广东省韶关市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试 数学答案.pdf

1、2023 届高三综合测试（二）数学参考答案与评分标准 评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.只给整数分数,选择题不给中间分。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答

2、案 B B C D D B A C 1.【解析】化简得1,1,2,zi zi z=+=选 B.2.【解析】依题意132xx，即312x，选 B.3.【解析】13ECEBBCABAD=+=+,所以43u+=，选 C.4.【解析】按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，则椭圆方程为，令，有一个，所以有,选 D.5.【解析】设棱台的上底面矩形边长分别为ba，则下底面矩形边长分别为ba 22，则 棱台的体积为：63)44(331=+=abababbaV，所以9b=a，棱台的上底面的周长为,124)2=+abba（当3=ba时，上底面的周长最小值为22221(0)xyabba+=yc=2bxa=211024

3、4acba+=2211022acaca+=22110aca=45cea=12，选 D.6.【解析】由图可知，1521433T=，所以4T=，2=；一条对称轴为23x=，所 以 2232k+=+，因为2，所以6=；故()3sin 26f xx=+，所以()3sin 23g xx=+.所以()g x 的图象的最小正周期为T=，A 正确；因为0 2x，所以42333x+，B 错误；对于 C:令2+()22123kxkxkZ+=+，所以 C 正确；对于 D：令2()326kxkxkZ+=，所以 D 正确.故选 B.7.【解析】由方程5ln0 xx+=和50 xxe+=，可得 ln5xx=和5xex=，

4、因为方程的根分别是，且lnyx=与xye=互为反函数，所以分别与 lnyx=和xye=的交点的横坐标为，故有5yxyx=，解得5252xy=，所以5=-22+，的单调递减区间是，故选 A.8.【解析】当时，则，；当时，则，；当时，则，；当时，则，；,5yx=,222525()()5()24f xxxxxx=+=+=+()f x5(,212n 0.51.5n()1fn=()11fn=36n1.52.5n()2fn=()112fn=712n2.53.5n()3fn=()113fn=1320n3.54.5n()4fn=()114fn=当时，此时，包含，共个整数，所以将分组为，第组有个数，且每一组中所

5、有数之和为，)100(1)99(1)90(1)5(1)4(1)3(1)2(1)1(1ffffffff+=41414141414141413131313131312121212111 11111111 2468101218101923456910=+=，故选 C.二、多项选择题：本题共 4 小题，全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分.题号 9 10 11 12 答案 AD ACD BC BCD 9.【解析】对于 A,曲线 C 表示双曲线，224,4ab=24(1)c=+，A 正确;对于 B,曲线 C 表示椭圆，224(),4ab=，24(1)c=，B 不对;对于 C,1=

6、时，曲线 C 表示圆224xy+=，C 不对;对于 D,曲线 C 表示椭圆,224,4ab=,24(1)c=+,D 正确.10.【解析】对于 A,由二项分布的期望公式，1()3E Xn=，由期望的运算性质，(31)3()116EXE Xn+=+=+=，则 n=5，所以 A 正确;对于 B,由正态分布曲线的性质可知，(4)1 0.70.3P X=，根据对称性，(2)0.3P X =，于是(21)0.50.30.2PX=，B 错误;对于 C,因为()()0,()0,(|)()()()()()P ABP AP BP B AP BP ABP A P BP A=()212122kknk+N()11kfn

7、=221144kknkk+21kk+22kk+2kk+2k()1fn()1,11 1 1 1,2 2 2 21 1 1 1 1 1,3 3 3 3 3 31 11,n nnn2n122nn=所以()(|)()()P ABP A BP AP B=，所以 C 正确;对于 D,因为()12P A=，()14P B A=，所以()12P A=，()34P B A=，又因为()23P B A=，由全概率公式，可得121317()()(|)()(|)232424P BP AP B AP AP B A=+=+=,故选：ACD.11.【解析】对于 A,由正方体性质得：平面/BCC B平面ADD A，平面BCC

8、 B平面 EMFNMF=，平面ADD A平面 EMFNEN=，故/MF EN，同理得/ME NF，又 EFMN，所以四边形 MENF 为菱形，故 A 不正确；对于 B,连接 BD，B D ，MN 由题易得 EFBD，EFBB，BDBBB=，所以 EF 平面 BDD B ，平面EMFN平面DDBB，故 B 正确；对于 C 选项，四棱锥 AMENF的体积,1112123346MAEFNAEFAEFVVVDB S=+=，故 C 正确；对于 D 选项，由于四边形 MENF 是菱形，所以周长222244442222+=+=+=MNMNEFMNl，所以当点 M，N 分别为 BB，DD的中点时，四边形MEN

9、F 的周长最小，此时2MNEF=，即周长的最小值为 4,故 D 不正确故选：BC 12.【解析】由()()4f xf x+=，所以()()()()()()4431F xf xf xf xf xF x+=+=+=，所以()yF x=是以 4 为周期的周期函数，又(0)(0)(1)10Fff=+=，所以()yF x=不是是奇函数，A 错误.可求得23,211,10()21,011,12xxxyF xxxx =，所以函数()yF x=的最大值为 1，B 正确.当()2022,2023x时，()20242,1x ，所以()()202424045F xF xx=+，单调递减，C 正确.因为()()xFx

10、F=1，()F x 关于12x=成轴对称，因为()()xFxF=1，()F x 关于 1,02成中心对称，D 正确.选 BCD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.21 14.552 15.34 16.22(3)(2)16xy+=（2 分）,2,9 2（3 分）13.【解析】所求概率 32324412A APA=14.【解析】由已知可得，tan2=，再由同角关系可得，2 5sin5=，所以 2 5sin()5=15.【解析】设圆锥底面半径为 R，母线长为 L，则=3222LRRL解 得.6L36R=，,易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

11、其中3626=BCACAB，且点 M 为 BC 边上的中点，设内切圆的圆心为 O，由于334=AM，故32433436221=ABCS，设内切圆半径为 r，则：ABCAOBBOCAOCSSSS=+r212r21+=BCAB,解得：33r=，其表面积：223444()33Sr=.16.【解析】：过抛物线2:4C yx=的焦点(1,0)F且斜率为 1 的直线为1yx=+，由241yxyx=+消 去 x，得2610 xx+=，所 以 AB 的 中 点 为(3,2)D且128ABxxp=+=，所 以 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 半 径 为4r=，方 程 为22(3)(2)16xy+=，对

12、圆 D 内任意一点 M，必可作互相垂直的两直线与相交，故存在圆 D 上两点,P Q，使90PMQ=；对圆 D 外任意一点M，,P Q 是圆 D 上两点，当,MP MQ 与 圆 D 相 切 时，PMQ最 大，此 时 DPMQ 为 矩 形，24 2DMr=，所 以 若 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 上 存 在 两 点,P Q，在 圆22:()1Txay+=上存在一点 M，使得90PMQ=，等价于以 D 为圆心以22 2DMr=为半径的圆与圆222:(2)(7)(0)Txya a+=有公共点，所以224 2(23)(72)4 2aDTa=+，解得29 2a，所以填 2,9 2.四、解答题：本

13、题共 6 小题，共 70 分 17.（10 分）解：（1）令 na是等比数列，设公比为，时，有当qaaan11211=+=1 分,11211+=+=+nnnnSaSan，时，有当2 分 112nnnnnaaaaa+=相减得:，有，,2=q所以有 3 分 4 分 q.2,111=nnaa故有代入解得（2）由（1）知：()()nbnnn+=121 5 分 122222212122+=+=nbnbnnnn，7 分 141122+=+nnnbb 8 分 n n 10 分 18.（12 分）证明：（1）连接1CB 交1BC 于点 F，连接 EF,则 F 是CB1的中点 1 分 由于FE、分别是1,AC

14、BC 的中点，所以1/EFAB 2 分 由于111,ABBEC EFBEC面面，所以11/ABBEC面 4 分（2）由点1B 在底面上的射影为点C,所以ABCCB平面1 5分 在 ABC中5,2,1=ACBCAB BCAB 过 B 作CB1的平行线为 Z 轴易知,AB CB Z 两两垂直，如图以 B 为原点，分别以,AB CB Z 所在直线为,x y z 轴，建立空间直角坐标系6 分)0,1,21(220)0,2,0()0,0,1(),0,0,0(1EBCAB），（，BCCB=11，得），（2401C 7 分），（），（232101211=ECAE)0,1,21(=BE，)2,4,0(1=BC

15、 设平面EBC1的法向量），（zyxm=()()()()1212342121 4437(41)nnnnSbbbbbbn+=+()()()()1212342121 4437(41)nnnnSbbbbbbn+=+21 441(21)21 43nnnnnn=+=+0240211=+=+=zymBCyxmBE )2,1,2(=m8 分 设平面11AAEC的法向量为),(zyxn=023210211=+=+=zyxnECyxnAE )1,1,2(=n 9 分 设平面1BEC 与平面11AAEC所成角为 186691cos=nmnm11 分 183186311sin2=所以，平面1BEC 与平面11AAE

16、C所成角的正弦值为 1831812 分 19.（12 分）解：（1）在 APB中，23=PBPA，2AB=，由余弦定理得2223cos22ABPBPAPBAAB PB+=36 2 分 又2=ABC 6sin3PBC=3 分 11631sin222322PBCSPBBCPBC=136122232=5 分（2）法 1：设PAB=，则(0,)4，在 APB中，因为34APB=，所以344PBA=，6 分 由正弦定理，得 sinsinPBABPABAPB=，从而2sinPB=，7 分 在 CPB中，()244PBC=+，由余弦定理得：2222cos()4PCPBBCPB BC=+8 分224sin22

17、 2sin2 cos()4=+=22cos224sin(cossin)=+62(2cos2sin 2)=+62 5sin(2)=+（其中 tan2,(0,)2=），10 分 因为(0,)4，所以2(,)2+，11 分 所以当22+=时，222min62 5(5)2 151PC=+，从而，min51PC=。12 分（2）法 2：设PBA=，在 APB中，因为34APB=，所以 344PAB=，则(0,)4，6 分 由正弦定理，得 sinsinPAABPBAAPB=，从而2sinPA=，7 分 在 PAC中，因为4CAB=，所以PAC=，8 分 由余弦定理得2222cosPCPAACPA AC=+

18、224sin22 2sin2cos=+=22cos244sin2=+62(cos22sin 2)=+62 5sin(2)=+（其中1tan,(0,)22=）10 分 因为(0,)4，所以2(,)2+，11 分 所以当22+=时，222min62 5(5)2 151PC=+，从而min51PC=.12 分 法 3：利用定角定弦模型中的隐圆处理亦可给分。20.（12 分）解：（1）因为1242516yCC=，所以114 31(1)6y y=1 分 所以111(1)4 3 69 89y yy=2 分 即第一天新增患感冒而就诊的学生有9 位，其中男生 4 位，女生5 位 则随机变量 X 的可能取值为：

19、0,1,2 3 分 且 X 服从超几何分布，其中9,4,2NMn=25295(0)18P XCC=，1154295(1)9P XC CC=，24293(2)18P XCC=5 分 即 X 的分布列为X012P51859318数学期望()5538012.189189E X=+=7 分（或48()2.99ME xn N=）（2）6621154,9,()64iiiixxxx=8 分由于6611662211()()()()168 1717()()iiiiiiiiiixx yyxx yyrxxyy=所以 61()()16 8iiixx yy=所以 b6121()()16 8264()iiiniixx y

20、yrxx=9 分因为26666622222111113463,()26628923iiiiiiiiiiyyyyyyyyyy=+=10 分所以232 95ayb x=11 分所以25yx=+，当15x=时，2 15535y=+=所以可以估计，昼夜温差为15 C。时，该校新增患感冒的学生人数35人12 分21.（12 分）解：（1）因为 OMN为正三角形，由对称性知130MOF=，1 分 又因为22OMcab=+，所以11122MFMOc=，13322cOFMO=，2 分 不妨设3(,)22c cM，因为 MC，所以得222342ccb=，2222)(38bcb=，2222)(2)(38bbb=+

21、，424043bb=，222)(0)(23bb+=，所以22b=，3 分 所以双曲线C 的标准方程为22122xy=.4 分 渐近线方程为xy=.5 分 法 2：因为 OMN为正三角形，由对称性知130MOF=，1 分 又因为22OMcab=+，所以3(,)22cMc，2 分 由双曲线定义得 222221332()(0)()(0)2222ccaMFMFcccc=+(2323)c=+所以22224(2323)2acc=+=因为2a=.3 分 所以24c=，2222bca=，所以双曲线C 的标准方程为22122xy=.4 分 渐近线方程为xy=.5 分（2）由（1）可得1(2,0)F，2(2,0)

22、F.当点2PFx轴时，由对称性不妨设点()2,2P，()2,2B，12:(2)22PFyx=+，联立方程组：222(2)42yxxy=+=消 x 得：278 220yy+=，27Ay=，所以107Ax=，所以117PAPFyAFy=，221PBPFyBFy=，所以12126PFPFAFBF=.6 分 当点2PF 不垂直 x 轴时，由对称性不妨设()000,(0)P xyy，()11,A x y，()22,B xy，直线00:(2)2yPA yxx=+，联立方程组：0022(2)2122yyxxxy=+=消去 x 得：22002(2)2xyyy+=，.7 分 因为22002xy=，所以20020

23、0464(2)20 xxyyyy+=，.8 分 由韦达定理：2010023yy yx=+所以010023yyx=+，.9 分 同理，020023yyx=，.10 分 所以1212PFPFAFBF0000012121211()yyyyyyyyyyy=+000002323()6xxyyy+=所以1212PFPFAFBF为定值，且定值为6.12 分22.（12 分）解：（1）.1 分以点为切点的切线方程为2 分易知，切线与坐标轴交点的坐标分别为，.3 分切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.4 分（2）()=sinf xx()cosfxx=1()cos332kf=3,3231()223yx=(3,0

24、)3 3(0,)262131S3(3)232643=()()()()sinh xf xg xxmx=当时，.5 分由函数在区间上递增，且值域为，故存在唯一，使得.6 分此时当时，单调递减；当时，单调递增，因此.7 分同理，存在唯一，使得此时当时，单调递增；当时，单调递减，因此.8 分由同理：.9 分由，整理得：.10 分又，故，则有由，故或.11 分又，当时，不满足，舍去.所以，即，则.综上所述，.12 分()()sincosh xxxmx=+22x()()costanh xxxxm=+tanyxx=+,2 2R0,2 2x 00tanxxm+=02xx()()0,hh xx02xx()()0,hh xx10 xx=0 3,22x 00tanxxm+=02xx()()0,hh xx032xx()()0,hh xx20 xx=()()211111111sin10,tan,coscoscosxh xxmx h xxxx=()222222sin1coscoscosxh xxxx=()()120h xh x+=()12121coscos10cos cosxxxx+=123222xx12cos cos1xx()122coscoscosxxx=222x12xx=()12xx=1122tantanmxxxx=+=+12xx=()12xx=12xx+=1122tantan22xxxxm+=2m=