f x 的极小值为136)3(+=aaf.10 分又()f x 恰有三个零点，所以36103610aa+，11 分解得1080 a综上，a 的取值范围为1080 a 12 分 20（本小

7、题满分 12 分）证明：（1）如图，取 AC 中点 D，连接OD、BD，因为2OAOC=，所以ODAC，1 分 又OAOC，所以2AC=，112ODAC=因为2ABBC=，所以 BDAD 又因为112ADAC=，又=2OB，所以3BD=，所以222ODBDOB+=，所以ODBD.3 分 又=ACBD D，所以OD 平面 ABC，5 分 又因为OD 平面OAC，所以平面OAC 平面 ABC.6 分 DEOCAB高二期末数学参考答案 第5页（共 8 页）（2）由（1）可得 DO、DA、DB两两垂直，以 D 为原点，分别以 DA、DB、DO 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系-D xyz，如

8、图.则()1,0,0A，()0,3,0B，()1,0,0C，()0,0,1O，11,0,22E，8 分 所以()1,3,0AB=，11,3,22EB=，设()=,nx y z 为平面 EAB的法向量，则301130.22xyxyz+=+=，令1y=，则3x=，3 3z=所以()=3,1,3 3n是平面 EAB的一个法向量，10 分 由（1）知()=0,0,1DO为平面 ABC 的一个法向量，11 分 设平面 ABC 与平面 EAB所成角为，则3 33 93coscos,3131n DO=故平面 ABC 与平面 EAB夹角的余弦值为 3 933112 分 21（本小题满分 12 分）（1）证明：

9、由圆222150 xyx+=可得，圆心为，半径为 4，/EQPC，PCDEQD=，又|PDCP=，PCDPDC=，DEBOCAzxy高二期末数学参考答案 第6页（共 8 页）EQDPCDPDC=，|EQED=，2 分|4EPEQEPEDPD+=+=，则|4EPEQ+=，3 分 点 E 的轨迹是以(1,0)P，(1,0)Q为焦点，4 为长轴长的椭圆，4 分 故点 E 的轨迹 的方程为221(0)43xyy+=；5 分（2）解：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程是1x=.此时点M 的坐标是31,2，点 N 的坐标是31,2.所以直线 AM 的方程是()122yx=+，直线 BN 的方程是()

10、322yx=.所以直线 AM，BN 的交点 K 的坐标是()4,3.所以点 K 在直线4x=上.6 分 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k.所以直线l 的方程为()1yk x=.联立方程组()221143yk xxy=+=，消去 y，整理得()2223484120kxk xk+=.显然0.不妨设()11,M x y，()22,N xy，所以2122834kxxk+=+，212241234kx xk=+.7 分 因为直线 AM 的方程是()1122yyxx=+，高二期末数学参考答案 第7页（共 8 页）由()112,24.yyxxx=+=得116,24.yyxx=+=即 AM 与=4x的交点11

11、164,2yKx=+，8 分 同理可得 BN 与=4x的交点22224,2yKx=，9 分 因为()()121212126121622222k xk xyyxxxx=+()()()()()()12121261222122k xxk xxxx+=+，10 分 因为()()()()1212612221k xxk xx+()()12211212232222kx xxxx xxx=+()12122258kx xxx=+()22222 4125 8283434kkkkk=+()2880k=+=，11 分 所以1K 与2K 重合，即直线 AM、BN 的交点 K 在直线4x=上12 分 22（本小题满分 1

12、2 分）【解析】（1）()e2cosxfxx=+1 分 令)()(xfxh=，则()00h=且()esinxh xx=，2 分)0(+，x，()esin1 sin0 xh xxx=，所以()(0)0h xh=，即()0fx，所以)(xf在)0(+，的单调递增，3 分 高二期末数学参考答案 第8页（共 8 页）)0(，x，()e2coscos10 xfxxx=+，所以)(xf在)0(，单调递减.4 分 所以)(xf的单调递减区间为)0(，)(xf的单调递增区间为)0(+，5 分（2）设2()()()e2sin21xF xf xg xxxax=+，且0)0(=F，6 分()ecos42xF xxa

13、x=+，令)()(xFxG=，()esin4xG xxa=，令)()(xGxH=，()ecos1 cos0 xH xxx=，所以)(xG在)+，0上单调递增，8 分若41a，041)0()(=aGxG，所以)(xF在)+，0上单调递增，所以0)0()(=FxF，所以0)0()(=FxF恒成立.9 分若41a，041)0(=aG，0)24sin(24)24sin(24)24(ln(+=+=+aaaaaG，10 分所以存在)24ln(0(0+ax，使0)(0=xG，且0(0)xx，0)(xG，所以()G x 在0(0)x，单调递减，即)(xF在0(0)x，单调递减，所以0(0)xx，时，0)0()(=FxF，所以0)0()(=FxF，不合题意.综上，41a.12 分