2022年高中数学 第三章 不等式 4 基本不等式√ab≤（a b）2练习（含解析）新人教A版必修5.docx

1、课时训练19基本不等式:aba+b2一、对基本不等式的理解及简单应用1.若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a+b2abB.1a+1b2abC.ba+ab2D.a2+b22ab答案:C解析:因为ab0,所以ba0,ab0,即ba+ab2baab=2,所以选C.2.设0ab,则下列不等式中正确的是()A.ababa+b2B.aaba+b2bC.aabba+b2D.abaa+b2b答案:B解析:0aba2abb2aabb,0ab2aa+b2baa+b2b,又aba+b2,所以aaba+b2xy;|x+y|2|xy|.其中正确的是(写出序号即可).答案:解析:当x0时,x+1x2

2、;当x0,b0,且2是2a与b的等差中项,则1ab的最小值为()A.14B.12C.2D.4答案:B解析:2是2a与b的等差中项,2a+b=4.又a0,b0,2ab2a+b22=422=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号.1ab12.故选B.5.(2015福建厦门高二期末,8)已知a0,b0,若不等式2a+1bm2a+b恒成立,则m的最大值等于()A.7B.8C.9D.10答案:C解析:a0,b0,不等式2a+1bm2a+b恒成立,m(2a+b)2a+1bmin.(2a+b)2a+1b=5+2ba+2ab5+22baab=9,当且仅当a=b时取等号.m的最大值等于9.故选C.6

3、.设x0,则y=3-3x-1x的最值为.答案:大3-23解析:x0,3x+1x23.-3x+1x-23.y=3-3x-1x3-23.y有最大值3-23,当且仅当3x=1x时,即当x=33时等号成立.7.(2015河北邯郸三校联考,15)设x,y满足x+4y=40且x0,y0,则lg x+lg y的最大值是.答案:2解析:因为x,y满足x+4y=40且x0,y0,所以lgx+lgy=lg(xy)=lg(x4y)-lg4lgx+4y22-lg4=lg400-lg4=2.当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立.8.设常数a0,若9x+a2xa+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为.答案:

4、15,+解析:x0,a0,9x+a2x6a,当且仅当9x=a2x,即x=a3时取等号.从而由原不等式对x0恒成立得6aa+1,a15.三、利用基本不等式解决实际问题9.(2015江西吉安联考,20)新余到吉安相距120 km,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120 km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=1200时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一

5、些变化,那么当a=1692,b=1200,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为120v,全程成本为y=(bv2+a)120v=120bv+av,v(0,120.当a=50,b=1200时,y=1201200v+50v2401200v50v=120(当且仅当v=100时取等号).所以汽车应以100km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.(2)当a=1692,b=1200时,y=1201200v+1692v,由双勾函数的单调性可知v=120时,y有最小值.所以汽车应以120km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.(建议用时:

6、30分钟)1.已知0x1,则x(3-3x)取最大值时x的值为()A.12B.34C.23D.25答案:A解析:0x0,则x(3-3x)=3x(1-x)3x+1-x22=34,当且仅当x=1-x,即x=12时取等号.2.下列结论正确的是()A.当x0且x1时,lg x+1lgx2B.当x0时,x+1x2C.当x2时,x+1x的最小值为2D.0x2时,x-1x无最大值答案:B解析:选项A,当x(0,1)时,lgx0时,x+1x2,等号成立的条件为x=1,当x2时,x+1x52(利用函数单调性处理);对于D,设f(x)=x-1x,则f(x)=1+1x20,函数为增函数,因而最大值为32.3.若正数x

7、,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.6答案:C解析:x+3y=5xy,15y+35x=1.3x+4y=(3x+4y)15y+35x=45+95+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=135+125=5.当且仅当3x5y=12y5x,即x=2y时等号成立.4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()A.avabB.v=abC.abva+b2D.v=a+b2答案:A解析:v=21a+1b=2aba+ba2-a2a+b=0,所以2aba+ba,即va.故选A.5.已知函数y=x-4+9x+1(x-1),当x

8、=a时,y取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.8答案:C解析:y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,因为x-1,所以x+10,9x+10.所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-52(x+1)9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3,选C.6.函数y=loga(x-1)+1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n0,则1m+2n的最小值为.答案:8解析:由题意,得点A(2,1),则1=2m+n,又m,n0,所以1m+2n=2m+nm+2(2m+n)n=4+nm+4mn4+24=8.当且仅当nm=4mn,即m=14,n=12时取等号,则1m+2n的最小值为8.7.已知x0,则xx2+4的最大值为.答案:14解析:因为xx2+4=1x+4x,又x0时,x+4x2x4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,所以00,800x-20,得4x400,所以其面积S=(x-4)800x-2=808-2x+3200x808-22x3200x=808-160=648(m2).当且仅当2x=3200x,即x=40(4,400)时等号成立.因此当矩形温室的两边长为40m,20m时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648m2.